Lineare Gleichungen der Form ax + by = c (Gleichungen mit 2 Variablen)

Lineare Gleichungen der Form ax + by = c (Gleichungen mit 2 Variablen) Übung

• Zeige auf, wie du eine lineare Gleichung mit zwei Variablen in eine Funktionsgleichung umschreiben kannst.

  Tipps

  Die Graphen von linearen Funktionen sind immer Geraden.

  Ist eine Variable gegeben, kannst du die andere Variable berechnen, indem du die gegebene einsetzt und die Gleichung nach der gesuchten umstellst.

  So kannst du bei $4x+y=8$ vorgehen, wenn $y=4$ vorgegeben ist:

  1. $y=4$ einsetzen: $4x+4=8$
  2. Auf beiden Seiten $4$ abziehen: $4x=4$
  3. Auf beiden Seiten durch $4$ teilen: $x=1$

  Lösung

  Wir betrachten folgende allgemeine Gleichung mit $2$ Variablen:

  $ax+by=c$.

  Dabei sind $x$ und $y$ die Variablen und $a$, $b$ und $c$ bezeichnen wir als die Koeffizienten.

  Für die Gleichung $2x+3y=60$ erhalten wir also die

  • Variablen $x$ und $y$ sowie
  • Koeffizienten $60$, $2$ und $3$.

  Man kann natürlich zunächst durch Ausprobieren ein paar Wertepaare für die Variablen herausfinden:

  • Für $x=0$ folgt:

  $\begin{array}{rll} 2x+3y&= 60 &\quad | x=0 \text{ einsetzen} \\ 2 \cdot 0 +3y &= 60 &\quad \\ 3y &= 60 &\quad | :3 \\ y &= 20 \\ \end{array}$

  • Für $x=15$ erhalten wir:

  $\begin{array}{rll} 2x+3y&= 60 &\quad | x=15 \text{ einsetzen} \\ 2 \cdot 15 +3y &= 60 &\quad | -30 \\ 3y &= 30 &\quad | :3 \\ y &= 10 \\ \end{array}$

  • Für $y=0$ ergibt sich:

  $\begin{array}{rll} 2x+3y&= 60 &\quad | y=0 \text{ einsetzen} \\ 2x +3\cdot 0 &= 60 &\quad \\ 2x &= 60 &\quad | :2 \\ x &= 30 \\ \end{array}$

  Zeichnet man diese Wertepaare als Punkte in ein Koordinatensystem ein, erhält man eine Gerade. Alle Punkte auf dieser Geraden sind Lösungen der Gleichung. Es gibt also unendlich viele Lösungen für diese Gleichung. Manchmal möchte man jedoch zum Beispiel nur ganzzahlige Lösungen. Achte daher immer genau auf die Aufgabenstellung. Noch einfacher kannst du die Punkte bestimmen, indem du die lineare Gleichung zu einer Funktionsgleichung umformst. Dafür stellst du die Gleichung nach $y$ um:

  $\begin{array}{rll} 2x+3y&= 60 &\quad | -2x \\ 3y&= 60 -2x&\quad | :3 \\ y&=-\frac23x+20& \\ \end{array}$

  $y=-\frac23x+20$

  Dabei ist $-\frac23$ die Steigung und $20$ der $y$-Achsenabschnitt.

• Gib wieder, welche Spezialfälle bei linearen Gleichungen der Form $ax + by = c$ auftreten.

  Tipps

  Betrachte $0\cdot x+ 2y=40$: Da $0\cdot x=0$ gilt, kannst du schreiben: $2y=40$. Die Gleichung ist für $y=20$ erfüllt, aber für welche Werte von $x$ gilt das?

  Gilt für beliebige $x$ immer $y=20$, erhalten wir eine parallele Gerade zur $x$-Achse.

  Lösung

  • Gilt $b=0$, ergibt sich als Graph eine Gerade, die parallel zur $y$-Achse verläuft.

  Betrachte dazu $2x+0\cdot y=20$. Da $0\cdot y=0$ gilt, kannst du schreiben: $2x=20$. Somit gilt für jedes beliebige $y$, dass $x=10$ sein muss.

  • Gilt $a=0$, ergibt sich als Graph eine Gerade, die parallel zur $x$-Achse verläuft.

  Betrachte dazu $0\cdot x+ 2y=40$. Da $0\cdot x=0$ gilt, kannst du schreiben: $2y=40$. Somit gilt für jedes beliebige $x$, dass $y=20$ sein muss.

  • Gilt $a=0$, $b=0$ und $c\neq 0$, hat die Gleichung keine Lösung.

  Betrachte dazu $0\cdot x+ 0\cdot y=40$. Da $0\cdot x=0$ und $0\cdot y=0$ gilt, erhältst du: $0 =40$. Diese Gleichung ist aber falsch, egal was du für $x$ oder $y$ einsetzt. Deshalb hat die Gleichung keine Lösung.

  • Gilt $a=0$, $b=0$ und $c= 0$, ist jeder Punkt im Koordinatensystem eine Lösung.

  Betrachte dazu $0\cdot x+ 0\cdot y=0$. Da $0\cdot x=0$ und $0\cdot y=0$ gilt, erhältst du: $0 =0$. Diese Gleichung ist für jede beliebige Kombination von Werten für $x$ und $y$ richtig, da beide mit $0$ multipliziert werden. Somit ist jeder Punkt im Koordinatensystem eine korrekte Lösung.

• Ermittle, welche Wertepaare eine Lösung der linearen Gleichung mit zwei Variablen sind.

  Tipps

  Setze die Werte $(x|y)$ in die Gleichungen ein und überprüfe, ob sie noch gültig sind.

  $(8|0)$ gehört zum Beispiel nicht zu $11x-8y=3$, denn:

  • $11 \cdot 8-8\cdot 0=88-0=88\neq 3$

  Zu $3x+6y=24$ gehört unter anderem das Wertepaar $(8|0)$, denn:

  • $3 \cdot 8+6\cdot 0=24+0=24$

  Lösung

  Zu $3x+6y=24$ gehören die folgenden Wertepaare:

  • $(2|3)$, denn $3 \cdot 2+6\cdot 3=6+18=24$
  • $(0|4)$, denn $3 \cdot 0+6\cdot 4=0+24=24$
  • $(4|2)$, denn $3 \cdot 4+6\cdot 2=12+12=24$

  Die Funktionsgleichung der dazugehörigen Geraden lautet: $y=-\frac12 x+4$.

  Zu $7x+9y=63$ gehören die folgenden Wertepaare:

  • $(0|7)$, denn $7 \cdot 0+9\cdot 7=0+63=63$
  • $(9|0)$, denn $7 \cdot 9+9\cdot 0=63+0=63$

  Die Funktionsgleichung der dazugehörigen Geraden lautet: $y=-\frac79x+7$.

  Zu $11x-8y=3$ gehören die folgenden Wertepaare:

  • $(1|1)$, denn $11 \cdot 1-8\cdot 1=11-8=3$
  • $(9|12)$, denn $11 \cdot 9-8\cdot 12=99-96=3$
  • $(-7|-10)$, denn $11 \cdot (-7)-8\cdot (-10)=-77+80=3$

  Die Funktionsgleichung der dazugehörigen Geraden lautet: $y=\frac{11}{8}x-\frac{3}8$.

• Bestimme den Funktionsgraphen.

  Tipps

  Wir können die Gleichung $x+2y=6$ nach $y$ umstellen:

  $\begin{array}{rll} x+2y&= 6 &\quad | -x \\ 2y&= 6 -x&\quad | :2 \\ y&=-\frac12x+3& \\ \end{array}$

  Du hast hier zwei Möglichkeiten:

  1. Du formst die lineare Gleichung zunächst in eine Funktionsgleichung der Form $y=mx+b$ um. Dann überprüfst du die Geraden bezüglich der Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$.
  2. Du bestimmst zu jeder Gleichung zunächst zwei Wertepaare. Dann suchst du die entsprechenden Punkte im Koordinatensystem und die Gerade, die durch diese beiden Punkte geht.

  Lösung

  Du hast hier grundsätzlich zwei Möglichkeiten:

  1. Möglichkeit: Du formst die lineare Gleichung zunächst in eine Funktionsgleichung der Form $y=mx+b$ um. Dann überprüfst du die Geraden bezüglich der Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$.

  2. Möglichkeit: Du bestimmst zu jeder Gleichung zunächst zwei Wertepaare. Dann suchst du die entsprechenden Punkte im Koordinatensystem und die Gerade, die durch diese beiden Punkte geht. (Beachte hierbei, dass erst zwei Punkte eine Gerade eindeutig festlegen – ein einzelner Punkt liegt auf vielen unterschiedlichen Geraden.)

  Zu den einzelnen Geraden:

  1) $2x+0y=2$

  Wir stellen sehr schnell fest, dass wir jedes beliebige $y$ einsetzen können, da wir immer das $y$ mit $0$ multiplizieren. Durch Umformen erhalten wir: $2x=2 \Leftarrow x=1$. Damit ist die gesuchte Gerade eine Parallele zur $y$-Achse, die die $x$-Achse bei $x=1$ schneidet.

  Als Wertepaare könnten wir zum Beispiel $(1|0)$ und $(1|5)$ nehmen, da $2\cdot 1 +0\cdot 0=2+0=2$ und $2\cdot 1 +0\cdot 5=2+0=2$ gilt.

  2) $3x+6y=6$

  Wir können diese Gleichung nach $y$ umstellen:

  $\begin{array}{llrcll} && 3x+6y &=& 6 &\quad | -3x \\ && 6y &=& 6 -3x&\quad | :6 \\ && y &=& -\frac12x+1& \\ \end{array}$

  Als Wertepaare könnten wir zum Beispiel $(2|0)$ und $(0|1)$ nehmen, da $3\cdot 2 +6\cdot 0=6+0=6$ und $3\cdot 0 +6\cdot 1=0+6=6$ gilt.

  Auf die gleiche Weise erhalten wir für die anderen:

  3) $0x+5y=10$

  • $y=2$

  • $(0|2)$ und $(1|2)$

  4) $x-y=0$

  • $y=x$

  • $(0|0)$ und $(1|1)$

• Bestimme sinnvolle Lösungspaare für die Gleichung.

  Tipps

  Setze $x$ und $y$ in die Gleichung ein und überprüfe, ob du eine wahre Aussage erhältst.

  Wenn wir eine Anzahl an Tieren berechnen wollen, müssen $x$ und $y$ natürliche Zahlen oder $0$ sein. Ansonsten sind die Werte nicht sinnvoll im Sinne der Aufgabenstellung.

  $x=0$ und $y=20$ wäre auch eine korrekte Lösung der Gleichung, da $2\cdot 0 +3\cdot 20=60$ eine wahre Aussage ist und $y=20$ und $x=0$ als Anzahl möglich sind.

  Lösung

  Bei der Lösung dieser Aufgabe gibt es zwei Dinge zu beachten:

  1. Kann ich die Werte für $x$ und $y$ in die Gleichung einsetzen und erhalte eine wahre Aussage?
  2. Sind $x$ und $y$ sinnvoll? Das heißt, wenn wir eine Anzahl an Tieren haben wollen, müssen $x$ und $y$ natürliche Zahlen oder $0$ sein (keine negativen Zahlen oder Brüche).

  Damit sind folgende Wertepaare richtig:

  • $x=15$ und $y=10$

  1. Durch Einsetzen erhalten wir eine wahre Aussage: $2\cdot 15 +3\cdot 10=30+30=60$.
  2. Zudem sind $x=15$ und $y=10$ als Anzahl von Tieren sinnvolle Werte.

  • $x=30$ und $y=0$

  1. Durch Einsetzen erhalten wir eine wahre Aussage: $2\cdot 30 +3\cdot 0=60+0=0$.
  2. Auch sind $x=30$ und $y=0$ sinnvolle Anzahlen von Tieren.

  Folgende Wertepaare sind falsch:

  • $x=10$ und $y=15$

  1. Durch Einsetzen erhalten wir eine falsche Aussage: $60=2\cdot 10 +3\cdot 15=20+45=65$.

  • $x=22,5$ und $y=5$

  1. Durch Einsetzen erhalten wir eine wahre Aussage: $2\cdot 22,5 +3\cdot 5=45+15=60$.
  2. Aber $x=22,5$ ist keine natürliche Zahl, kann also keine Anzahl von Tieren darstellen.

  • $x=-15$ und $y=30$

  1. Durch Einsetzen erhalten wir eine wahre Aussage: $2\cdot (-15) +3\cdot 30=-30+90=60$.
  2. Aber $x=-15$ ist keine natürliche Zahl, kann also keine Anzahl von Tieren darstellen.

• Gib an, wie viele Tiere auf dem Bauernhof leben.

  Tipps

  In der linearen Gleichung steht $x$ für die Anzahl der Hühner und $y$ für die Anzahl der Kühe.

  Für den letzten Fall: Seine Kinder sagen ihm, dass es mehr Hühner als Kühe sind, aber von jedem mindestens $2$. Hier kannst du einfach die möglichen Wertepaare durchgehen und die nicht passenden ausschließen. Du kannst aber auch die zugehörige Gerade zeichnen und die Punkte ablesen.

  Lösung

  Bauer Winfried Weizen möchte wissen, wie viele Tiere zurzeit auf seinem Bauernhof leben, und schickt seine Kinder los zum Nachzählen. Leider haben diese etwas falsch verstanden und zählen nicht die Tiere, sondern die Beine. Er weiß, dass er Hühner mit $2$ und Kühe mit $4$ Beinen besitzt. Insgesamt haben seine Kinder $14$ Beine gezählt.

  Damit kann man folgende lineare Gleichung aufstellen:

  • $2x+4y=14$

  Hier steht $x$ für die Anzahl der Hühner und $y$ für die Anzahl der Kühe.

  • Besitzt er nur ein Huhn, dann hat er $3$ Kühe. Dazu hat er $x=1$ in die Gleichung eingesetzt: $2 \cdot 1+4y=14$. Diese hat er dann nach $y$ umgestellt: $4y=12 \Rightarrow y=3$.

  • Besitzt er nur eine Kuh, dann hat er $5$ Hühner. Dazu hat er $y=1$ in die Gleichung eingesetzt: $2x+4\cdot 1=14$. Diese hat er dann nach $x$ umgestellt: $2x=10 \Rightarrow x=5$.

  Seine Kinder sagen ihm, dass es mehr Hühner als Kühe sind, aber von jedem mindestens $2$. Also hat er:

  $3$ Hühner und $2$ Kühe.

  Dazu hat er folgende Überlegungen durchgeführt:

  • Besitzt er $2$ Hühner, setzt er $x=2$ in die Gleichung ein: $2\cdot 2+4y=14$. Diese stellt er nach $y$ um: $4y=10 \Rightarrow y=\frac{10}4 =2,5$. Die Anzahl der Kühe muss aber eine natürliche Zahl sein, daher kann das nicht stimmen.

  • Besitzt er $3$ Hühner, setzt er $x=3$ in die Gleichung ein: $2\cdot 3+4y=14$. Umgestellt nach $y$ folgt: $4y=8 \Rightarrow y=2$. Damit hätte er $3$ Hühner und $2$ Kühe mit insgesamt $14$ Beinen, was alle Aussagen seiner Kinder erfüllt.

  • Würde er mehr als $3$ Hühner besitzen, reichen die Beine nicht mehr für $2$ Kühe.

  • Besitzt er $3$ Kühe, setzt er $y=3$ in die Gleichung ein: $2x+4\cdot 3=14$. Umgestellt nach $x$ folgt: $2x=2 \Rightarrow x=1$. Damit hätte er nur ein Huhn. Es können also nicht mehr als $2$ Kühe sein. Damit bleibt nur der zweite Fall.