Graphische Darstellung von linearen Gleichungen mit zwei Variablen

Graphische Darstellung von linearen Gleichungen mit zwei Variablen Übung

• Gib die Eigenschaften an, die auf lineare Gleichungen mit zwei Variablen zutreffen.

  Tipps

  Im Folgenden siehst du einige Beispiele zu linearen Gleichungen mit zwei Variablen:

  • $y-x=3$
  • $2y-4x=8$

  Eine Tabelle hilft bei der übersichtlichen Darstellung von Daten.

  Potenzen sind die abkürzende Schreibweise der mehrfachen Multiplikation eines Faktors mit sich selbst. Es ist also:

  $a^3=a\cdot a\cdot a$
  $a^2=a\cdot a$
  $a^1=a$

  Lösung

  Aussage 1: In linearen Gleichungen haben beide Variablen unterschiedliche Exponenten.

  • Das ist falsch: In linearen Gleichungen haben beide Variablen den gleichen Exponenten $1$.

  Aussage 2: Hat eine Variable den Exponenten $1$, muss man diesen nicht aufschreiben.

  • Das ist korrekt: Der Exponent $1$ wird üblicherweise weggelassen, denn es gilt: $x^1=x$.

  Aussage 3: Um die Werte linearer Gleichungen zu bestimmen, hilft es, eine Tabelle anzulegen.

  • Das ist korrekt: Eine Tabelle hilft bei der übersichtlichen Darstellung von Daten. Da man bei Geraden verschiedene Wertepaare ausrechnet, ist es hilfreich, eine Tabelle anzulegen.

  Aussage 4: Eine Tabelle muss immer den Wert $x=-3$ enthalten.

  • Das ist falsch: Eine Tabelle ist ein persönliches Hilfsmittel. Sie soll so angelegt werden, dass die wichtigsten Informationen erkenntlich werden.

  Aussage 5: Der Graph einer linearen Gleichung mit zwei Variablen ist eine Gerade.

  • Das ist korrekt: Alle Graphen von linearen Gleichungen mit zwei Variablen nennt man Geraden.

• Bestimme die fehlenden $y$-Werte.

  Tipps

  Um den $y$-Wert zu berechnen, setzt man den $x$-Wert in die Gleichung ein.

  Achte auf doppelte Minuszeichen.

  Den $y$-Wert für $x=-2$ berechnet man durch:

  $\begin{array}{llll} y-(-2) &=& 3 & \\ y+2 &=& 3 & \vert -2 \\ y &=& 1 & \end{array}$

  Lösung

  Um die fehlenden $y$-Werte zu berechnen, setzt man die zugehörigen $x$-Werte in die Gleichung $y-x=3$ ein und rechnet aus.

  Für $x=-3$ ergibt sich:

  $\begin{array}{llll} y-(-3) &=& 3 & \\ y+3 &=& 3 & \vert -3 \\ y &=& 0 & \end{array}$

  Analog erhält man für den $x$-Wert $0$ den $y$-Wert $3$, für $x=1$ ergibt sich $y=4$ und für $x=2$ folgt $y=5$.

• Bestimme die fehlenden $y$-Werte.

  Tipps

  Setze die gegebenen $x$-Werte in die Gleichung ein.

  Beachte die Regel „Punkt vor Strich“.

  Für $x=2$ sieht die Rechnung so aus:

  $\begin{array}{llll} y &=& 3 \cdot 2 +2 & \\ y &=& 6+2 & \\ y &=& 8& \end{array}$

  Lösung

  Um die zugehörigen $y$-Werte zu berechnen, setzt man $x$-Werte in die Gleichung $y=3x+2$ ein und rechnet aus.

  Für $x=-2$ ergibt sich:

  $\begin{array}{llll} y &=& 3 \cdot (-2) +2 & \\ y &=& -6+2 & \\ y &=& -4& \end{array}$

  Analog berechnet man für $x=0$:

  $y=2$

  Genauso erhält man für $x=1$

  $y=5$

  Und für $x=3$

  $y=11$

• Ermittle die Punkte, die auf der Geraden liegen.

  Tipps

  Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt, muss man den $x$-Wert in die Gleichung einsetzen und den $y$-Wert berechnen.

  Ist der $y$-Wert berechnet, muss man ihn mit dem angegebenen $y$-Wert vergleichen.

  Es bietet sich an, die Gleichung $3-y=2x$ zunächst nach $y$ umzuformen. So kann man die $y$-Werte leichter bestimmen:

  $\begin{array}{llll} 3-y &=& 2x & \vert +y \\ 3 &=& y+2x & \vert -2x \\ -2x+3 &=& y & \end{array}$

  Lösung

  Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt man den $x$-Wert in die Gleichung ein und stellt diese nach dem $y$-Wert um. Dann rechnet man den $y$-Wert aus und vergleicht den berechneten mit dem gegebenen Wert. Sind diese Werte gleich, dann liegt der gegebene Punkt auf der Geraden.

  Es bietet sich an, die Gleichung $3-y=2x$ zunächst nach $y$ umzuformen. So kann man die $y$-Werte leichter bestimmen. Es folgt:

  $\begin{array}{llll} 3-y &=& 2x & \vert +y \\ 3 &=& y+2x & \vert -2x \\ -2x+3 &=& y & \end{array}$

  Nun kann man die $x$-Werte in diese umgeformte Gleichung einsetzen. Für $x=-3$ ergibt sich:

  $\begin{array}{lll} y &=& -2 \cdot (-3) +3 \\ y &=& 6+3 \\ y &=& 9 \end{array}$

  Wir haben also $-3$ in die Gleichung eingesetzt und $9$ erhalten. Damit ist klar, dass der Punkt $(-3|9)$ auf der Geraden liegt. Analog berechnet man für $x=-1$:

  $\begin{array}{lll} y &=& -2 \cdot (-1) +3 \\ y &=& 2+3 \\ y &=& 5 \end{array}$

  Der Punkt $(-1|2)$ liegt demnach nicht auf der Geraden. Für $x=0$ bestimmt man:

  $\begin{array}{lll} y &=& -2 \cdot 0 +3 \\ y &=& 0+3 \\ y &=& 3 \end{array}$

  Der Punkt $(0|3)$ liegt also auf der Geraden. Und schließlich für $x=2$:

  $\begin{array}{lll} y &=& -2 \cdot 2 +3 \\ y &=& -6+3 \\ y &=& -3 \end{array}$

  Der Punkt $(2|1)$ liegt demzufolge nicht auf der Geraden.

• Beschreibe, wie man den $y$-Wert einer Gleichung ausrechnet.

  Tipps

  Um den $y$-Wert auszurechnen, setzt man den $x$-Wert in die Gleichung ein.

  Jeder Rechenschritt vereinfacht die Gleichung.

  Lösung

  Gegeben ist die Gleichung $y-x=3$. Hierfür soll der $y$-Wert für $x=4$ ausgerechnet werden.

  Um den $y$-Wert zu einem $x$-Wert auszurechnen, muss man den $x$-Wert in die Gleichung einsetzen. Also setzt man $x=4$ in die Gleichung $y-x=3$ ein. Es folgt dann:

  $\begin{array}{llll} y-4 &=& 3 & \vert +4\\ y &=& 7 & \end{array}$

  Durch die jeweilige Umkehroperation konnten wir die obige Gleichung nach $y$ umstellen. So haben wir für $x=4$ den $y$-Wert $7$ erhalten. Der Punkt $(4 \vert 7)$ liegt also auf der Geraden $y-x=3$.

• Bestimme die Steigung der Geraden $y=3x+2$.

  Tipps

  Die $x$- und $y$-Werte einer linearen Gleichung sind voneinander abhängig.

  Lösung

  Verändert man den $x$-Wert einer linearen Gleichung um $1$, dann verändert sich auch der $y$-Wert. Den Betrag, um den sich dieser hierbei verändert, nennt man Steigung.

  Die $x$- und $y$-Werte einer Gleichung sind voneinander abhängig. Also muss sich auch der $y$-Wert verändern.

  Um die Steigung zu berechnen, bestimmt man also zwei Punkte, die auf der Geraden liegen. //

  Wir betrachten die $x$-Werte $x=0$ und $x=1$:

  Für $x=0$ ergibt sich der y-Wert $y=2$ und für $x=1$ erhält man den y-Wert $y=5$.

  Die $y$-Werte lassen sich durch Einsetzen in die Gleichung $y=3x+2$ bestimmen.

  Um jetzt die Veränderung des $y$-Werts zu bestimmen, berechnet man die Differenz der beiden $y$-Werte:

  $y_1-y_0=5-2=3$

  Die Steigung der Geraden beträgt also $3$.

  Die Steigung einer Geraden ist die Veränderung des $y$-Werts von zwei benachbarten $x$-Werten. Also muss man die Differenz dieser beiden $y$-Werte bestimmen.

  Für alle benachbarten Punkte erhält man dasselbe Ergebnis.
  Betrachten wir die Werte $x=1$ und $x=2$:

  Für $x=1$ ergibt sich der $y$-Wert $5$ und für $x=2$ erhält man den $y$-Wert $8$.

  Die $y$-Werte lassen sich durch Einsetzen in die Gleichung $y=3x+2$ bestimmen.

  Auch hier berechnet man die Differenz der beiden $y$-Werte:

  $y_2-y_1=8-5=3$

  Die Steigung der Geraden beträgt also wirklich $3$.