Laplace-Experimente – Überblick

Laplace-Experimente – Überblick Übung

• Berechne die Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses des gegebenen Laplace-Experiments.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem Laplace-Experiment berechnest du wie folgt:

  $\frac{\text{Gesamtwahrscheinlichkeit}}{\text{Anzahl der Elementarereignisse}}$

  Die Ergebnismenge enthält die drei Elementarereignisse Ben, Vater und Mutter.

  Lösung

  Es handelt sich bei dem Hausarbeiten-Glücksrad der Familie Glücklich um ein Glücksrad mit drei gleich großen Segmenten. Dreht man das Glücksrad einmal, können drei Ergebnisse zufällig eintreten: Vater, Mutter oder Ben. Alle Ergebnisse zusammen bilden die Ergebnismenge, also:

  $\{\text{Ben; Vater; Mutter}\}$

  Bei einem Zufallsversuch kann man untersuchen, ob ein bestimmtes Ereignis eintritt. Wenn ein Ereignis aus einem einzigen Ergebnis besteht, so nennt man dieses ein Elementarereignis. Ein Beispiel: „Ben muss den Abwasch erledigen.“:

  $K=\{\text{Ben}\}$

  Das Drehen an einem Glücksrad mit gleich großen Segmenten ist ein Laplace-Experiment, da alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, nämlich:

  $\frac{\text{Gesamtwahrscheinlichkeit}}{\text{Anzahl der Elementarereignisse}}$

  Die Gesamtwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Hausarbeiten-Glücksrad eine bzw. einer der drei Abgebildeten gedreht wird, entspricht $1$. Da es hier drei gleich wahrscheinliche Elementarereignisse gibt, muss Ben mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac 13$ den Abwasch erledigen.

• Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$.

  Tipps

  In der Ergebnismenge sind alle möglichen Elementarereignisse enthalten.

  Schaue dir dieses Beispiel an:

  Betrachte zum Laplace-Experiment „einmaliges Würfeln“ folgendes Ereignis:

  $E=\{\text{Würfeln einer geraden Zahl}\}$

  Hier gibt es drei günstige Elementarereignisse, nämlich die geraden Zahlen $2$, $4$ und $6$. Die Ergebnismenge setzt sich aus sechs möglichen Elementen mit je der gleichen Wahrscheinlichkeit zusammen. Es gilt dann:

  $P(E)=\frac 36=\frac 12$

  Das Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge.

  Lösung

  Es ist ein Glücksrad mit drei gleich großen Segmenten Ben, Mutter und Vater gegeben. Die Ergebnismenge dieses Glücksrads lautet demnach wie folgt:

  $\{\text{Ben; Mutter; Vater}\}$

  Wir suchen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Drehen des Glücksrads ein Erwachsener eintritt. Wir betrachten also dieses Ereignis:

  $E=\{\text{Mutter; Vater}\}$

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bestimmen wir so:

  $\frac{\text{Anzahl günstiger Elementarereignisse}}{\text{Anzahl möglicher Elementarereignisse}}$

  Die Anzahl günstiger Elementarereignisse beträgt hier $2$, nämlich die beiden Elementarereignisse Mutter und Vater. Und $3$ Elementarereignisse sind möglich. Somit wird die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E$ folgendermaßen berechnet:

  $P(E)=\frac{\text{Anzahl günstiger Elementarereignisse}}{\text{Anzahl möglicher Elementarereignisse}}=\frac 23$

• Bestimme die Wahrscheinlichkeit der jeweiligen Elementarereignisse.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem Laplace-Experiment berechnest du wie folgt:

  $\frac{1}{\text{Anzahl aller Elementarereignisse}}$

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  Beim Drehen eines Glücksrads mit $12$ gleich großen Segmenten tritt ein Elementarereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac 1{12}$ ein.

  Lösung

  Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem Laplace-Experiment erhalten wir so:

  $\frac{\text{Gesamtwahrscheinlichkeit}}{\text{Anzahl aller Elementarereignisse}}$

  Die Gesamtwahrscheinlichkeit entspricht $1$, sodass sich der Ausdruck wie folgt vereinfacht:

  $\frac{1}{\text{Anzahl aller Elementarereignisse}}$

  Für die gegebenen Beispiele erhalten wir diese Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Elementarereignisse:

  • Laplace-Glücksrad mit $4$ Segmenten:

  $P=\frac 14$

  • Laplace-Würfel mit $6$ Flächen:

  $P=\frac 16$

  • Laplace-Münze:

  $P=\frac 12$

  • Laplace-Glücksrad mit $5$ Segmenten:

  $P=\frac 15$

• Ermittle die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhältst du, wenn du die Anzahl günstiger Elementarereignisse durch die Anzahl möglicher Elementarereignisse teilst.

  Die Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse eines Laplace-Würfels, welcher mit den Augenzahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$ beschriftet ist, beträgt $\frac 16$.

  Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht.

  Beispiel:

  $7\cdot7=49$

  $49$ ist demnach eine Quadratzahl.

  Lösung

  Die Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse eines Laplace-Würfels, welcher mit den Augenzahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$ beschriftet ist, beträgt $\frac 16$. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das sich aus mehreren Elementarereignissen zusammensetzt, kannst du wie folgt bestimmen:

  $\frac{\text{Anzahl günstiger Elementarereignisse}}{\text{Anzahl möglicher Elementarereignisse}}$

  Die Anzahl möglicher Elementarereignisse ist für einen solchen Laplace-Würfel stets sechs. Die Anzahl günstiger Elementarereignisse liefert das jeweilige Ereignis.

  Ereignis $A$

  Das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln, ist wie folgt gegeben:

  $A=\{2;4;6\}$

  Diese Menge enthält drei Elemente, sodass wir folgende Wahrscheinlichkeit erhalten:

  $P(A)=\frac 36=\frac 12$

  Ereignis $B$

  Das Ereignis, eine Primzahl zu würfeln, ist wie folgt gegeben:

  $B=\{2;3;5\}$

  Diese Menge enthält drei Elemente, sodass wir folgende Wahrscheinlichkeit erhalten:

  $P(B)=\frac 36=\frac 12$

  Ereignis $C$

  Das Ereignis, eine Quadratzahl zu würfeln, ist wie folgt gegeben:

  $A=\{1;4\}$

  Diese Menge enthält zwei Elemente, sodass wir folgende Wahrscheinlichkeit erhalten:

  $P(C)=\frac 26=\frac 13$

  Ereignis $D$

  Es ist das folgende Ereignis gegeben:

  $D=\{1; 3; 5; 6 \}$

  Dieses Ereignis enthält vier Elemente, sodass wir folgende Wahrscheinlichkeit erhalten:

  $P(D)=\frac 46=\frac 23$

• Gib an, welches der folgenden Zufallsexperimente ein Laplace-Experiment ist.

  Tipps

  Bei einem Laplace-Experiment haben alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit.

  Ein Elementarereignis ist ein Ereignis mit genau einem Ergebnis.

  Betrachte folgendes Zufallsexperiment:

  Werfen eines Würfels mit den Zahlen $1$, $1$, $1$, $3$, $4$ und $5$. Es gelten folgende Wahrscheinlichkeiten:

  • $P({1})=\frac 12$
  • $P({3})=\frac 16$
  • $P({4})=\frac 16$
  • $P({5})=\frac 16$

  Lösung

  Bei einem Laplace-Experiment haben alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit. Ein Elementarereignis ist ein Ereignis mit genau einem Ergebnis.

  Also betrachten wir die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse der gegebenen Zufallsexperimente:

  Beispiel 1

  • Werfen eines Würfels mit den Zahlen $1$, $2$, $2$, $3$, $4$ und $5$

  Es ist:

  • $P({1})=\frac 16$
  • $P({2})=\frac 13$
  • $P({3})=\frac 16$
  • $P({4})=\frac 16$
  • $P({5})=\frac 16$

  Dieses ist somit kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

  Beispiel 2

  • Werfen eines Würfels mit den Zahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$

  Es ist:

  • $P({1})=\frac 16$
  • $P({2})=\frac 16$
  • $P({3})=\frac 16$
  • $P({4})=\frac 16$
  • $P({5})=\frac 16$
  • $P({6})=\frac 16$

  Dieses ist ein Laplace-Experiment, da alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

  Beispiel 3

  • Drehen eines Glücksrads mit $10$ gleich großen Segmenten

  Dieses ist ein Laplace-Experiment, da alle Elementarereignisse, also alle Segmente, mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten, weil sie gleich groß sind.

  Beispiel 4

  • Drehen eines Glücksrads mit $10$ Segmenten, von denen je zwei gleich groß sind

  Dieses ist kein Laplace-Experiment, da nicht alle Elementarereignisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten, weil nicht alle Segmente gleich groß sind.

  Beispiel 5

  • Ziehen eines Loses aus einem Lostopf mit dreimal so vielen Nieten wie Gewinnen.

  Dieses ist kein Laplace-Experiment, da das Elementarereignis „Ziehen einer Niete“ wahrscheinlicher ist als das Elementarereignis „Ziehen eines Gewinns“. Hier gibt es demnach unterschiedlich große Wahrscheinlichkeiten.

  Beispiel 6

  • Werfen einer Münze

  Dieses ist ein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeit, Kopf oder Zahl zu werfen, je $\frac 12$ ist. Die Wahrscheinlichkeiten sind also gleich groß.

• Ermittle die Wahrscheinlichkeiten der gegebenen Ereignisse.

  Tipps

  Teile die Anzahl günstiger Elementarereignisse durch die Anzahl möglicher Elementarereignisse.

  Um auf die zweite Stelle nach dem Komma zu runden, schaust du dir die dritte Stelle hinter dem Komma an:

  • Bei einer $0$ bis $4$ wird abgerundet.
  • Bei einer $5$ bis $9$ wird aufgerundet.

  Lösung

  Wir betrachten ein Glücksrad mit sieben gleich großen Segmenten, welche von $1$ bis $7$ nummeriert sind, und die folgenden Ereignisse:

  • $M=\{1;2;5;6\}$
  • $K=\{1;3;6\}$
  • $L=\{1;2;4;5;6\}$

  Wir möchten berechnen, wie wahrscheinlich das Eintreten dieser Ereignisse ist. Hierzu teilen wir die Anzahl günstiger Elementarereignisse durch die Anzahl möglicher Elementarereignisse. Die Anzahl möglicher Elementarereignisse entspricht $7$. Die Anzahl günstiger Elementarereignisse ist die jeweilige Anzahl angegebener Wunschziele. Dabei möchten wir die Wahrscheinlichkeiten auf zwei Nachkommastellen runden. Wir erhalten:

  • $P(M)=\frac 47\approx 0,57$
  • $P(K)=\frac 37\approx 0,43$
  • $P(L)=\frac 57\approx 0,71$