Kreuzprodukt – Herleitung

Hallo, ich bin Giuliano und ich möchte dir heute erklären, wie man das Vektorprodukt von zwei Vektoren im Raum herleitet.  Das Vektorprodukt bildet von zwei beliebigen Vektoren im Raum einen dritten Vektor, den ich jetzt hier n nenne, der folgende Eigenschaft hat: n ist nämlich einmal orthogonal zu a, das kennzeichne ich hier mit dem rechten Winkel, und einmal orthogonal zu b. Und ich möchte dir jetzt zeigen wie man die allgemeine Formel des Vektorpoduktes herleitet. Das heißt, ich möchte dir zeigen, wie man das Vektorprodukt definiert. Also, Definition Vektorprodukt. Dazu nehmen wir einen allgemeinen Vektor a, mit den Koordinaten a₁, a₂ und a₃ und einen Vektor b mit den allgemeinen Koordinaten b₁, b₂ und b₃. Und wir wollen jetzt einmal herausfinden, was passiert denn, wenn ich einen allgemeinen Vektor n₁, n₂ und n₃ habe. Und wir wollen jetzt gucken, ok das Vektorprodukt, das definiere ich jetzt als Kreuz, also a kreuz b soll jetzt das Vektorprodukt darstellen, und hier kommt jetzt eine Formel hin, die ich zusammen mit dir herleiten werde. Diese Formel sind eben genau diese drei Koordinaten des n mit den Eigenschaften der Orthogonalität. Durch die Definition des Skalarprodukts und der Orthogonalität gelten genau zwei Bedingungen für n. Die möchte ich euch einmal hier aufschreiben, in einem Gleichungssystem, was gleich entsteht. Nach der Definition des Skalarprodukts gilt nämlich, wenn zwei Vektoren orthogonal sind, dann ist das Skalarprodukt von ihnen null. Also ist die erste Bedingung ist na=0 und die zweite Bedingung ist nb=0. Nun können wir, nach der Definition des Skalarprodukts in der Koordinatenform, diese Gleichung konkret angeben, indem ich die allgemeinen Vektoren von a und b und n eingebe. Das heißt, hier steht dann n₁a₁+n₂a₂+n₃a₃=0 und die zweite Gleichung lautet n₁b₁+n₂b₂+n₃b₃=0. Dieses Gleichungssystem hat drei Variablen, die möchte ich euch einmal Markieren. Wir haben hier einmal das n₁, dann haben wir einmal das n₂ und die dritte Variable, die momentan noch unbekannt ist und die wir gleich ausrechnen wollen, ist n₃. Ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Variablen hat potenziell unendlich viele Lösungen. Wir wollen jetzt aber konkrete Lösungen herausbekommen und das macht man, indem man eine Variable dann frei wählen kann. Das mache ich aber gleich. Zuvor möchte ich, so wie bei jedem linearen Gleichungssystem, eine Variable eliminieren. Das ist in diesem Fall das n₂ Dazu rechnen wir die obere Zeile mal b₂ und die untere Zeile mal a₂. Dadurch entsteht in der Mitte die gleiche Zahl. Ja, also hier die Zahlen sind dann identisch und wenn ich diese beiden dann subtrahiere, entfällt dieser Teil mit dem n₂. Diese Gleichung nenne ich jetzt einfach drittens, indem ich die erste Gleichung mal b₂ minus die zweite Gleichung mal a₂ rechne. Dann sieht das folgendermaßen aus: n₁ mal a₁ mal b₂ minus n₁ mal b₁ mal a₂ plus, dieser Teil fällt raus, n₃ mal a₃ mal b₂ minus n₃  mal a₂ mal b₃. 0-0=0. Das heißt, wir haben jetzt eine Gleichung und der Vorteil ist jetzt, wir haben nur noch zwei Variablen. Einmal das n₁ als Variable und als zweites, oder als zweite Variable, haben wir das n₃. Das was wir jetzt machen ist, wir klammern das n₁ aus diesen beiden Ausdrücken aus und das n₃ aus diesen beiden Ausdrücken und werden das n₃ auf die andere Seite bringen. Dann ergibt sich folgendes Äquivalenzzeichen: n₁ mal a₁b₂ minus b₁a₂ gleich n₃ mal Klammer auf - dadurch, dass ich das auf die andere Seite hole, ändert sich das Vorzeichen das heißt hier kommt plus - a₂b₃ minus a₃b₂. Als letztes dividieren wir noch durch diesen Teil und erhalten eine Bedingung von n₁ und n₃. Also wenn ich das teile, ist das einfach dieser Ausdruck hier geteilt durch den Ausdruck. Das schreibe ich jetzt hierhin und jetzt gleich sind wir in der Situation, dass wir uns eine von diesen Variablen frei wählen können, und clevererweise machen wir das so: also die Idee ist, dass ich jetzt n₃, ihr seht hier einen Bruch und wenn ich jetzt n₃ genauso wähle wie den Nenner, dann kürzt sich das gemeinsam weg und n₁ entspricht dann hier diesem Zähler. Das heißt, ich wähle jetzt n₃ gleich dem Nenner von diesem Bruch hier, das heißt a₁ mal b₂ minus b₁ mal a₂. Dadurch folgt automatisch, dass diese Koordinate n₁ sein muss- das kürze ich jetzt raus- das ist eben genau der Zähler, also a₂ mal b₃ minus a₃ mal b₂, und schon haben wir zwei Koordinaten bestimmt von diesem allgemeinen Vektor n, der orthogonal zu a und b ist. Jetzt als allerletztes müssen wir nur noch diese beiden Koordinaten in eine der beiden Gleichungen hier oben einsetzen und so erhalten wir dann das n₂. Ich mache das jetzt mit der ersten Gleichung, man kann es aber auch mit der zweiten Gleichung machen, das ist eigentlich egal. Also n₁ und n₃, was wir gerade rausgekriegt haben, in die erste Gleichung einsetzen. Dann steht hier Folgendes: n₁ setze ich jetzt also ein: a₂b₃ minu a₃b₂ mal a₁, das steht dort oben, plus, so, n₂ wissen wir nicht, das müssen wir noch ausrechnen, mal a₂, das bleibt also einfach stehen, plus n₃ setze ich dementsprechend auch ein: a₂ mal b₂ minus b₁ mal a₂ mal a₃ gleich null. So, jetzt haben wir also nur noch, als einzige Unbekannte, das markiere ich hier wieder mit der Farbe, n₂, also müssen wir jetzt die Gleichung nach n₂ auflösen. Das geht so: Wir multiplizieren diese Ausdrücke aus, diese beiden, und holen die auf die andere Seite, das heißt hier steht n₂ mal a₂ gleich. So, wenn ich die Sachen ausmultipliziere steht hier a₁a₂b₃, auf die andere Seite geholt ist minus a₁a₂b₃, dementsprechend auch mit dem Ausdruck auf die andere Seite, wird dann eben positiv, also a₁a₃b₂. Das gleiche passiert hier: minus a₁a₃b₂ und das hier wird positiv,  plus a₂a₃b₁. So und nun fällt einem auf, dass sich die mittleren beiden Ausdrücke eben genau heraus kürzen, a₁a₃b₂ minus a₁a₃b₂ kürzt sich genau raus und was wir erhalten sind nur noch diese beiden Ausdrücke. Letzter Schritt, wir müssen noch durch a₂ teilen, durch a₂, und siehe da, das a₂ kürzt sich hier raus und hier raus und übrig bleibt für n₂ gleich, ich nehme jetzt das hier nach vorne, a₃b₁ minus a₁b₃ und jetzt haben wir unsere letzte Koordinate gefunden. Und diese Eigenschaft dieses allgemeinen n, was dieses Gleichungssystem lösen kann, also das ist eine Lösung von diesem Gleichungssystem, die definieren wir jetzt als Vektorprodukt und zwar, ja das geht also jetzt folgendermaßen: wir tragen jetzt einfach nur diese Koordinaten, die wir gerade ausgerechnet haben, diese allgemeinen Koordinaten, hier einmal ein und das entspricht dann eben n₁, n₂, n₃ mit den Eigenschaften für Orthogonalität. a₂b₃ minus a₃b₂, das ist die erste Koordinate, n₁, n₂ ist a₃b₁ minus a₁b₃ und die letzte Koordinate ist n₃, das war das zuvor gewählte a₁b₂ minus b₁a₂. So, jetzt fasse ich nochmal zusammen was wir gemacht haben: Wir haben uns angeguckt, wie das Vektorprodukt definiert ist, und zwar es bildet das Vektorprodukt einen Vektor n, der orthogonal zu a und b ist. Dann haben wir die beiden Eigenschaften in zwei Gleichungen überführt, die du hier vorne siehst. Da hatten wir ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten, es sind aber zwei Gleichungen, deswegen potentiell unendlich viele Lösungen. Dann haben wir dieses Gleichungssystem gelöst, indem wir die n₂-Koordinate erstmal eliminiert haben. Und dann haben wir einen Term, bzw. eine Gleichung, erhalten, indem wir n₃ bestimmt haben und dadurch konnten wir n₁ auch gleichzeitig bestimmen und mit diesen beiden konnte man dann auch letztendlich n₂ bestimmen. Und das ist eine allgemeine Lösung und die haben wir dann, sage ich jetzt mal, Vektorprodukt getauft. Das bedeutet eben, dieser Vektor, der jetzt hier entstanden ist, der hat die Eigenschaft, dass er orthogonal zu a und zu b ist. Ich hoffe, dass ihr das alle verstanden habt und Spaß an dem Video hattet. Tschau, bis zum nächsten Mal! Euer Giuliano.