Grenzwertsätze für Funktionen – Beispiele (2)

Grenzwertsätze für Funktionen – Beispiele (2) Übung

• Berechne den Grenzwert der Funktion.

  Tipps

  Wende die 3. binomische Formel an, um $(\sqrt{x^2-x}-x) \cdot (\sqrt{x^2-x}+x)$ zu berechnen.

  Es gilt:

  $\frac1x(\sqrt{x^2-x}+x)=\frac1x\sqrt{x^2-x}+1=\sqrt{\frac1{x^2}(x^2-x)}+1=\sqrt{1-\frac1x}+1$.

  Wende zuerst die binomische Formel an, erweitere dann und setze zuletzt den Grenzwertsatz an.

  Lösung

  Um die Grenzwertsätze anwenden zu können, müssen die, durch die Grundrechenarten miteinander verknüpften, Funktion selbst einen Grenzwert besitzen. Um diese Voraussetzung zu erhalten, musst du gegebenenfalls Terme umformen. Hier wird zunächst mit $\sqrt{x^2-x}+x$ erweitert und die 3. binomische Formel angewendet.

  $\begin{align*} \lim\limits_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-x}-x)& =\lim\limits_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2-x}-x)\cdot(\sqrt{x^2-x}+x)}{\sqrt{x^2-x}+x} \\ & =\lim\limits_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2-x})^2-x^2}{\sqrt{x^2-x}+x} \\ & =\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2-x-x^2}{\sqrt{x^2-x}+x} \\ & =\lim\limits_{x \to \infty} -\frac{x}{\sqrt{x^2-x}+x} \end{align*}$

  Nun muss der Bruch mit $\frac1x$ erweitert werden, um sowohl im Zähler als auch im Nenner eine Funktion mit einem Grenzwert zu erhalten. Danach kann der Grenzwertsatz für Quotienten angewendet werden.

  $\begin{align*} \lim\limits_{x \to \infty} -\frac{x}{\sqrt{x^2-x}+x} & =\lim\limits_{x \to \infty} -\frac{\frac1x x}{\frac1x\sqrt{x^2-x}+\frac1xx} \\ & =\lim\limits_{x \to \infty} -\frac{1}{\sqrt{\frac1{x^2}(x^2-x)}+1} \\ & =\lim\limits_{x \to \infty} -\frac{1}{\sqrt{1-\frac1x}+1} \\ & =-\frac{\lim\limits_{x \to \infty}1}{\lim\limits_{x \to \infty}\left(\sqrt{1-\frac1x}+1\right)}\\ &= -\frac1{1+1}=-\frac12 \end{align*}$

• Vereinfache den Term, um den Grenzwert berechnen zu können.

  Tipps

  Im Zähler der Funktion, von welcher der Grenzwert berechnet werden soll, steht die 3. binomische Formel $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$.

  Lässt eine Nullstelle, wie in diesem Beispiel $(x-2)$, sich kürzen, so kann ein Grenzwert berechnet werden.

  Andernfalls handelt es sich um eine Polstelle. Die Funktion geht dann gegen $±\infty$.

  Lösung

  Der Term $\frac{x^2-4}{x-2}$ hat eine potentielle Definitionslücke bei $x_0=2$. Falls der Term $(x-2)$ sich kürzen lässt, sagt man, dass die Definitionslücke hebbar ist. Andernfalls liegt eine Polstelle vor.

  Nach der 3. binomischen Formel gilt $x^2-4=(x+2)\cdot(x-2)$ und somit

  $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x+2)\cdot(x-2)}{x-2}=x+2$.

  Damit lässt sich der Grenzwert wie folgt berechnen:

  $\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}(x+2)=2+2=4.$

• Wende jeden der vier Grenzwertsätze an.

  Tipps

  Beachte, dass in einem Fall nicht der Grenzwert $\lim\limits_{x\to \infty}$ berechnet werden soll.

  Wenn bei einer Funktion, zu welcher ein Grenzwert berechnet werden soll, sowohl im Zähler als auch im Nenner Polynome stehen, kannst du erweitern. Tu dies so, dass im Zähler und im Nenner Funktionen stehen, die einen endlichen Grenzwert haben.

  Lösung

  • $\large{\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x^2-4x+4}{x^2+1}}$: Hier muss der Bruch mit $\frac{1}{x^2}$ erweitert werden. Dann stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner Funktionen, welche einen Grenzwert haben. Es werden alle Grenzwertsätze außer (PF) angewendet.

  $\begin{array}{lll} \lim\limits_{x\to \infty} \frac{x^2-4x+4}{x^2+1} &=& \lim\limits_{x\to \infty} \frac{\frac1{x^2}(x^2-4x+4)}{\frac1{x^2}(x^2+1)}\\ &=& \lim\limits_{x\to \infty} \frac{1-\frac4x+\frac4{x^2}}{1+\frac1{x^2}}\\ &=& \frac{\lim\limits_{x\to \infty} \left(1-\frac4x+\frac4{x^2}\right)}{\lim\limits_{x\to \infty}\left(1+\frac1{x^2}\right)}\\ &=& \frac{1-0+0}{1+0}=1. \end{array}$

  • $\large{ \lim\limits_{x\to \infty} 3 \cdot \frac1x= \lim\limits_{x\to \infty} 3 \cdot \lim\limits_{x\to \infty} \frac1x=3\cdot 0=0}$. Der erste Faktor ist eine Konstante, der zweite Faktor $\frac1x$ geht gegen 0. Also geht das Produkt nach (PF) auch gegen 0.
  • $\large{\lim\limits_{x\to \infty}\left( \frac1x+2\frac{\frac1x+2}{3-\frac1x}\right)}$: Der erste Summand geht gegen 0. Der zweite Summand besteht aus zwei Faktoren, von denen einer konstant ist und der zweite ein Bruch, welcher mit (QF), (SF) und (DF) gegen $\frac{0+2}{3-0}=\frac23$ geht. Gesamt geht die Funktion mit (SF) und (PF) gegen $0+2\cdot \frac23=\frac43$.
  • $\large{\lim\limits_{x\to 2} \frac1x}$: Beachte, dass hier der Grenzwert gegen 2 betrachtet wird. Da bei $x_0=2$ keine Definitionslücke vorliegt, kann der Grenzwertsatz (QF) angewendet werden. Der Grenzwert ist somit $\frac12$.

• Untersuche den Grenzwert der Funktion in Abhängigkeit des Parameters $a$.

  Tipps

  Forme den Term $x^2-9$ mit der 3. binomischen Formel um.

  Es existiert nur dann ein endlicher Grenzwert, wenn der Term $(x-3)$ gekürzt werden kann.

  In diesem Fall spricht man von einer hebbaren Definitionslücke. Andernfalls von einer Polstelle.

  Im Falle einer Polstelle gehen die Funktionswerte gegen $±\infty$. Das Vorzeichen ergibt sich durch Untersuchung der Vorzeichen in Zähler und Nenner links und rechts der Definitionslücke.

  Man spricht hier auch von einem linksseitigen und einem rechtsseitigen Grenzwert.

  Lösung

  Unabhängig von der Wahl von $a$ gilt

  $\lim\limits_{x\to -3} \frac{x^2-a^2}{x+3}=\lim\limits_{x\to -3} \frac{(x+a) \cdot (x-a)}{x+3}$

  Sei nun $a=-3$, so gilt

  $\lim\limits_{x\to -3} \frac{x^2-9}{x+3}=\lim\limits_{x\to -3} \frac{(x-3) \cdot (x+3)}{x+3}=\lim\limits_{x\to -3}(x-3)=-6$.

  Sei $a=3$, so ändert sich im Zähler nur die Reihenfolge der Faktoren, der Grenzwert bleibt gleich.

  In allen übrigen Fällen geht der Nenner für $\lim\limits_{x \to -3}$ gegen $0$ und der Zähler geht gegen eine feste Zahl, welche ungleich $0$ ist.

  Die Berechnung des Grenzwertes am Beispiel $a=4$ kann über die Vorzeichen im Zähler und Nenner durchgeführt werden. Da die Definitionslücke nicht hebbar ist, geht die Funktion links und rechts von der Polstelle gegen $±\infty$.

  Es kann der linksseitige Grenzwert $x<-3$ und der rechtsseitige Grenzwert $x>-3$ an der Definitionslücke betrachtet werden.

  Es gilt $\lim\limits_{x\to -3;~x<-3} \frac{x^2-a^2}{x+3}=$„$\frac{<0}{-\infty}$“$=$„$+\infty$“, da

  • der Zähler für $a=4$ gegen $9-16=-7$ geht, also negativ ist ($<0$) und
  • der Nenner $x+3$ für $x<-3$ gegen eine ganze kleine negative Zahl geht. Wenn man durch eine ganz kleine negative Zahl teilt, dann geht der Bruch gegen $-\infty$.

  Es gilt $\lim\limits_{x\to -3;~x>-3} \frac{x^2-a^2}{x+3}=$„$\frac{>0}{-\infty}$“$=$„$-\infty$“, da

  • der Zähler gegen $9-16=-7$ geht, also negativ ist, und
  • der Nenner $x+3$ für $x>-3$ gegen eine ganze kleine positive Zahl geht. Wenn man durch eine ganz kleine positive Zahl teilt, dann geht der Bruch gegen $+\infty$.

• Benenne die Grenzwertsätze für Funktionen.

  Tipps

  Die Grenzwertsätze behandeln die vier Grundrechenarten. Zum Beispiel ist der Grenzwert der Summe zweier Funktionen die Summe der Grenzwerte der Funktionen.

  Lösung

  In den Grenzwertsätze für Funktionen wird vorausgesetzt, dass die betrachteten Funktionen, welche addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert werden, Grenzwerte besitzen. Zusätzlich muss bei der Division gelten, dass sowohl der Grenzwert als auch die Funktionswerte der Nennerfunktion ungleich 0 sind.

  $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=A$ und $\lim\limits_{x\to \infty}g(x)=B$

  Die Grenzwertsätze gelten auch für die Grenzwerte $\lim\limits_{x\to -\infty}$ sowie $\lim\limits_{x\to x_0}$, wobei $x_0$ eine Definitionslücke ist.

  Die Grenzwertsätze lauten:

  $\begin{align*} \lim\limits_{x \to \infty}(f(x)+g(x))&=\lim\limits_{x \to \infty}f(x)+\lim\limits_{x \to \infty}g(x)&&=A+B\\ \lim\limits_{x \to \infty}(f(x)-g(x))&=\lim\limits_{x \to \infty}f(x)-\lim\limits_{x \to \infty}g(x)&&=A-B \\ \lim\limits_{x \to \infty}(f(x) \cdot g(x))&=\lim\limits_{x \to \infty}f(x) \cdot \lim\limits_{x \to \infty}g(x)&&=A \cdot B\\ \lim\limits_{x \to \infty}\left( \frac{f(x)}{g(x)}\right)&=\frac{\lim\limits_{x \to \infty}f(x)}{\lim\limits_{x \to \infty}g(x)}&&=\frac{A}{B} \end{align*}$

• Bestimme den Grenzwert der Funktion in Abhängigkeit von $a$.

  Tipps

  Kannst du die Wurzel im Zähler dadurch weg bekommen, dass du quadrierst?

  Wenn ein solcher Grenzwert existiert, so kann der Term, wie in diesem Beispiel $(x-a)$, gekürzt werden.

  Lösung

  Die Funktion $\large{f(x)=\frac{\sqrt x-\sqrt a}{x-a}},~a\in \mathbb{R}^+$ hat eine Definitionslücke bei $x_0=a$. Ist es trotzdem möglich, den Grenzwert

  $\lim\limits_{x\to a}\frac{\sqrt x-\sqrt a}{x-a}$ zu berechnen?

  Durch Erweitern mit $(\sqrt x +\sqrt a)$ und Anwenden der 3. binomischen Formel kann die Funktion, deren Grenzwert berechnet werden soll, umgeformt werden:

  $\begin{array}{lll} \lim\limits_{x\to a}\frac{\sqrt x-\sqrt a}{x-a} &=& \lim\limits_{x\to a}\frac{(\sqrt x-\sqrt a)\cdot(\sqrt x + \sqrt a)}{(x-a)\cdot(\sqrt x + \sqrt a)}\\ &=& \lim\limits_{x\to a}\frac{x-a}{(x-a)\cdot(\sqrt x + \sqrt a)}\\ &=& \lim\limits_{x\to a}\frac1{\sqrt x + \sqrt a} \end{array}$

  Nun stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner Funktionen, deren Grenzwert berechnet werden kann:

  $\begin{array}{lll} \lim\limits_{x\to a}\frac1{\sqrt x + \sqrt a} &=& \frac{\lim\limits_{x\to a}1}{\lim\limits_{x\to a}(\sqrt x + \sqrt a)}\\ &=& \frac1 {2\cdot \sqrt a} \end{array}$