Grenzwertsätze für Folgen
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Grundlagen zum Thema Grenzwertsätze für Folgen
Du weißt bereits, wie man die Grenzwerte von einzelnen Folgen bestimmen kann. Doch was passiert, wenn eine Folge mehr als einen Term besitzt? Mit Hilfe der Grenzwertsätze lassen sich die Grenzwerte von Folgen mit mehreren Termen bestimmen. Ich zeige dir anhand von Beispielen, wie du die Grenzwerte von Summenfolgen, Differenzfolgen, Produktfolgen und Quotientenfolgen berechnen kannst. Zu jeder Regel bzw. jedem Satz zeige ich dir eine beispielhafte grafische Darstellung im Koordinatensystem. In einem Rechenbeispiel siehst du dann, wie man mit Hilfe der Grenzwertsätze den Grenzwert einer konvergenten Folge, die aus mehreren Termen besteht, berechnen kann. Viel Spaß beim Lernen!
Transkript Grenzwertsätze für Folgen
Hallo, ich bin Guiliano. Und ich möchte dir die Grenzwertsätze vorstellen. Dazu betrachten wir uns eine Folge fn = (n² - 1)/(2n² + 1). Und wir wollen jetzt den Grenzwert dieser Folge berechnen. Ohne, dass wir vorher eine Tabelle der Folgenglieder machen. Und dann ein Schaubild, um zu sehen, gegen welchen Grenzwert denn diese Folge hier konvergiert. Um dieses Problem ohne Tabelle zu lösen, brauchen wir Grenzwertsätze, die ich dir jetzt einmal vorstellen möchte. Für die Grenzwertsätze muss gelten: Dass an und bn konvergente Folgen sind. Mit den Grenzwerten, mit den Grenzwerten a und b. Dann lautet der erste Grenzwertsatz, dass, wenn ich den Limes, das heißt eben den Grenzwert berechne, von der Summenfolge oder Differenzfolge, das ist dann an plus oder minus bn, berechnen möchte. Dass ich dann den Limes von den einzelnen Folgen berechnen kann. Und deren Grenzwerte dann addieren und subtrahieren kann. Also Limes n gegen unendlich. Von an plus oder minus Limes n gegen unendlich von bn. Und das ist dann eben gleich a plus oder minus b. Wie schon gerade erwähnt, das ist hier einmal eine Addition und eine Subtraktion, deswegen ist das einmal eine Summenfolge. Beziehungsweise eine Differenzfolge. Die hier im Limes steht. Jetzt wollen wir uns das Ganze einmal grafisch ansehen an diesem Bild. Ihr seht dort eine Folge an, die den Grenzwert g = 1 hat. Und dann eine Folge bn, die den Grenzwert zwei hat. Und dann hat die Summenfolge an plus bn den Grenzwert g = 1 + 2. Also gleich drei. Das gleiche können wir auch mit der Differenzenfolge machen. Das heißt, ihr seht hier wieder ein Schaubild. Diesmal sind an und bn anders gewählt. Und zwar an ist dieses mal die Folge, die den Grenzwert drei besitzt. bn die Folge die den Grenzwert eins besitzt. Und dann hat die Differenzfolge an minus bn den Grenzwert 3 - 2, also gleich zwei. Jetzt möchte ich dir gerne den zweiten Grenzwert zeigen, Grenzwertsatz. So. Und zwar Limes n gegen unendlich. Jetzt wollen wir diese beiden Folgen miteinander multiplizieren. Das heißt, an mal bn. Und genauso wie bei den Differenzen oder Differenz- und Summenfolge können wir auch hier den Limes n gegen unendlich von an mal Limes den, also den Grenzwert von bn einzeln ausrechnen. Und dann multiplizieren. Das heißt, dadurch, dass die Grenzwerte a und b sind, ist es also a * b. Und da das hier insgesamt natürlich ein Produkt ergibt, durch die Multiplikation, kürze ich das jetzt mit PF oder Produktfolge ab. Das seht ihr hier auch in einem weiteren Schaubild. Die Folge an hat den Grenzwert a. Die Folge bn hat den Grenzwert b. Und dann hat die Produktfolge an mal bn den Grenzwert a * b. Nimm zum Beispiel eins und zwei. Dann ist der Grenzwert auch zwei. Als dritten Grenzwertsatz schreiben wir folgendes auf: Limes n gegen unendlich. Wie ihr euch schon vorstellen könnt, müssen wir jetzt die beiden Folgen dividieren. Das heißt, an durch bn. Es ist ganz wichtig, dass jetzt hier was gelten muss. Und zwar darf oder dürfen die Folgenglieder von b nicht null sein. Sonst ist eben diese Zahl überhaupt nicht definiert. Durch Null dürfen wir nicht teilen. Und der Grenzwert darf auch nicht null sein. Dann gilt, wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sind, dass ich den Limes von dem Zähler und dem Nenner einzeln berechnen darf. Das heißt, Limes von an, n gegen unendlich, geteilt durch den Limes n gegen unendlich von bn. Und dann gilt, weil a und b die Grenzwerte da sind, a geteilt durch b. Auch diesen letzten Grenzwertsatz hat einen Namen. Und zwar eben dadurch dass man das Ergebnis einer Division Quotient nennt, heißt es eben Quotientenfolge. Also dieses an durch bn. Das seht ihr hier in einer Grafik auch einmal eingezeichnet. Wenn an den Grenzwert a hat und bn den Grenzwert b, dann gilt für an geteilt durch bn oder die Quotientenfolge gilt dann eben, dass der Grenzwert a durch b gegeben ist. Jetzt wollen wir einmal diese Grenzwertsätze an unserem Beispiel fn üben. Hier haben wir einen Bruch. Das heißt, wir könnten als allererstes uns die Quotientenfolge angucken. Und es muss aber gelten, dass die Folge ungleich null sein soll. Und sie muss konvergent sein. Die Folge 2n² + 1. Das heißt, wir müssen hier erst eine Umformung vornehmen. Das heißt, Limes n gegen unendlich. Von (n² - 1)/(2n² + 1). Und zwar machen wir folgendes: Wir erweitern diesen Bruch, indem wir oben 1/n², also im Zähler und im Nenner 1/n² multiplizieren. Das heißt, hier steht dann Limes n gegen unendlich von ((1/n²)(n² - 1))/((1/n²)(2n² + 1)). Jetzt lösen wir das Ganze einmal auf. Dann steht da Limes n gegen unendlich von, oben steht dann (1 - 1/n²)/(2 + 1/n²). Und jetzt haben wir erreicht, dass im Nenner eine konvergente Folge steht. Weil 1/n² für wachsende n gegen null konvergiert. Das heißt, wir haben jetzt diese Bedingung hier erfüllt. Der Nenner wird eben nicht null. Und die Folgeglieder sind auch nicht null. Das heißt, wir können den Grenzwert von Nenner und Zähler berechnen. Limes n gegen unendlich von 1 - 1/n². Und Limes n gegen unendlich von 2 + 1/n². Und jetzt wenden wir noch oben die Differenzfolge an. Ja, oder bilden die Differenzfolge und wissen was der Grenzwert ist. Und unten die Summenformel. Das heißt, wenn wir die Grenzwerte von den einzelnen Zahlen hier oben berechnen, also Limes n gegen unendlich von 1 - Limes von n gegen unendlich 1/n², geteilt durch Limes n gegen unendlich von 2 + Limes n gegen unendlich von 1/n². So. Jetzt können wir die einzeln berechnen. Hier ist kein n drin, das bleibt also konstant 1. Minus, hier ist der Grenzwert null. Geteilt durch 2 plus, hier ist der Grenzwert auch null. Also ist insgesamt der Grenzwert 1/2 dieser Folge fn. Jetzt möchte ich einmal zusammenfassen, was du heute gelernt hast: Wir haben uns am Anfang die Folge fn angeguckt, die wir ohne Tabelle und Graph, ja quasi deren Grenzwert wir ohne Tabelle und Graph nicht berechnen können. Deswegen haben wir uns die Grenzwertsätze angeschaut. Von denen es hier drei Stück gibt. Und es gilt jeweils, dass man, wenn man den Grenzwert von zwei Folgen berechnen möchte, egal ob man sie addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren muss, dass man sie aufteilen kann den Grenzwert. Also den Grenzwert von einem plus, minus, mal, geteilt den Grenzwert vom anderen. Dann kann ich das so machen. Außer, mit der letzten Bedingung muss natürlich erfüllt sein, dass bn ungleich null ist. Und der Grenzwert darf nicht null sein. Grundvoraussetzung an und bn sind konvergent. Als letztes haben wir dann mit Hilfe der Grenzwertsätze diese Folge fn, den Grenzwert davon berechnet und rausgekriegt, dass es 1/2 ist. Ich hoffe, dass du das alles verstanden hast und Spaß an dem Video hattest. Ciao und bis zum nächsten Mal. Dein Guiliano.
Grenzwertsätze für Folgen Übung
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Ergänze die Aussagen über die Grenzwertsätze.
TippsDie Grenzwertsätze behandeln die vier Grundrechenarten.
Auch bei Grenzwerten gelten dieselben Regeln für die Division.
LösungUm bei Folgen den Grenzwert ohne Tabellen oder Graphen zu berechnen, gibt es Grenzwertsätze.
Für diese müssen die beiden Folgen $a_n$ und $b_n$ konvergent sein. Es gilt somit $\lim\limits_{n \to \infty}a_n=a$ und $\lim\limits_{n \to \infty}b_n=b$. Dies sind die Grenzwertsätze:
- $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n±b_n)=\lim\limits_{n \to \infty}a_n±\lim\limits_{n \to \infty}b_n=a±b$
- $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n)=\lim\limits_{n \to \infty}a_n \cdot \lim\limits_{n \to \infty}b_n=a \cdot b$
- Hier muss zusätzlich noch gelten, dass $b_n≠0$ und $b≠0$ ist. Denn weder der Grenzwert noch ein Glied der Folge darf gleich 0 sein, da ansonsten durch 0 geteilt werden würde. Dies ist bekannterweise nicht erlaubt und der Grenzwert für die Division lautet: $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{a_n}{b_n} \right)=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}a_n}{\lim\limits_{n \to \infty}b_n}=\frac{a}{b}$.
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Berechne den Grenzwert der Folge $f_n$.
TippsUm die Grenzwertsätze anwenden zu können, müssen sowohl im Zähler als auch im Nenner eine konvergente Folge stehen.
Die Folgenglieder im Nenner und auch der Grenzwert der Folge im Nenner dürfen nicht 0 sein.
Mache dir klar: Welche Grenzwertsätze werden jeweils angewendet?
LösungUm Grenzwerte von Folgen zu berechnen, kannst du die Grenzwertsätze für konvergente Folgen $a_n$ mit dem Grenzwert $a$ und $b_n$ mit dem Grenzwert $b$ verwenden:
- $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n±b_n)=\lim\limits_{n \to \infty}a_n±\lim\limits_{n \to \infty}b_n=a±b$
- $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n)=\lim\limits_{n \to \infty}a_n \cdot \lim\limits_{n \to \infty}b_n=a \cdot b$
- Hier muss zusätzlich noch gelten, dass $b_n≠0$ und $b≠0$: $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{a_n}{b_n} \right)=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}a_n}{\lim\limits_{n \to \infty}b_n}=\frac{a}{b}$
$\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{n^2-1}{2n^2+1} \right)&= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac {\frac{1}{n^2}(n^2-1)}{\frac{1}{n^2}(2n^2+1)} \right) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1-\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}} \right)\\ &= \frac {\lim\limits_{n \to \infty} \left( 1-\frac{1}{n^2} \right) } {\lim\limits_{n \to \infty} \left( 2+\frac{1}{n^2} \right)} \\ &=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}1-\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}}{\lim\limits_{n \to \infty}2+\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}}\\ &=\frac{1-0}{2+0}=\frac{1}{2} \end{align*}$
-
Erkläre, welcher Grenzwertsatz verwendet wird und gib den Grenzwert an.
Tipps- $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n±b_n)=\lim\limits_{n \to \infty}a_n±\lim\limits_{n \to \infty}b_n=a±b$: Summenfolge (SF) und Differenzenfolge (DF)
- $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n)=\lim\limits_{n \to \infty}a_n \cdot \lim\limits_{n \to \infty}b_n=a \cdot b$: Produktfolge (PF)
- Hier muss zusätzlich noch gelten, dass $b_n≠0$ und $b≠0$: $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{a_n}{b_n} \right)=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}a_n}{\lim\limits_{n \to \infty}b_n}=\frac{a}{b}$: Quotientenfolge (QF).
Berechne zu der Folge $\frac{1}{n}$ die ersten Folgenglieder. Daraus kannst du den Grenzwert herleiten.
Dass dies tatsächlich der Grenzwert ist, muss über den jeweiligen Grenzwert jedoch nachgewiesen werden.
LösungDer Grenzwert der Folge $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0$. Eine Folge, die den Grenzwert 0 hat, wird auch Nullfolge genannt.
- $ \lim\limits_{n \to \infty}a_n= \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}+ \lim\limits_{n \to \infty}3=0+3=3$. Dies kann mit (SF) hergeleitet werden.
- $ \lim\limits_{n \to \infty} b_n=\lim\limits_{n \to \infty}3 \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n}=3 \cdot 0=0$. Dies kann mit (PF) hergeleitet werden.
- $ \lim\limits_{n \to \infty} c_n=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}}{\lim\limits_{n \to \infty}2}=\frac{0}{2}=0$. Dies kann mit (QF) hergeleitet werden.
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Ordne der jeweiligen Folge den Grenzwert zu.
TippsVerwende die Grenzwertsätze.
- $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n±b_n)=\lim\limits_{n \to \infty}a_n±\lim\limits_{n \to \infty}b_n=a±b$
- $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n)=\lim\limits_{n \to \infty}a_n \cdot \lim\limits_{n \to \infty}b_n=a \cdot b$
- Hier muss zusätzlich noch gelten, dass $b_n≠0$ und $b≠0$: $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{a_n}{b_n} \right)=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}a_n}{\lim\limits_{n \to \infty}b_n}=\frac{a}{b}$
Das Quadrat einer Folge ist gerade das Produkt der Folge mit sich selbst.
Lösung- $\lim\limits_{n \to \infty} a_n=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{1}{n^2}(2+n)\right) }{\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2}(n^2-13)\right) }=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2}{n^2}+\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}}{\lim\limits_{n \to \infty}1-\lim\limits_{n \to \infty}\frac{13}{n^2}}= \frac{0+0}{1-0} = \frac{0}{1}=0$. Hier musst du zunächst den Bruch mit $\frac{1}{n^2}$ erweitern.
- $\lim\limits_{n \to \infty} b_n=\lim\limits_{n \to \infty}\left( 1+ \frac{1}{n}\right) \cdot \lim\limits_{n \to \infty} 3= \left(\lim\limits_{n \to \infty} 1 + \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \right) \cdot \lim\limits_{n \to \infty} 3 = (1+0) \cdot 3 =3$.
- $\lim\limits_{n \to \infty} c_n=\left(\frac{\lim\limits_{n \to \infty}{2}}{\lim\limits_{n \to \infty}\left( 1-\frac{1}{n} \right)}\right)^2=\left(\frac{\lim\limits_{n \to \infty}{2}}{\lim\limits_{n \to \infty}1-\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}}\right)^2=\left( \frac{2}{1-0} \right)^2=\left( \frac{2}{1} \right)^2=2^2=4$. Das Quadrat der Folge ist gerade das Produkt der Folge mit sich selbst.
- $\lim\limits_{n \to \infty} d_n= \lim\limits_{n \to \infty} 2 \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{3n}{1-n} \right)= \lim\limits_{n \to \infty} 2 \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{3}{\frac{1}{n}-1} \right)=\lim\limits_{n \to \infty} 2 \cdot\left( \frac{\lim\limits_{n \to \infty} 3}{\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}-\lim\limits_{n \to \infty}1} \right) = 2 \cdot (-3)=-6$. Auch musst du den Bruch in der Basis mit dem Faktor $\frac{1}{n}$ erweitern.
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Gib an, welche Grenzwertsätze verwendet werden.
TippsSchreibe dir die einzelnen Schritte zur Berechnung des Grenzwertes der Folge auf.
Die Reihenfolge, in welcher du die Grenzwerte anwendest, ist entscheidend. Für die richtige Reihenfolge „näherst“ du dich dem Term von außen nach innen.
Du orientierst dich also zunächst am Quotienten und dann erst an Dividend und Divisor.
LösungAn diesem Beispiel kannst du sehen, welche Grenzwertsätze verwendet werden.
Berechne den Grenzwert der Folge $f_n=\frac{n^2-1}{2n^2+1}$:
$\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{n^2-1}{2n^2+1} \right)&= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac {\frac{1}{n^2}(n^2-1)}{\frac{1}{n^2}(2n^2+1)} \right) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1-\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}} \right)\\ &= \frac {\lim\limits_{n \to \infty} \left( 1-\frac{1}{n^2} \right) } {\lim\limits_{n \to \infty} \left( 2+\frac{1}{n^2} \right)} \\ &= \frac{\lim\limits_{n \to \infty}1-\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}}{\lim\limits_{n \to \infty}2+\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}}\\ &=\frac{1-0}{2+0}=\frac{1}{2} \end{align*}$
- In der ersten Zeile wird der Bruch erweitert um den Faktor $\frac{1}{n^2}$. Dies ist noch keine Anwendung der Grenzwertsätze.
- In der zweiten Zeile wird die Klammer ausmultipliziert. Dies ist auch noch keine Anwendung der Grenzwertsätze. Du erhältst im Zähler und Nenner jeweils Folgen, die die Voraussetzungen der Grenzwertsätze erfüllen. Beide Folgen konvergieren und sowohl die Folge im Nenner als auch deren Grenzwert sind nicht 0.
- Hier wird der Satz für die Quotientenfolge (QF) angewendet: der Grenzwert einer Quotientenfolge ist der Quotient der Grenzwerte. Um diese auszurechnen, werden weitere Grenzwertsätze angewendet.
- Im Zähler wird der Satz für die Differenzfolge und im Nenner der für die Summenfolge angewendet. Dieser besagt, dass der Grenzwert der Summen- oder Differenzfolge gerade die Summe oder Differenz der Grenzwerte ist.
- Nun können die Grenzwerte sowohl im Zähler als auch im Nenner berechnet werden und somit der Grenzwert der Folge $f_n$.
-
Arbeite heraus, wogegen die Folge konvergiert.
TippsDu musst den Bruch erweitern, um die Grenzwertsätze für Folgen anwenden zu können.
- $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n±b_n)=\lim\limits_{n \to \infty}a_n±\lim\limits_{n \to \infty}b_n=a±b$
- $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n)=\lim\limits_{n \to \infty}a_n \cdot \lim\limits_{n \to \infty}b_n=a \cdot b$
- Hier muss zusätzlich noch gelten, dass $b_n≠0$ und $b≠0$: $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{a_n}{b_n} \right)=\frac{a}{b}$.
LösungZur Grenzwertberechnung werden bei der Folge Zähler und Nenner jeweils mit $\frac{1}{n^2}$ multipliziert.
$\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{an^2+bn+c}{dn^2+en+f} \right)&= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac {\frac{1}{n^2}(an^2+bn+c)}{\frac{1}{n^2}(dn^2+en+f)} \right) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{a+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^2}}{d+\frac{e}{n}+\frac{f}{n^2}} \right)\\ &= \frac {\lim\limits_{n \to \infty} \left(a+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^2} \right) } {\lim\limits_{n \to \infty} \left( d+\frac{e}{n} +\frac{f}{n^2} \right)} \\ &=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}a+\lim\limits_{n \to \infty}\frac{b}{n}+\lim\limits_{n \to \infty}\frac{c}{n^2}}{\lim\limits_{n \to \infty}d+\lim\limits_{n \to \infty}\frac{e}{n}+\lim\limits_{n \to \infty}\frac{f}{n^2}}\\ &=\frac{a+0+0}{d+0+0}=\frac{a}{d} \end{align*}$.
Ganz allgemein kannst du dir bei solchen Folgen die drei Fälle anschauen:
- Der höchste Exponent im Zähler ist größer als der im Nenner: die Folge divergiert.
- Der höchste Exponent im Zähler ist gleich dem im Nenner: Die Folge konvergiert. Dies entspricht gerade diesem Beispiel. Der Grenzwert ist der Quotient aus den Faktoren vor dem jeweiligen $n$ mit dem höchsten Exponenten im Zähler und im Nenner.
- Der höchste Exponent im Zähler ist kleiner als der im Nenner: die Folge konvergiert gegen 0.
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ok das video ist ganz gut : )
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