Grenzwert einer Folge – Beispiele für Konvergenz

Grenzwert einer Folge – Beispiele für Konvergenz Übung

• Bestimme die Folgen, die gegen Null konvergieren.

  Tipps

  Eine Folge ist eine Nullfolge, wenn sie gegen den Grenzwert 0 konvergiert.

  Berechne jeweils einige Folgenglieder, bis du einen Grenzwert erkennen kannst.

  Du kannst die Folgenglieder auch in ein Koordinatensystem eintragen.

  Dabei kannst du die anschauliche Bedeutung der Definition erkennen: Die Folgenglieder liegen ab einem gewissen Index in einem $\epsilon$-Schlauch um den Grenzwert.

  Lösung

  1. Die Folge $a_n=\frac{1}{n}$ konvergiert gegen $g=0$. Sie ist also eine Nullfolge.
  2. Die Folge $b_n=1-\frac{1}{4n}$ konvergiert gegen $g=1$. Sie ist keine Nullfolge.
  3. Die Folge $c_n=2 \cdot \left( \frac{1}{3}\right)^{n-1}$ konvergiert gegen $g=0$. Sie ist eine Nullfolge.

  Den Grenzwert erhältst du jeweils dadurch, dass du Folgenglieder berechnest. Dies ist eine Vermutung. Ob dies wirklich der Grenzwert ist, weist du mit der Definition des Grenzwertes nach.

• Vervollständige den Nachweis zur Konvergenz der Folge $a_n=\frac{1}{n}$.

  Tipps

  Das Verhalten der Folge kannst du dadurch einschätzen, dass du einige Folgenglieder berechnest. So kannst du eine Vermutung darüber anstellen, wie der Grenzwert aussieht.

  Die Definition eines Grenzwertes lautet:

  Eine Zahl $g \in \mathbb{R}$ heißt Grenzwert einer Folge $a_n$, falls es für alle $\epsilon>0$ einen Index $N \in \mathbb{N}$ gibt, sodass für alle Folgenglieder $a_n$ mit $n≥N$ gilt: $|a_n-g|<\epsilon$.

  Eine Ungleichung kannst du ebenso lösen wie eine Gleichung. Du musst nur aufpassen, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst. Dann dreht sich die Ungleichung um.

  Setze konkrete Werte für $a_n$, $\epsilon$ und g in die Ungleichung $|a_n-g|<\epsilon$ ein und stelle nach n um.

  Lösung

  Die Folge $a_n=\frac{1}{n}$ ist eine Nullfolge. Das heißt, der Grenzwert dieser Folge ist 0.

  Dies ist erst einmal eine Vermutung, welche du aufgrund der ersten Folgenglieder aufstellen kannst. Dass der vermutete Grenzwert g auch tatsächlich der Grenzwert ist, kannst du mit der Definition beweisen.

  Für alle $\epsilon>0$ muss ab einem gewissen Index $n \in \mathbb{N}$ gelten, dass alle Folgenglieder mit $n≥N$ gilt: $|a_n-g|<\epsilon$. Diesen Beweis kannst du hier nun für $\epsilon=0,1$ sehen. Natürlich muss dieser Beweis für ein beliebiges $\epsilon$ geführt werden; nur reicht dieses Beispiel für das Verständnis. Du kannst gerne diesen Beweis mit einem anderen $\epsilon$ wiederholen. Du wirst sehen, der Index N wird sich ändern.

  $|a_n-g|=\left| \frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<0,1$

  Nun muss diese Ungleichung für N gelten. Du musst die Ungleichung nach N umformen.

  $\begin{align*} \frac{1}{N}&<0,1 &|& \cdot N ~~:0,1 \\ 10&<N \end{align*}$.

  Das heißt: Für alle Indizes $n≥11$ gilt $\left| \frac{1}{n}-0\right|<0,1$.

• Ermittle die Grenzwerte der konvergenten Folgen.

  Tipps

  Berechne einige Folgenglieder. Was kannst du beobachten?

  Du kannst die Folgenglieder auch in ein Koordinatensystem eintragen. Dann kannst du die anschauliche Bedeutung der Definition eines Grenzwertes erkennen:

  Ab einem gewissen Index müssen alle Folgenglieder in einem $\epsilon$-Schlauch um den Grenzwert liegen.

  Lösung

  Um die Definition eines Grenzwertes anwenden zu können, musst du einen Grenzwert erst einmal vorgeben. Dies kannst du zum Beispiel dadurch tun, dass du einige Folgenglieder ausrechnest und den möglichen Grenzwert erkennst.

  1. $a_n=\frac{1}{n^2}$ konvergiert gegen $g=0$. Die ersten Folgenglieder sind $a_1=1$, $a_2=\frac{1}{4}$, $a_3=\frac{1}{9}$. Den Grenzwert kannst du schon erkennen.
  2. $b_n=4+\frac{2}{3n}$. Du kannst einige Folgenglieder berechnen: $b_1=\frac{14}{3}$, $b_{10}=\frac{61}{15}$, $b_{100}=\frac{601}{150}$. Diese Werte nähern sich dem Grenzwert $g=4$ an.
  3. $c_n=3+\left(\frac{2}{3} \right)^n$. Die Basis in dem zweiten Summanden ist kleiner als 1. Dadurch, dass der Exponent immer größer wird, konvergiert die Potenz gegen 0. Insgesamt konvergiert die Folge $c_n$ gegen den Grenzwert $g=3$.
  4. $d_n=\frac{2n+1}{n+1}$. Auch hier kannst du wieder einige Folgenglieder berechnen: $d_1=\frac{3}{2}$, $a_{10}=\frac{21}{11}$, $a_{100}=\frac{201}{101}$. Der Grenzwert ist $g=2$.

  Zu jedem dieser Grenzwerte kannst du den Nachweis über die Definition des Grenzwertes führen.

• Weise nach, dass die Folge $a_n$ konvergiert.

  Tipps

  Eine Folge heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt.

  Berechne einige Folgenglieder, um den Grenzwert zu erhalten.

  Den Nachweis des Grenzwertes führst du über die Definition.

  Eine Zahl $g \in \mathbb{R}$ heißt Grenzwert einer Folge $a_n$, falls es für alle $\epsilon>0$ einen Index $N \in \mathbb{N}$ gibt, sodass für alle Folgenglieder $a_n$ mit $n≥N$ gilt: $|a_n-g|<\epsilon$.

  Setze die Werte für $a_n$, g und $\epsilon$ in die Ungleichung $|a_n-g|<\epsilon$ ein und forme nach n um.

  Lösung

  Durch Berechnen einiger Folgenglieder wie $a_1=-\frac{2}{3}$, $a_{10}=-\frac{299}{102}$ und $a_{100}=-\frac{29999}{10002}$ kannst du erkennen, dass der Grenzwert $g=3$ ist.

  Nach der Definition muss gelten, dass für alle $\epsilon>0$ ein $N \in \mathbb{N}$ existiert, sodass für alle Folgenglieder $a_n$ mit $n≥N$ gilt: $|a_n-g|<\epsilon$.

  Anschaulich heißt das, dass ab diesem Index alle Folgenglieder in einem $\epsilon$-Schlauch um den Grenzwert liegen. Wir berechnen:

  $\left| \frac{1-3n^2}{n^2+2}+3\right|=\left| \frac{1-3n^2+3n^2+6}{n^2+2}\right|=\left| \frac{7}{n^2+2}\right|=\frac{7}{n^2+2}$.

  Für $N$ muss dies kleiner $0,01$ sein:

  $\begin{align*} \frac{7}{N^2+2}&<0,01 &|& \cdot 100 ~~ \cdot (N^2+2)\\ 700&<N^2+2 &|& -2\\ 698&<N^2 &|& \sqrt{~}\\ 26,42&<N \end{align*}$.

  Also gilt ab $N=27$, dass alle Folgenglieder in dem $\epsilon$-Schlauch liegen.

  Der negative Wert, welcher beim Ziehen der Wurzel auch betrachtet werden müsste, wird hier nicht benötigt, da $N \in \mathbb{N}$.

• Ergänze die Definition des Grenzwertes einer Folge.

  Tipps

  Unter dem Grenzwert einer Folge versteht man die Zahl, an die sich die Folgenglieder annähern. Daher kommt auch der Begriff der Konvergenz aus dem Lateinischen „convergere“ für annähern.

  Anschaulich gesprochen konvergiert eine Folge gegen g, wenn die Folgenglieder für jedes $\epsilon$ ab einem Index im $\epsilon$-Schlauch liegen.

  Lösung

  Eine Zahl $g \in \mathbb{R}$ heißt Grenzwert einer Folge $a_n$, falls es für alle $\epsilon>0$ einen Index $N \in \mathbb{N}$ gibt, sodass für alle Folgenglieder $a_n$ mit $n≥N$ gilt: $|a_n-g|<\epsilon$.

  Falls ein solcher Grenzwert existiert, heißt die Folge $a_n$ konvergent.

  Schreibweise: $\lim\limits_{n \to \infty}a_n=g$.

  Andernfalls gibt es zwei Fälle; in beiden Fällen spricht man von Divergenz:

  • Die Folge $a_n$ hat keinen Grenzwert, wie zum Beispiel die Folge $a_n=(-1)^n$. Für gerade Indizes ist das Folgenglied 1 und für ungerade -1. Dies ist eine alternierende Folge.
  • Die Folgenglieder der Folge $a_n$ werden immer größer, zum Beispiel die Folge $a_n=n$. Hier spricht man auch von einer uneigentlichen Konvergenz.

• Untersuche, ob die folgenden Aussagen zu Konvergenz und Grenzwerten korrekt sind.

  Tipps

  Die Definition eines Grenzwertes besagt, dass ab einem gewissen Index alle Folgenglieder in einem $\epsilon$-Schlauch um dem Grenzwert liegen müssen. Das muss auch für sehr kleine $\epsilon$ gelten.

  Wie sieht dies bei zwei Grenzwerten aus?

  Berechne zu der Folge $a_n=\frac{3+2n}{n^2}$ einige Folgenglieder. Wie verhält es sich allgemein für $a_n=\frac{bn+c}{dn^2+en+f}$?

  Betrachte bei der Folge $a_n=b^n$ verschiedene $b$ als Basis und berechne jeweils einige Folgenglieder.

  Die Folgenglieder der Folge $a_n=(-1)^n$ sind je nach Index immer 1 oder -1. Dies ist eine alternierende Folge. Sie ist divergent.

  Lösung

  Eine Folge $a_n$ heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert hat. Dieser muss eindeutig sein. Seien $g_1$ und $g_2$ zwei verschiedene Grenzwerte. Für $\epsilon=\frac{1}{2}|g_1-g_2|$ gilt dann mit der Dreiecksungleichung:

  $|g_1-g_2|=|g_1-a_n+a_n-g_2|≤|g_1-a_n|+|a_n-g_2|<2\epsilon=|g_1-g_2|$.

  Dies ist ein Widerspruch.

  Die Folge $a_n=1^n$ ist konstant 1, sie hat also den Grenzwert 1. Somit ist sie keine Nullfolge. Wenn die Basis $b$ der Folge $a_n=b^n$ zwischen -1 und 1 liegt, konvergiert die Folge gegen 0. Ist die Basis größer als 1 oder kleiner als -1, so divergiert die Folge.

  Die Definition des Grenzwertes besagt gerade, dass nur endlich viele Folgenglieder außerhalb des Intervalls $I=[g-\epsilon;g+\epsilon]$ liegen.

  Bei der Folge $a_n=\frac{bn+c}{dn^2+en+f}$ ist der höchste Exponent im Nenner größer als der höchste Exponent im Zähler. In diesem Fall ist die Folge eine Nullfolge.

  Du kannst dir dies am Beispiel der Folge $a_n=\frac{3+2n}{n^2}$ klarmachen, indem du einige Folgenglieder ausrechnest.