Gleichungen 3. Grades ohne Absolutglied – Ausklammern

Gleichungen 3. Grades ohne Absolutglied – Ausklammern Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Gleichungen dritten Grades.

  Tipps

  Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation. Die beiden Zahlen, die multipliziert werden, heißen Faktoren. Also:

  $\text{Faktor} \cdot \text{Faktor}= \text{Produkt}$

  Multiplizierst du eine Zahl mit null, ist das Ergebnis immer gleich null!

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  • „Gleichungen, deren Variablen höchstens zur dritten Potenz erhoben sind, heißen quadratische Gleichungen.“

  Diese Gleichungen heißen kubische Gleichungen oder Gleichungen dritten Grades.

  • „Eine Gleichung dritten Grades kann nur entweder keine oder drei reelle Lösungen haben.“

  Eine solche Gleichung kann zwischen einer und drei reellen Lösungen haben.

  Diese Aussagen sind richtig:

  • „Das Absolutglied einer Gleichung ist der Teil, der nicht mit einer Variablen multipliziert wird.“

  • „Bei einer Gleichung dritten Grades ohne Absolutglied musst du zuerst $x$ ausklammern, um den Satz vom Nullprodukt anwenden zu können.“

  • „Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann gleich null wird, wenn einer seiner Faktoren null ist.“

• Bestimme die Lösung der Gleichung dritten Grades.

  Tipps

  In einer Gleichung in Normalform stehen alle Terme der Gleichung auf einer Seite. Durch Äquivalenzumformungen kannst du Gleichungen auf die Normalform bringen. Zum Beispiel steht

  $x^2=4$

  nicht in der Normalform. Ziehst du $4$ von der Gleichung ab, ist sie in der Normalform:

  $ x^2-4=0$

  Die Quadratwurzel einer negativen Zahl ist im reellen Zahlenraum nicht definiert.

  Lösung

  Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

  „Zuerst bringt sie die Gleichung auf die Normalform. Dazu zieht sie auf beiden Seiten $24$ ab. Dann erhält sie:

  $-9x^3-4x=0$.“

  • In einer Gleichung in Normalform stehen alle Terme der Gleichung auf einer Seite. Durch Äquivalenzumformungen kannst du Gleichungen auf die Normalform bringen.

  „Als Nächstes klammert sie $x$ aus. Das ergibt:

  $x \cdot (-9x^2-4)=0$.“

  • Um den Satz vom Nullprodukt anwenden zu können, musst du die Gleichung zuerst in ein Produkt umformen. Das erreichst du, indem du $x$ ausklammerst.

  „Nach dem Satz vom Nullprodukt ist eine Lösung der Gleichung: $x=0$.“

  • Setzt du $0$ in die Gleichung ein, dann wird die Gleichung gleich $0$. Denn alles, was mit null multipliziert wird, wird zu null.

  „Die anderen Lösungen bestimmt sie durch:

  $-9x^2-4=0$.“

  • Jetzt musst du herausfinden, wann der andere Faktor der Gleichung gleich null wird. Das erreichst du, indem du ihn gleich null setzt.

  „Hier muss sie nach $x$ auflösen. Dazu addiert sie $4$ und teilt durch $-9$. Dann erhält sie:

  $x^2= -\frac{4}{9}$.

  Diese Gleichung ist nicht lösbar. Damit beträgt die Lösungsmenge: $\mathrm{L}=\{x=0\}$.“

  • Die Quadratwurzel eine negativen Zahl ist im reellen Zahlenraum nicht definiert. Deshalb hat diese Gleichung nur die Lösung $x=0$.

• Ermittle die Lösung der Gleichungen.

  Tipps

  Du kannst die Lösungen der Gleichungen bestimmen, indem du die Gleichungen faktorisierst und den Satz vom Nullprodukt verwendest.

  Bleibt nach dem Faktorisieren eine quadratische Gleichung, kannst du diese mit der $p-q-Formel$ oder Mitternachtsformel lösen.

  Lösung

  Verbinde die Gleichungen mit ihren Lösungen, indem du die Gleichungen faktorisierst und den Satz vom Nullprodukt verwendest. Bei

  $x^3-4x=0$

  kannst du folgendermaßen vorgehen:

  $\begin{array}{ll} x^3-4x&=0 \\ x(x^2-4)&=0 \end{array}$

  Daraus folgt die erste Lösung der Gleichung: $x_2=0$. Die anderen kannst du bestimmen, indem du den zweiten Faktor gleich null setzt:

  $\begin{array}{lll} x^2-4&=0 &\vert+4\\ x^2&=4 &\vert\sqrt{\hphantom{x}}\\ x&= \pm 2 \end{array}$

  Daraus folgen die anderen beiden Lösungen: $x_1=-2$ und $x_3=2$. Die Nummerierung der Lösungen ist beliebig wählbar.

  Die anderen Gleichungen kannst du analog lösen. Dann erhältst du:

  • $3x^3-27x=0$ hat die Lösungen $x_1=-3$, $x_2=0$, $x_3=3$

  • $x^3-x^2-6x=0$ wir durch $x_1=-2$, $x_2=0$, $x_3=3$ gelöst

  • $5x^3-5x=0$ ergibt: $x_1=-1$, $x_2=0$, $x_3=1$

• Leite die Lösungen der Gleichungen her.

  Tipps

  Betrachtest du ein Produkt aus zwei Faktoren, dann besagt der Satz vom Nullprodukt, dass das Produkt genau dann gleich null ist, wenn einer der Faktoren gleich null ist.

  Lösung

  Bestimme die Lösungen der Gleichungen mit dem bekannten Vorgehen. Für die erste Gleichung erhältst du:

  $\begin{array}{lll} x^3+2x+15&=15 &\vert -15\\ x^3+2x&=0 \\ x(x^2+2)&=0\\ \end{array}$

  Daraus folgt die erste Lösung der Gleichung: $x_2=0$. Die anderen kannst du bestimmen, indem du den zweiten Faktor gleich null setzt:

  $\begin{array}{lll} x^2+2&=0 & \vert -2\\ x^2 &=-2 \end{array}$

  Diese Gleichung hat keine Lösung, da die Wurzel einer negativen Zahl nicht definiert ist. Die anderen Gleichungen kannst du auf ähnliche Weise lösen. Dann erhältst du:

  • $x^3+3x^2-10x=0$ hat die Lösungen $x_1=-5$ $x_2=0$ und $x_3=2$

  • $(x^2-9)x+13=13$ ergibt $x_1=-3$, $x_2=0$ und $x_3=3$

  • Die Gleichung $3x^3-60x=15x$ wird gelöst durch $x_1=-5$, $x_2=0$ und $x_1=5$

  • $3x^3-24x^2 +45x=0$ hat folgende Lösungen $x_1=0$, $x_2=3$ und $x_3=5$

• Benenne die Teile der kubischen Gleichung.

  Tipps

  Die Potenz der Variablen entscheidet über den Namen des Glieds.

  In quadratischen Gliedern ist die Variable zur zweiten Potenz erhoben.

  Lösung

  Du kannst die Glieder folgendermaßen zuordnen:

  • In kubischen Gliedern ist die Variable zur dritten Potenz erhoben: $-9x^3$, $5x^3$ und $ax^3$

  • In quadratischen Gliedern ist die Variable zur zweiten Potenz erhoben: $bx^2$, $-5x^2$

  • In linearen Gliedern ist die Variable zur ersten Potenz erhoben: $cx$ und $-10x$

  • Absolutglieder stehen ohne Variable: $-10$ und $d$

• Erschließe eine Nullstelle der Gleichungen dritten Grades mit Absolutglied.

  Tipps

  Hier geht es darum, die erste Nullstelle zu erraten. Dabei kannst du ausnutzen, dass das Absolutglied durch diese Nullstelle teilbar sein muss. Du kannst also alle Teiler des Absolutglieds nacheinander in die Gleichung einsetzen und überprüfen, ob sie die Gleichung lösen.

  Das Absolutglied von

  $x^3+6x^2+11x+6=0$

  ist beispielsweise durch die Zahlen $\pm1$, $\pm2$, $\pm3$ und $\pm6$ teilbar. Setze nacheinander alle diese Zahlen in die Gleichung ein und überprüfe, ob sie die Gleichung lösen.

  Lösung

  Hier geht es darum, die erste Nullstelle zu erraten. Dabei kannst du ausnutzen, dass das Absolutglied durch die Nullstellen teilbar sein muss. Du kannst also alle Teiler des Absolutglieds nacheinander in die Gleichung einsetzen und überprüfen, ob sie die Gleichung lösen.

  Die Gleichung $x^3-x^2+x-1=0$ hat das Absolutglied $-1$. Es ist durch $-1$ und $1$ vollständig teilbar. Setzt du $-1$ in die Gleichung ein, erhältst du:

  $(-1)^3-(-1)^2+(-1)-1=-1-1-1-1=-4 \neq 0$

  Die Gleichung wird also nicht durch $-1$ gelöst. Setzt du die andere Möglichkeit $1$ ein, erhältst du:

  $1^3-1^2+1-1=0$

  $x=1$ löst also die Gleichung. So kannst du auch die Nullstellen der anderen Gleichungen bestimmen, wobei es jeweils ausreicht, eine der möglichen Lösungen zu finden. Du erhältst:

  • Die Gleichung $x^3-x^2-3x-1=0$ hat eine Nullstelle bei $x=-1$.

  • Die Nullstellen von $x^3+6x^2+11x+6=0$ liegen bei $x=-1$, $x=-2$ oder $x=-3$.

  • $3x^3+4x^2-x+6=0$ hat eine Nullstelle bei $x=-2$.

  • Die Gleichung $-x^3+3x^2+x-3=0$ hat Nullstellen bei $x=3$, $x=-1$ und $x=1$.