Biquadratische Gleichungen

Biquadratische Gleichungen Übung

• Bei welchen Gleichungen handelt es sich um biquadratischen Gleichungen?

  Tipps

  Biquadratisch heißt in etwa doppelt quadratisch.

  Drei der angegebenen Gleichungen sind biquadratisch.

  Biquadratische Gleichungen haben im Allgemeinen die Form:

  $ax^{4} + bx^{2} + c = 0$

  Lösung

  Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen die $x$-Potenzen $x^{4}$ und $x^{2}$ und ein absolutes Glied vorkommen.

  Die folgenden Gleichungen sind biquadratische Gleichungen:

  $x^{4} - 9x^{2} + 90 = 0$

  $100x^{4} - 99x^{2} + 98 = 0$

  $23x^{4} + 2x^{2} + 3 = 0$

  Die folgenden Gleichungen sind keine biquadratischen Gleichungen:

  $x^{4} - 2x^{3} + 1 = 0$

  $4x^{5} - 4x^{2} + 16 = 0$

  $444x^{3} - 22xx^{2} + 11 = 0$

• Welche Aussagen über biquadratische Gleichungen sind richtig?

  Tipps

  Zwei Aussagen sind richtig.

  Schau dir die Formulierungen genau an.

  Lösung

  Diese Aussagen über biquadratische Gleichungen sind richtig:

  • Bei der Substitution wird jedes $x^{2}$ in einer biquadratischen Gleichung durch eine andere Variable, beispielsweise ein $z$ ersetzt.

  • Die durch die Substitution entstandene Gleichung lässt sich als quadratische Gleichung mit der $pq$-Formel oder der Mitternachtsformel lösen.

  Die Aussage „Um die biquadratische Gleichung zu lösen, wird im dritten Schritt die Resubstitution durch eine Substitution rückgängig gemacht.“ ist falsch, da hier die Begriffe Resubstitution und Substitution vertauscht wurden.

• Bringe die Schritte zur Lösung der biquadratischen Gleichung in die richtige Reihenfolge.

  Tipps

  Die drei Schritte zur Lösung einer biquadratischen Gleichung sind:

  1. Substitution
  2. Anwenden der $pq$-Formel oder der Mitternachtsformel
  3. Resubstitution

  Lösung

  Biquadratische Gleichungen lassen sich mit dem Prinzip der Substitution in drei Schritten lösen.

  Schritt 1: Substitution

  Bei der Substitution wird jedes $x^{2}$ in einer biquadratischen Gleichung durch eine andere Variable, beispielsweise ein $z$ ersetzt. Es gilt dann also $x^{2}=z$.

  $x^{4} - 10x^{2} + 9 = 0$

  $z^{2} - 10z + 9 = 0$

  $x^{4}$ entspricht $(x^{2})^{2}$, deshalb wird aus $x^{4}$ bei der Substitution $x^{2}$.

  Die durch die Substitution entstandene Gleichung lässt sich als quadratische Gleichung mit der $pq$-Formel oder der Mitternachtsformel lösen.

  Schritt 2: $pq$-Formel oder Mitternachtsformel

  Du ermittelst die Werte $p$ und $q$, um die $pq$-Formel anzuwenden.

  $z^{2} - 10z + 9 = 0$

  $p = -10$ $q = 9$

  Diese Werte setzt du in die $pq$-Formel ein, um die Gleichung zu lösen.

  $z_{1,2} = \frac{10}{2} \pm \sqrt{ \left( -\frac{10}{2} \right)^{2} -9 }$

  $z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ \left(-5 \right)^{2} -9 }$

  $z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 25 -9 }$

  $z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 16 }$

  $z_{1,2} = 5 \pm 4$

  Du erhältst folgende Werte für $z$:

  $z_{1} = 9$

  $z_{2} = 1$

  Schritt 3: Resubstitution

  Um die biquadratische Gleichung zu lösen, machst du im dritten Schritt die Substitution durch eine Resubstitution rückgängig. Aus $z$ wird wieder $x^{2}$.

  <p>$z_{1} = 9 \Rightarrow x^{2} = 9$</p> <p>$z_{2} = 1 \Rightarrow x^{2} = 1$</p>

  Du erhältst folgende Lösungen für $x$:

  <p>$ x^{2} = 9 \Rightarrow x_{1} = 3$ und $x_{2} = -3$</p>

  <p>$ x^{2} = 1 \Rightarrow x_{3} = 1$ und $x_{4} = -1$</p>

  Diese biquadratische Gleichung hat vier Lösungen.

• Verbinde die biquadratische Gleichung mit der passenden substituierten Gleichung.

  Tipps

  Überlege, welcher Teil der Gleichung sich bei der Substitution verändert.

  Lösung

  1.

  $x^{4} - 7x^{2} + 12 = 0$

  Durch Substitution erhältst du diese Gleichung:

  $z^{2} - 7z + 12 = 0$

  2.

  $2x^{4} - 18x^{2} + 3 = 0$

  Durch Substitution erhältst du diese Gleichung:

  $2z^{2} - 18z + 3 = 0$

  3.

  $9x^{4} - 25x^{2} + 81 = 0$

  Durch Substitution erhältst du diese Gleichung:

  $9z^{2} - 25z + 81 = 0$

  4.

  $x^{4} - 36x^{2} + 36 = 0$

  Durch Substitution erhältst du diese Gleichung:

  $z^{2} - 36z + 36 = 0$

• Löse die biquadratische Gleichung.

  Tipps

  Diese biquadratische Gleichung hat zwei Lösungen.

  Die gleiche Zahl kann an mehreren Stellen richtig sein.

  Lösung

  $x^{4} - 10x^{2} - 11 = 0$

  Durch die Substitution $x^{2}=z$ erhältst du:

  $z^{2} - 10z - 11 = 0$

  Jetzt wendest du die $pq$-Formel an:

  $z_{1,2} = \frac{10}{2} \pm \sqrt{ \left( -\frac{10}{2} \right)^{2} - (-11) }$

  $z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 25 + 11 }$

  $z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 36 }$

  Du erhältst folgende Werte für $z$:

  $z_{1} = 11 \Rightarrow x^{2} = 11$

  $z_{2} = -1 \Rightarrow x^{2} = -1$

  Daraus ergeben sich nach der Resubstitution folgende $x$-Werte für $z_{1}$:

  $x_{1} = \sqrt{11}$ und $x_{2} = -\sqrt{11}$

  Da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann, kannst du für $z_{2}=-1$ keine Werte erhalten.

  Die biquadratische Gleichung $x^{4} - 10x^{2} - 11 = 0$ hat deshalb nur zwei Lösungen.

  Eine biquadratische Gleichung hat zwei Lösungen, wenn einer der Werte für $z$ negativ ist.

• Treffen die Elemente auf biquadratische Gleichungen mit keiner, mit zwei oder mit vier Lösungen zu?

  Tipps

  Achte auf negative Zahlen und überlege, wie diese im weiteren Verlauf der Rechnung die Anzahl der Lösungen beeinflussen kann.

  Lösung

  Eine biquadratische Gleichung hat vier Lösungen, wenn beide Werte für $z$ positiv sind.

  Beispiel:

  $2x^{4} - 20x^{2} + 18 = 0$

  $2z^{2} - 20z + 18 = 0 \vert :2$

  $z^{2} - 10z + 9 = 0$

  $p = -10$

  $q = 9$

  $z_{1,2} = \frac{10}{2} \pm \sqrt{ \left( -\frac{10}{2} \right)^{2} -9 }$

  $z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ \left(-5 \right)^{2} -9 }$

  $z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 25 -9 }$

  $z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 16 }$

  $z_{1,2} = 5 \pm 4$

  $z_{1} = 9$

  $z_{2} = 1$

  $z_{1} = 9 \Rightarrow x^{2} = 9$

  $z_{2} = 1 \Rightarrow x^{2} = 1$

  $ x^{2} = 9 \Rightarrow x_{1} = 3$ und $x_{2} = -3$

  $ x^{2} = 1 \Rightarrow x_{3} = 1$ und $x_{4} = -1$

  Eine biquadratische Gleichung hat zwei Lösungen, wenn einer der Werte für $z$ negativ ist.

  Beispiel:

  $x^{4} - 4x^{2} - 12 = 0$

  $z^{2} - 4z - 12 = 0$

  $p = -4$

  $q = -12$

  $z_{1,2} = \frac{4}{2} \pm \sqrt{ \left( -\frac{4}{2} \right)^{2} + 12 }$

  $z_{1,2} = 2 \pm \sqrt{ \left(-2 \right)^{2} + 12 }$

  $z_{1,2} = 2 \pm \sqrt{ 4 + 12 }$

  $z_{1,2} = 2 \pm \sqrt{ 16 }$

  $z_{1,2} = 2 \pm 4$

  $z_{1} = 6$

  $z_{2} = -2$

  $z_{1} = 6 \Rightarrow x^{2} = 6$

  $ x^{2} = 6 \Rightarrow x_{1} = \sqrt{6}$ und $x_{2} = -\sqrt{6}$

  Eine biquadratische Gleichung hat keine Lösung, wenn bereits in der $pq$-Formel unter der Wurzel eine negative Zahl steht und du daher keine Ergebnisse für $z$ erhältst.

  Beispiel:

  $x^{4} - 6x^{2} + 10 = 0$

  $z^{2} - 6z + 10 = 0$

  $p = -6$

  $q = 10$

  $z_{1,2} = \frac{6}{2} \pm \sqrt{ \left( -\frac{6}{2} \right)^{2} -10 }$

  $z_{1,2} = \frac{6}{2} \pm \sqrt{ -1 }$