Gegenseitige Lage Punkt-Gerade und Punkt-Strecke

Gegenseitige Lage Punkt-Gerade und Punkt-Strecke Übung

• Gib die Lage der Punkte zur Geraden $g$ durch $A$ und $B$ an.

  Tipps

  Eine Gerade, die durch zwei Punkte verläuft, enthält diese auch.

  Setze die Koordinaten in die Geradengleichung ein und überprüfe die Werte für $t$.

  Lösung

  Da die Gerade durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft, liegen diese zwangsläufig auch auf der Geraden. Bleiben noch $C, D$ und $E$.

  Beginnen wir mit Punkt $C$. Um seine Lage zu $g$ zu ermitteln, müssen wir seine Koordinaten anstelle von $\vec{x}$ in die Geradengleichung einsetzen und die Werte für $t$ berechnen:

  $\begin{array}{cccc|c} 4,5 & = & 1 & +t & t~=~3,5 \\ -6,5 & = & 4 & -3t & t~=~3,5 \\ 6,5 & = & 3 & +t & t~=~3,5 \end{array}$

  Wie du siehst, sind die Werte für $t$ in jeder Zeile identisch. Daher können wir sagen, dass $C$ auf $g$ liegt.

  Weiter mit Punkt $D$:

  $\begin{array}{cccc|c} 3 & = & 1 & +t & t~=~2 \\ -2 & = & 4 & -3t & t~=2 \\ 4 & = & 3 & +t & t~=~1 \end{array}$

  Hier sind die $t$ unterschiedlich, was bedeutet, dass Punkt $D$ nicht auf $g$ liegen kann.

  Weiter mit dem letzten, Punkt $E$:

  $\begin{array}{cccc|c} 1,5 & = & 1 & +t & t~=~0,5 \\ 2,5 & = & 4 & -3t & t~=~0,5 \\ 3,5 & = & 3 & +t & t~=~0,5 \end{array}$

  Hier sind die Werte wieder identisch - $E$ muss auf $g$ liegen.

• Bestimme ein $t$, für das $P$ auf $h$ liegt.

  Tipps

  Stelle dir zuerst eine Gerade $h$ durch die Punkte $A$ und $B$ auf.

  Setze die Koordinaten von $P$ in die Geradengleichung ein. So entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen (Zeilen) und zwei Variablen, dass du auf verschiedenste Arten lösen kannst.

  Lösung

  Da die Gerade $h$ durch $A$ und $B$ verlaufen soll, bilden wir zuerst ihre Parametergleichung. Dazu verwenden wir den Ortsvektor von $A$ als Stützvektor und den Verbindungsvektor von $A$ zu $B$ als Richtungsvektor. Die Gerade sollte dann so aussehen:

  $h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -0,5 \end{pmatrix}$

  Nun können wir ein lineares Gleichungssystem aufstellen, mit dessen Hilfe wir den gesuchten Parameter bestimmen werden. Dazu setzen wir die Koordinaten von $P$ einfach in die Geradengleichung ein:

  $\begin{array}{c|ccccc|} I && 11~t & = & 6 & +4~r \\ II & 15 & -t & = & 1 & +3~r \\ III & 2 & -t & = & 2 & -0,5~r \end{array}$

  Wie du jetzt vorgehst, ist dir überlassen. In diesem Beispiel siehst du eine Möglichkeit, das LGS zu lösen.

  $II-III$

  \begin{align} 13 &= -1 + 3,5~r \\ 14 &= 3,5~r \\ r &= 4 \end{align}

  $r$ in $II$ (geht natürlich auch mit $III$):

  \begin{align} 15 - t &= 1 + 3\cdot (4) \\ 15 - t &= 13 \\ t &= 2 \end{align}

  $r,t$ in $I$ (Probe):

  \begin{align} 11\cdot (2) &= 6 + 4 \cdot (4) \\ 22 &= 22 \end{align}

  Damit haben wir gezeigt, dass für $t=2$ der Punkt $P$ auf der Geraden $h$ liegt. Die korrekten Koordinaten dieses Punktes lauten nun:

  $P(22|13|0)$

• Entscheide, auf welcher der fünf Geraden der Punkt $P$ liegt.

  Tipps

  Setze die Koordinaten in die Geradengleichung ein und überprüfe die Werte für $t$.

  So könnte eine erfolgreiche Punktprobe aussehen.

  Nur eine Gerade enthält diesen Punkt.

  Lösung

  Hier müssen wir mit dem gegebenen Punkt $P$ und jeder gegebenen Geraden eine Punktprobe durchführen.

  Dazu setzen wir die Zeilen der Geradengleichungen mit den Koordinaten von $P$ gleich und überprüfen, ob wir in allen drei Zeilen jeweils dasselbe $t$ erhalten.

  Nur dann liegt der Punkt sicher auf der geprüften Gerade. Wir führen die Proben nach der Reihe durch.

  $P$ auf $g_1$:

  $\begin{array}{cccc|c} -10,5 & = & 2 & +t & t~=~-12,5 \\ 11 & = & 7 & +2~t & t~=~2 \\ -10,5 & = & 1 & +3~t & t~=~-3\frac56 \end{array}$

  Diese Gerade kommt also nicht in Frage.

  $P$ auf $g_2$:

  $\begin{array}{cccc|c} -10,5 & = & 0 & -4~t & t~=~2,625 \\ 11 & = & -3 & -6~t & t~=~-2\frac13 \\ -10,5 & = & 9 & +5~t & t~=~-3,9 \end{array}$

  Auch diese Gerade kommt nicht in Frage.

  $P$ auf $g_3$:

  $\begin{array}{cccc|c} -10,5 & = & -6 & +3~t & t~=~-1,5 \\ 11 & = & 5 & -4~t & t~=~-1,5 \\ -10,5 & = & -6 & +3~t & t~=~-1,5 \end{array}$

  Hier stimmen die Parameter überein. $P$ liegt also auf $g_3$. Aber die übrigen Geraden müssen wir auch überprüfen. Sie sind zwar nicht parallel bzw. identisch mit $g_3$, könnten sie aber in $P$ schneiden und somit auch $P$ enthalten:

  $P$ auf $g_4$:

  $\begin{array}{cccc|c} -10,5 & = & 2 & +6~t & t~=~-2\frac{1}{12} \\ 11 & = & & 2 & Widerspruch \\ -10,5 & = & 4 & -7~t & t~=~2 \frac{1}{14} \end{array}$

  Diese Gerade kommt nicht in Frage.

  $P$ auf $g_5$:

  $\begin{array}{cccc|c} -10,5 & = & 4 & -3~t & t~=~4\frac56 \\ 11 & = & 0 & +8~t & t~=~1,375 \\ -10,5 & = & 4 & -3~t & t~=~ 4\frac56 \end{array}$

  Auch diese Gerade kommt nicht in Frage.

• Bestimme, in welchem Punkt sich die beiden Geraden schneiden.

  Tipps

  Wenn Geraden nicht identisch, parallel oder windschief sind, existiert ein Schnittpunkt - diesen haben beide Geraden gemeinsam.

  Durch Punktüberprüfung kannst du herausfinden, welches der gemeinsame Punkt von $g$ und $h$ ist.

  Lösung

  Für die Lösung dieser Aufgabe müssen wir mehrere Punktproben durchführen. Prüfen wir die Punkte nach der Reihe, ob sie in beiden Geraden vorkommen, denn dann sind sie ein gemeinsamer Punkt - der Schnittpunkt der Geraden.

  Sie sind weder parallel, noch identisch. Sie sind auch nicht windschief - es muss ein Schnittpunkt existieren.

  Hier noch einmal die zu betrachtenden Geraden und Punkte:

  $g:\vec{x}=\begin{pmatrix} -16 \\ 1 \\ 14 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$

  $h:\vec{x}=\begin{pmatrix} -21 \\ -12 \\ 18 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$

  $(-2|0|8),~~(-1|-11|5),~~(6|7|-8),~~(-6|-7|8),~~(3|-5|9),~~(-3|4|4)$

  Beginnen wir die Überprüfung mit dem ersten möglichen Punkt und Gerade $g$:

  $\begin{array}{cccc|c} -2 & = & -16 & -5~r & r~=~-2,8 \\ 0 & = & 1 & +4~r & r~=~-0,25 \\ 8 & = & 14 & +3~r & r~=~-2 \end{array}$

  Da dieser Punkt offensichtlich nicht auf $g$ liegt, scheidet er aus. Weiter mit dem nächsten:

  $\begin{array}{cccc|c} -1 & = & -16 & -5~r & r~=~-3 \\ -11 & = & 1 & +4~r & r~=~-3 \\ 5 & = & 14 & +3~r & r~=~-3 \end{array}$

  Dieser Punkt liegt auf $g$, aber liegt er auch auf $h$?

  $\begin{array}{cccc|c} -1 & = & -21 & +6~t & t~=~3\frac13 \\ -11 & = & -12 & +2~t & t~=~0,5 \\ 5 & = & 18 & -4~t & t~=~3,25 \end{array}$

  Offensichtlich ist dies nicht der gesuchte Schnittpunkt - weiter mit dem nächsten:

  $\begin{array}{cccc|c} 6 & = & -16 & -5~r & r~=~-4,4 \\ 7 & = & 1 & +4~r & r~=~1,5 \\ -8 & = & 14 & +3~r & r~=~-7\frac13 \end{array}$

  Dieser Punkt kommt offenbar nicht in Frage, also überprüfen wir den nächsten:

  $\begin{array}{cccc|c} -6 & = & -16 & -5~r & r~=~-2 \\ -7 & = & 1 & +4~r & r~=~-2\\ 8 & = & 14 & +3~r & r~=~-2 \end{array}$

  Die Parameter sind identisch, also überprüfen wir diesen Punkt nun mit der Geraden $h$:

  $\begin{array}{cccc|c} -6 & = & -21 & +6~t & t~=~2,5 \\ -7 & = & -12 & +2~t & t~=~2,5 \\ 8 & = & 18 & -4~t & t~=~2,5 \end{array}$

  Der Punkt $S(-6|-7|8)$ liegt auf beiden Geraden und ist somit unser gesuchter Schnittpunkt von $g$ und $h$. Die übrigen Punkte muss man nicht mehr kontrollieren, da sie als Schnittpunkte nicht in Frage kommen, da es nur einen Schnittpunkte geben kann.

• Gib an, welche der Punkte auf der Strecke $\overline{AB}$ mit $A(1|4|3)$ und $B(2|1|4)$ liegen.

  Tipps

  Mit dem Parameter ($r,t$ oder $s$) einer Geradengleichung kann man die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden bestimmen.

  Ist der Parameter $0$, erhält man den Stützvektor.

  Ist der Parameter $1$, erhält man bei der Bildung einer Geradengleichung durch zwei Punkte den anderen Punkt, den man nicht als Stützvektor gewählt hat.

  Soll ein Punkt also auf der Strecke zwischen den beiden Punkten liegen, muss der berechnete Parameter üblicherweise zwischen $0$ und $1$ liegen.

  Punktprobe $C$

  Punktprobe $D$

  Punktprobe $E$

  Lösung

  Für diese Aufgabe benötigen wir die Punktproben aus Aufgabe $1$ (für Punkt $C$ im Bild).

  Aus dieser Punktprobe haben wir erschließen können, dass nur Punkt $C$ und $E$ auf der Geraden liegen, Punkt $D$ können wir also in dieser Aufgabe außer Acht lassen.

  Dann ist es wichtig, was der Parameter in einer Geradengleichung bedeutet. Nimmt er den Wert $t=0$ an, befinden wir uns - dreidimensional gedacht - noch am Stützvektor der Geraden.

  Nimmt er den Wert $t=1$ an, sind wir eine Richtungsvektorlänge an der Geraden entlanggegangen. Damit wären wir jetzt bei dem zweiten bekannten Punkt der Geraden, in diesem Beispiel wären wir also von $A$ zu $B$ gelangt.

  Um also auf der Strecke zwischen $A$ und $B$ zu landen, brauchen wir einen Parameter $t$, dessen Wert zwischen $0$ und $1$ liegt.

  Bei Punkt $C$ ist der Parameter $t=3,5$. Er ist also dreieinhalb Mal so weit von $A$ entfernt wie $B$.

  Nur Punkt $E$ liegt auf dieser Strecke. Mit $t=0,5$ liegt dieser Punkt also genau in der Mitte der Strecke zwischen $A$ und $B$.

• Ermittle die Koordinaten des Punktes $P$.

  Tipps

  Die Gleichung für die Gerade sähe mit $A$ als Stützvektor so aus:

  Mit dem Parameter $t$ lassen sich Streckenabschnitte / Anteile des Richtungsvektors bestimmen.

  Für $t=1$ wäre man zum Beispiel die ganze Strecke von $A$ zu $B$ gegangen.

  Für $t=0$ befindet man sich noch bei Punkt $A$.

  Lösung

  Wir möchten in diesem Beispiel, dass unser gesuchter Punkt auf der Geraden und der Strecke liegt, die durch die Punkte $A$ und $B$ entstehen.

  Zunächst benötigen wir die Parametergleichung für $h$. Dazu wählen wir $A$ als Startpunkt. Die Geradengleichung müsste dann so aussehen:

  $h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}$

  Auf dieser Gerade liegt unser gesuchter Punkt $Q$. Eine Anforderung an ihn ist, dass er auch auf der Strecke zwischen $A$ und $B$ liegt, nämlich genau auf einem Viertel dieser Strecke. Dazu können wir den Parameter $t$ verwenden, denn er gibt uns nicht nur an, wie oft wir die Länge des Richtungsvektors verwenden können, sondern auch, welche Anteile von ihm.

  Unser Parameter liegt also irgendwo zwischen null und eins, nämlich genau bei $t=0,25$ - einem Viertel der Strecke von $A$ nach $B$ also einem Viertel des Richtungsvektors der Geraden.

  $\overrightarrow{OQ}=\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} + (0,25)\cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9 \\ 4,25 \\ 5,5 \end{pmatrix}$

  Damit sind die Koordinaten des gesuchten Punktes

  $Q(9|4,25|5,5)$