Abstand Punkt-Gerade im Raum (IR³)

Abstand Punkt-Gerade im Raum (IR³) Übung

• Gib die Hilfsebene $H$ in ihrer Koordinatenform an.

  Tipps

  Die gesuchten Vorfaktoren von $x$, $y$ und $z$ sind die Koordinaten des Normalenvektors $\vec{n}$ der Ebene $H$.

  Folgende Merkmale der Ebene sind in der Normalenform enthalten:

  $E:[\vec{x} - \vec{x}_0] \cdot \vec{n} = 0$,

  wobei $\vec{x}_0$ der Stützvektor und $\vec{n}$ der Normalenvektor der Ebene ist.

  Die allgemeine Koordinatenform lautet:

  $E: ax + by + cz = d$

  Lösung

  Betrachten wir die allgemeine Normalenform einer Ebene.

  $E:[\vec{x} - \vec{x}_0] \cdot \vec{n} = 0$

  Wir sehen, dass sie bereits einen Normalenvektor der Ebene enthält. Diesen benötigen wir für ihre Darstellung in Koordinatenform.

  Unser Normalenvektor ist $\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$.

  Damit erhalten wir als Koordinatengleichung:

  $E: 2x - 2y - z = ~?$

  Allgemein sähe diese Gleichung so aus:

  $E: ax + by + cz = d$

  Die Faktoren $a, b$ und $c$ sind, wie bereits festgestellt, die Koordinaten des Normalenvektors. Der Wert für $d$ ergibt sich, wenn wir für $x, y$ und $z$ die Koordinaten eines Punktes der Ebene einsetzen.

  Oder anders formuliert, wenn wir die Normalenform der Ebene kennen, bilden wir einfach das Skalarprodukt des Stützvektors mit dem Normalenvektor.

  $d= \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} =2 \cdot 2 + (-2)\cdot1 + (-1) \cdot 8 =4-2-8= -6$

  Damit erhalten wir diese vollständige Koordinatengleichung für $H$:

  $H: 2x - 2y - z = -6$

• Bestimme den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$.

  Tipps

  Um den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene zu bestimmen, muss man die Zeilen der Geradengleichung für $x, y$ und $z$ in die Koordinatengleichung der Ebene einsetzen.

  Der Wert für $t$, der nach dem Einsetzen ermittelt wurde, muss wieder in die Geradengleichung eingesetzt werden, um die Koordinaten des Schnittpunktes $F$ zu erhalten.

  Lösung

  Bei so einer Rechnung muss man Schritt für Schritt vorgehen.

  Wenn man die Hilfsebene und die Gerade bereits kennt, gilt:

  • Schritt $I$: $g$ in $H$ einsetzen

  • Schritt $II$: $t$ in $g$ einsetzen

  Beginnen wir mit Schritt $I$:

  Wir kennen $H:2x-2y-z=-6$ und $g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$.

  Nach dem Einsetzen von $g$ in $H$ muss die Gleichung so aussehen:

  $2\cdot (4+2t) -2\cdot (2-2t) - (1-t) = -6$

  Nun lösen wir die Klammern auf, vereinfachen und lösen die Gleichung nach $t$ auf:

  $\begin{align} 8 +4t -4 +4t -1 +t &= -6 \\ 3 + 9t &= -6 &|& -3\\ 9t &= -9 &|& :9 \\ t&=-1 \end{align} $

  Es folgt Schritt $II$, denn nun kennen wir unseren Wert für $t$ und können ihn in die Geradengleichung einsetzen, um den Ortsvektor des Schnittpunktes $F$ zu finden und somit auch dessen Koordinaten:

  $\vec{OF}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

  Unser gesuchter Schnittpunkt lautet $F(2|4|2)$.

• Ermittle den Abstand, den die Gerade und der Punkt voneinander haben.

  Tipps

  Der Abstand einer Gerade und eines Punktes ist die kürzeste Strecke, die es zwischen den beiden gibt. In diesem Fall ist das die Verbindung von $P$ zu $F$.

  Den Abstand zweier Punkte berechnet man durch den Betrag ihres Verbindungsvektors.

  $d= |\overrightarrow{AB}|$

  $d=\sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$

  Lösung

  Da der Schnittpunkt von Gerade und Hilfsebene bereits angegeben ist, brauchen wir ihn nicht mehr zu berechnen. So können wir direkt damit beginnen, den Abstand zwischen Punkt und Schnittpunkt, also zwischen $P$ und $F$ zu berechnen.

  Dazu benötigen wir lediglich die Koordinaten der beiden Punkte. Allgemein sieht die nun folgende Rechnung so aus:

  $d= |\overrightarrow{AB}|$

  $d=\sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$

  Nun füllen wir diese allgemeine Formel mit den Koordinaten unserer Punkte:

  $d=\sqrt{(6-(-3))^2 + (4-9)^2 + (-7-1)^2} = \sqrt{81 + 25 + 64} = \sqrt{170}=13,0384...$

  Gerundet auf ganze Zahlen erhalten wir:

  $d\approx 13$

• Ergänze die Rechenschritte, um den Abstand von Punkt und Gerade zu bestimmen.

  Tipps

  Die Hilfsebene sieht in Normalenform so aus:

  $H:\begin{bmatrix} \vec{x} - \begin{pmatrix} 13 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -12 \\ 16 \\ -4 \end{pmatrix} = 0$

  Du kannst die Vorfaktoren von $x$, $y$ und $z$ an dem Normalenvektor ablesen.

  $d= |\overrightarrow{AB}|$

  $d=\sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$

  Lösung

  Hier müssen wir Schritt für Schritt vorgehen. Im Allgemeinen solltest du diese Punkte abarbeiten, wenn eine Gerade und ein Punkt gegeben sind und du ihren Abstand herausfinden sollst:

  • Eine Hilfsebene in Normalenform aufstellen

  • Diese Hilfsebene in die Koordinatenform bringen

  • Die Gerade in Parameterform in die Hilfsebene einsetzen

  • Den so ermittelten Parameter (meist $s$ oder $t$) in die Gerade einsetzen, um den Lotfußpunkt zu erhalten

  • Den Abstand zwischen dem Lotfußpunkt und dem gegebenen Punkt ermitteln

  Beginnen wir mit dem ersten Punkt. Für eine Hilfsebene in Normalenform benötigen wir einen Stützvektor und den Normalenvektor zur Ebene. Dafür verwenden wir den gegebenen Punkt $P$ und den Richtungsvektor der Geraden. Das sieht dann so aus:

  $H:\begin{bmatrix} \vec{x} - \begin{pmatrix} 13 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -12 \\ 16 \\ -4 \end{pmatrix} = 0$

  Nun kommen wir zum zweiten Punkt und überführen diese Ebene in die Koordinatenform.

  Dazu verwenden wir den Normalenvektor für die Parameter links der Gleichung und das Skalarprodukt aus Normalenvektor und Stützvektor für den Parameter rechts der Gleichung. Wenn man damit fertig ist, sieht die Gleichung so aus:

  $H: -12x +16y -4z = -124$

  Nun kommt der dritte Punkt. Wir setzen $g$ in $H$ ein. Das machen wir Zeile für Zeile. Danach lösen wir die Klammern auf, vereinfachen und bestimmen den Wert für $s$:

  $\begin{align} -12\cdot (-6-12s) +16\cdot (8+16s) -4\cdot (5-4s) = -124 \\ 72 +144s +128 +256s -20 +16s = -124 \\ 180 +416s = -124 \\ 416s = -304 \\ s=-\frac{19}{26} \end{align}$

  Bedenke, dass die Werte alle auf zwei Nachkommastellen gerundet werden sollen. So ergibt sich $s \approx -0,73$.

  Nun kommt der vierte Punkt, das Einsetzen von $s$ in $g$, um den Lotfußpunkt $F$ zu ermitteln:

  $\vec{OF}=\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix} + (-0,73)\cdot \begin{pmatrix} -12 \\ 16 \\ -4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2,76 \\ -3,68 \\ 7,92 \end{pmatrix}$

  Damit ist der gesuchte Schnittpunkt $F(2,76|-3,68|7,92)$.

  Nun folgt der fünfte und letzte Punkt, das Berechnen des Abstands der Punkte $F$ und $P$ voneinander. Wir bilden dazu den Betrag ihres Verbindungsvektors:

  $d=|\overrightarrow{PF}|$

  $d=\sqrt{(2,76-13)^2 + (-3,68 -0)^2 + (7,92-(-8))^2}=\sqrt{371,8464}$

  Am Ende dieser Rechnung erhältst du als Abstand des Punktes $P$ von der Gerade $g$:

  $d\approx 19,28~\left[ \text{LE} \right]$

• Bestimme die Hilfsebene $H$.

  Tipps

  Folgende Merkmale der Ebene sind in der Normalenform enthalten:

  $E:[\vec{x} - \vec{x}_0] \cdot \vec{n} = 0$ , wobei $\vec{x}_0$ der Stützvektor und $\vec{n}$ der Normalenvektor der Ebene ist.

  Abstand bedeutet die kürzeste Entfernung. Dazu muss die Verbindungsstrecke von $g$ zu $P$ orthogonal zu $g$ sein.

  Auch die Hilfsebene $H$ muss orthogonal zur Geraden $g$ sein.

  Lösung

  Allgemein sieht eine Normalengleichung so aus:

  $E: [\vec{x} - \vec{x}_0] \cdot \vec{n} = 0$

  Sie enthält in der Klammer den Stützvektor der Ebene und außerhalb davon den Normalenvektor der Ebene.

  Als Stützvektor dient uns Punkt $P$, somit gilt:

  $\vec{x}_0=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}$

  Damit kommen nur noch die zweite und dritte Darstellung der Hilfsebene in Frage. Zum Schluss brauchen wir noch den Normalenvektor der Ebene.

  Da die Hilfsebene orthogonal zur Gerade $g$ sein soll, können wir einfach den Richtungsvektor als Normalenvektor der Ebene verwenden. Es gilt:

  $\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$

  Somit kommt nur die zweite Möglichkeit als Darstellung unserer Hilfsebene in Frage.

  $H:\begin{bmatrix} \vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0$

• Entscheide, welche der Punkte die Anforderungen erfüllen.

  Tipps

  Es gibt genau zwei Punkte, die doppelt so weit von der Geraden entfernt sind und auf der besagten Geraden liegen.

  Einen Gegenvektor bildet man so:

  $\vec{PF}=-\vec{FP}$

  Starte jeweils vom Lotfußpunkt $F$ aus und überlege dir, wie weit die beiden Punkte davon entfernt sein müssen.

  Lösung

  Wichtig ist, dass es zwei Möglichkeiten gibt, $Q$ zu wählen. Er soll den doppelten Abstand von der Geraden (also von $F$) besitzen, wie $P$ und er muss auf einer Geraden mit diesen Punkten liegen (Bild).

  Da der Abstand, also die Länge des Verbindungsvektors sich verdoppelt, wenn man den Vektor verdoppelt, können wir den oberen Punkt $Q$ ermitteln, indem wir erst einmal den Verbindungsvektor von $F$ zu $P$ bilden:

  $\overrightarrow{FP}=\begin{pmatrix} 10,24 \\ 3,68 \\ -15,92 \end{pmatrix}$

  Wenn wir diesen Vektor jetzt noch verdoppeln, erhalten wir (da die Richtung beibehalten wird) die direkte Verbindung von $F$ zum oberen Punkt $Q$.

  $\overrightarrow{FQ} = 2\cdot \overrightarrow{FP} = \begin{pmatrix} 20,48 \\ 7,36 \\ -31,84 \end{pmatrix}$

  Dieser Vektor führt uns nun von $F$ zu $Q$. Wir erhalten den Ortsvektor von $Q$ und damit die Koordinaten, wenn wir den Ortsvektor von $F$ addieren.

  $\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OF} + \overrightarrow{FQ}=\begin{pmatrix} 23,24 \\ 3,68 \\ -23,92 \end{pmatrix}$

  Somit ist der erste mögliche Punkt $Q_2$ gefunden. Um die Koordinaten des unteren möglichen Punktes zu erhalten, müssen wir den Vektor $\overrightarrow{FQ}$ umdrehen, damit er in die entgegengesetzte Richtung zeigt und uns zu dem anderen Punkt führt. Das erreichen wir durch den Gegenvektor von $FP$. Es gilt $\overrightarrow{FP}=(-1) \cdot \overrightarrow{PF}$

  $\overrightarrow{OQ}= \overrightarrow{OF} -2 \cdot \overrightarrow{FP}= \begin{pmatrix} 2,76 \\ -3,68 \\ 7,92 \end{pmatrix} -2 \cdot \begin{pmatrix} 10,24 \\ 3,68 \\ -15,92 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -17,72 \\ -11,04 \\ 39,76 \end{pmatrix}$

  Diese Koordinaten passen nur zu $Q_4$, unserem zweiten gesuchten Punkt.