Funktionsgraphen im Koordinatensystem
Funktionsgraphen sind Darstellungen von Funktionen im Koordinatensystem. Du lernst alles über Definitions- und Wertebereiche sowie das Erstellen von Wertetabellen. Interessiert? Entdecke spannende Beispiele im Text!
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Grundlagen zum Thema Funktionsgraphen im Koordinatensystem
Was ist ein Funktionsgraph?
Der Funktionsgraph oder auch kurz der Graph einer Funktion $f(x)$ ist die Menge aller geordneten Zahlenpaare $(x|y)$, für die gilt: $y=f(x)$. Die Menge aller Werte für $x$ wird als Definitionsbereich oder Definitionsmenge der Funktion und die Menge aller Funktionswerte ($y$) als Wertebereich oder Wertemenge bezeichnet.
Da du nicht zu unendlich vielen Werten für $x$ die zugehörigen Funktionswerte bestimmen kannst, gehst du wie folgt vor:
- Du erstellst eine Wertetabelle. In diese trägst du für verschiedene $x$-Werte die zugehörigen Funktionswerte $y=f(x)$ ein.
- Die so erhaltenen Zahlenpaare (Punkte) $(x|y)$ überträgst du in ein Koordinatensystem.
- Zuletzt verbindest du die Punkte zu dem Funktionsgraphen.
- Bei nicht linearen Funktionen gilt: Je mehr Punkte du in das Koordinatensystem einzeichnest, desto genauer entspricht der Funktionsgraph, dem wirklichen Graphen.
Lineare Funktionen
Was versteht man unter Linearen Funktionen und Achsenschnittpunkten? Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $y=mx+b$ oder auch $f(x)=mx+b$. Dabei ist
- $m$, der Faktor vor dem $x$, die Steigung der linearen Funktion und
- $b$ die Konstante, der y-Achsenabschnitt.
Der Graph einer linearen Funktion entspricht einer Geraden.
Lass uns das Zeichnen eines Funktionsgraphen an einem ersten Beispiel üben:
$\quad f(x)=2x-3$.
- Zunächst wählst du geeignete Werte für $x$ und erstellst eine Wertetabelle. Zum Beispiel ist:
$\quad~~~y=f(2)=2\cdot 2-3=4-3=1$.
- Dann trägst du diese Punkte in ein Koordinatensystem ein. Dabei ist jeweils die erste Koordinate eines Punktes dessen x-Koordinate und die zweite die y-Koordinate.
- Natürlich kannst du den Funktionsgraphen einer lineare Funktionen auch mit Hilfe eines Steigungsdreiecks zeichnen.
- Hierfür trägst du den y-Achsenabschnitt (Schnittstelle des Graphen mit der $y$-Achse) an der y-Achse ab (Punkt: (0|-3)).
- Dann zeichnest du ein Steigungsdreieck entsprechend der Steigung der Funktion. In diesem Beispiel ist der Anstieg: $m=2=\frac21$.
- Von der Schnittstelle mit der y-Achse zeichnest du das Steigungsdreieck, in dem du 2 Einheiten nach oben abträgst und eine Einheit nach rechts. Du landest beim Punkt (1|-1).
- Nun kannst du den Graphen der linearen Funktion zeichnen.
Eine spezielle lineare Funktion, die konstante Funktion
Wenn die Steigung $m=0$ ist, verläuft die Gerade der Funktion $f(x)=b$ parallel zur x-Achse durch $y=b$. Sei zum Beispiel $f(x)=2$. Wenn du eine Wertetabelle erstellen würdest, würde in der Zeile für $y$ jedes Mal die $2$ stehen. Hier siehst du den Graphen der Funktion $f(x)=2$.
Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion kann beispielsweise
- in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ oder
- in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$, wobei $S(d|e)$ der Scheitelpunkt ist,
gegeben sein.
Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.
Wir schauen uns die quadratische Funkion $f(x)=x^2$, also die sogenannte Normalparabel an.
- Auch hier kannst du eine Wertetabelle erstellen:
- Nun überträgst du wieder die Punkte in ein Koordinatensystem. Zuletzt verbindest du die Punkte miteinander. Achte darauf, dass es sich um keine lineare Funktion handelt und du die Punkte nicht einfach gerade verbindest, sondern durch eine geschwungene Linie. Hier gilt, desto mehr Punkte du gegeben hast, desto genauer wird der Funktionsgraph. Hier siehst du den Graphen der quadratischen Funktion:
Die Betragsfunktion
Die Betragsfunktion ist wie folgt definiert
$\quad~~~f(x)=\begin{cases} x \text{, wenn } x > 0 \\ -x \text{, wenn }x \le 0 \end{cases}$
Lass uns einige Punkte berechnen, um den Graphen zu dieser Funktion zeichnen zu können:
- $f(-2)=2 \rightarrow P_1(-2|2)$
- $f(-1)=1 \rightarrow P_2(-1|1)$
- $f(0)=0 \rightarrow P_3(0|0)$
- $f(1)=1 \rightarrow P_4(1|1)$
- $f(2)=2 \rightarrow P_5(2|2)$
Hier siehst du den zugehörigen Graphen, der eine V-Form hat.
Punkte aus einem Funktionsgraphen ablesen
Du kannst übrigens auch Punkte aus einem Funktionsgraphen ablesen.
Hier siehst du den Graphen der quadratischen Funktion $f(x)=-0,25x^2+2$.
- Wenn du wissen willst, welche Punkte auf dem Graphen liegen, kannst du von einem $x$ parallel zur y-Achse nach oben bis zu dem Graphen gehen. Dies siehst du in dem Bild rechts für $x=2$.
- Von dort aus gehst du parallel zur x-Achse zur y-Achse und liest dort den y-Wert, also den Funktionswert, ab.
- So erhältst du den Punkt $P(2|1)$ des Funktionsgraphen.
- Dies kannst du auch mit Hilfe der Punktprobe überprüfen:
$\quad~~~y=f(2)=-0,25\cdot (2)^2+2=-0,25\cdot 4+2=-1+2=1$.
Transkript Funktionsgraphen im Koordinatensystem
Helena Beltrocchi hat eine neue Ausstellung. „Funktionsgraphen in ihrer vollen Entfaltung“ Einfach herrlich, die Farben und ihr Zusammenspiel mit diesen Kurven. Da sag nochmal einer, dass Mathematik nicht wunderschön ist. Aber sind das wirklich alles Funktionsgraphen? Oder handelt es sich hier etwa um Fälschungen?! Da müssen wir wohl nochmal einen kritischen Blick auf „Funktionsgraphen im Koordinatensystem“ werfen. Doch wie erkennen wir, ob es sich bei einem gegebenen Graphen tatsächlich um einen Funktionsgraphen handelt. Nun, zunächst sollten wir uns nochmal klarmachen, dass Funktionen eindeutige Zuordnungen sind. Das heißt, dass jedem x-Wert der Funktion, genau ein y-Wert zugeordnet wird. Wir können uns das an einem Funktionsgraphen veranschaulichen. Ein Funktionsgraph ist die grafische Darstellung einer Funktion in einem Koordinatensystem. Die horizontale Achse des Koordinatensystems ist die x-Achse... und die vertikale Achse die y-Achse. Wenn wir nun einen Funktionsgraphen einzeichnen, sehen wir, dass hier jedem x-Wert genau einen y-Wert zugeordnet wird. Betrachten wir dazu die konkrete Stelle, an der x den Wert zwei annimmt. Dafür gehen wir von der x-Achse aus senkrecht nach oben, bis wir auf den Funktionsgraphen treffen. Den zugehörigen y-Wert – wir sagen auch Funktionswert – an dieser Stelle können wir jetzt an der y-Achse ablesen. In diesem Fall ist es eindeutig drei. Die Stelle des „Ausgangswertes zwei“ und der zugeordnete „Funktionswert drei“ sind zusammengenommen ein Punkt, der auf dem Graphen liegt. Genau wie an dieser Stelle, wird jeder Stelle auf der x-Achse genau ein y-Wert zugeordnet. Es handelt sich also um einen Funktionsgraphen. Ein weiteres Beispiel: Ist das hier auch ein Funktionsgraph? Schauen wir mal genauer hin und gehen andersherum vor. Nehmen wir zum Beispiel den „Funktionswert y gleich drei“. Dieser wird sowohl an der „Stelle x gleich zwei“ als auch an der „Stelle x gleich minus zwei“ angenommen. Der „Funktionswert y gleich minus zwei“ wird außerdem an gar keiner Stelle vom Graphen angenommen. Doch beides ist kein Problem. Entscheidend ist, dass an jeder Stelle des Graphen entlang der x-Achse genau ein y-Wert angenommen wird. Das schließt allerdings nicht aus, dass ein Funktionswert mehrfach oder gar nicht angenommen wird. Somit handelt es sich auch hier um einen Funktionsgraphen. Und in welchem Fall können wir nicht von einem Funktionsgraphen sprechen? Auch hierzu ein Beispiel: Woran können wir an diesem Graphen erkennen, dass er nicht der Graph einer Funktion sein kann? Genau, an fast allen Stellen, wie zum Beispiel an der Stelle „x gleich vier“, hat dieser Graph zwei zugeordnete y-Werte. Einen oberhalb und einen unterhalb der x-Achse. Somit ist diese Zuordnung nicht mehr eindeutig und es handelt sich nicht um den Graphen einer Funktion. Alles klar, das sollte als Vorbereitung reichen. Dann können wir uns ja jetzt nochmal die Ausstellungsstücke anschauen. Handelt es sich bei diesem Werk um einen Funktionsgraphen? Was meinst du? Es ist tatsächlich ein Funktionsgraph! Wir können den Graphen von links nach rechts abgehen und jeder Stelle wird genau ein Funktionswert zugeordnet. Und dieses Exemplar? Hier kann definitiv nicht von einem Funktionsgraphen die Rede sein. Allein die Stelle „x gleich null“ hat mehrere zugeordnete y-Werte. Da somit keine eindeutige Zuordnung zu einem Funktionswert vorliegt, ist der Graph auch kein Funktionsgraph. Wie sieht es mit dieser Geraden aus? Hier werden einer Stelle unendlich viele y-Werte zugeordnet. Definitiv kein Funktionsgraph. Da wurde rumgepfuscht! Fassen wir unsere Erkenntnisse nochmal kurz zusammen. Da es sich bei Funktionen um Eindeutige Zuordnungen handelt, wird auch bei den entsprechenden Funktionsgraphen jeder Stelle, also den x-Werten, nur ein y-Wert, sprich ein Funktionswert, zugeordnet. Das ist, wie wir in der Ausstellung gesehen haben, nicht bei allen Graphen automatisch der Fall. Ob das noch als „künstlerische Freiheit“ gelten kann? Wir wollen unser Geld zurück!
Funktionsgraphen im Koordinatensystem Übung
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Gib die Definition eines Funktionsgraphen an.
TippsIn diesem Funktionsgraphen wird dem $x$-Wert ${4}$ eindeutig der $y$-Wert ${1}$ zugeordnet. Diese beiden Werte gehören zu dem Punkt $\text{P}(4\vert1)$ des Graphen.
Wenn keinem $x$-Wert mehr als ein $y$-Wert zugeordnet ist, dann handelt es sich um einen Funktionsgraphen.
LösungUm einen Funktionsgraphen zu erkennen, ist das Entscheidende, dass an jeder Stelle der $x$-Achse genau ein $y$-Wert angenommen wird. Dies schließt nicht aus, dass bei mehreren $x$-Werten derselbe $y$-Wert angenommen wird oder ein Funktionswert keinem anderen zugeordnet ist.
Wir erkennen einen Funktionsgraphen an der eindeutigen Zurordnung. Das bedeutet, dass jedem $\mathbf{x}$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet wird.
Wenn wir einen Wert auf der $x$-Achse vertikal mit dem Funktionsgraphen verbinden und dann horizontal zur $\mathbf{y}$-Achse gehen, erhalten wir den zugeordneten $y$-Wert.
In diesem Beispiel ist an der gegebenen Stelle der $x$-Wert $\mathbf{2}$ und der zugeordnete $y$-Wert $\mathbf{3}$. Diese beiden Werte gehören zu dem Punkt $\mathbf{P}{(2\vert3)}$ auf dem zugehörigen Graphen.
Die Zuordung ist an dieser Stelle eindeutig. Das gilt auch für alle anderen Punkte des Funktionsgraphen.
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Gib an, ob es sich um einen Funktionsgraphen handelt.
TippsEs handelt sich nicht um einen Funktionsgraphen, wenn einem $x$-Wert mehr als ein $y$-Wert zugeordnet wird – wird derselbe $y$-Wert an zwei unterschiedlichen $x$-Werten angenommen, ist das hingegen kein Problem.
Dieses Schaubild zeigt einen Funktionsgraphen. Dem $x$-Wert ${-3}$ wird der $y$-Wert ${4}$ und dem $x$-Wert ${3}$ wird der $y$-Wert ${4}$ zugeordnet.
LösungErkennen eines Funktionsgraphen
Wir erkennen einen Funktionsgraphen daran, dass jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet ist.
In diesem Beispiel erkennen wir folgende Zuordnungen:- $x$-Wert ${2}$ und $y$-Wert ${3}$
- $x$-Wert ${-2}$ und $y$-Wert von ${3}$
Somit wird der $y$-Wert ${3}$ bei zwei $x$-Werten angenommen, wobei zum Beispiel der $y$-Wert ${-2}$ nie angenommen wird. Beides ist kein Problem.
Entscheidend dafür, ob es sich um einen Funktionsgraphen handelt, ist, dass an jeder Stelle der $\mathbf{x}$-Achse genau ein Wert für $y$ angenommen wird.Bei diesem Graphen erkennen wir, dass jedem $x$-Wert eindeutig ein $y$-Wert zugeordnet ist: Das Schaubild zeigt einen Funktionsgraphen.
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Bestimme die Funktionsgraphen.
TippsDieses Schaubild zeigt keinen Funktionsgraphen, da er an fast allen Werten an der $x$-Achse zwei zugeordnete $y$-Werte hat. Deshalb ist er nicht eindeutig zugeordnet.
Im Allgemeinen gilt, dass bei einem Funktionsgraphen jedem $x$-Wert eindeutig ein $y$-Wert zugeordnet werden muss. Das schließt nicht aus, dass ein Funktionswert mehrfach oder gar nicht angenommen werden kann.
LösungErkennen eines Funktionsgraphen
Um einen Funktionsgraphen zu erkennen, muss man prüfen, ob jedem $x$-Wert eindeutig ein $y$-Wert zugeordnet wird. Das schließt nicht aus, dass ein Funktionswert mehrfach oder auch gar nicht angenommen wird.
Wenn bei einem $x$-Wert mehrere $y$-Werte angenommen werden, stellt das Schaubild keinen Funktionsgraphen dar.
Bild 1 zeigt eine Kreisspirale. Hier werden zum Beispiel bei $x = 0$ einem $x$-Wert gleich mehrere $y$-Werte zugeordnet. Somit handelt es sich um keinen Funktionsgraphen.
Bild 2 ist eine Funktion $3$. Grades und jedem $x$-Wert kann genau ein $y$-Wert zugeordnet werden. Somit handelt es sich um einen Funktionsgraphen.
Bild 3 ist eine vertikale Linie und dem $x$-Wert = $1,5$ können unendlich viele $y$-Werte zugeordnet werden. Somit handelt es sich um keinen Funktionsgraphen.
Bild 4 stellt eine Gerade dar, die so durch das Koordinatensystem verläuft, dass jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet wird. Somit handelt es sich um den Funktionsgraphen einer linearen Funktion.
Bild 5 stellt eine Schleife dar. Auch hier gibt es Stellen, an denen einem $x$-Wert mehrere $y$-Werte zugeordnet werden können. Somit handelt es sich um keinen Funktionsgraphen.
Bild 6 zeigt eine abklingende Schwingung. Man kann den Trick mit der horizontalen Linie nehmen und den Graphen gedanklichen „abfahren“. Wir erkennen, dass jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet werden kann. Somit handelt es sich um einen Funktionsgraphen.
Bild 7 stellt eine Parabel dar. Man nennt sie auch Funktion $2$. Grades und jedem $x$-Wert kann genau ein $y$-Wert zugeordnet werden. Das schließt aber nicht aus, dass zwei $x$-Werte denselben $y$-Wert haben, wie dieses Beispiel veranschaulicht. Es handelt sich um einen Funktionsgraphen.
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Vergleiche die beiden Schaubilder.
TippsNimm gedanklich einen vertikalen Strich zur Hilfe und ziehe ihn von links nach rechts über den Graphen. So kannst du prüfen, ob an einer Stelle mehrere $y$-Werte angenommen werden.
Wird immer nur ein $y$-Wert angenommen, zeigt das Schaubild eine eindeutige Zuordnung und damit einen Funktionsgraphen.
LösungSchaubild 1
Zu dem ersten Schaubild gehören folgende Eigenschaften:
- $x$-Wert genau einem $y$-Wert zugeordnet
- Schaubild eindeutig zugeordnet
- Funktionsgraph
Schaubild 2Zu dem zweiten Schaubild gehören folgende Eigenschaften:
- $x$-Werte mehreren $y$-Werten zugeordnet
- Schaubild nicht eindeutig zugeordnet
- kein Funktionsgraph
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Erkläre, ob es sich um einen Funktionsgraphen handelt oder nicht.
TippsNimm gedanklich einen vertikalen Strich zur Hilfe und ziehe ihn von links nach rechts über den Graphen. So kannst du prüfen, ob an einer Stelle mehrere $y$-Werte angenommen werden.
Wird immer nur ein $y$-Wert angenommen, zeigt das Schaubild eine eindeutige Zuordnung und damit ein Funktionsgraphen.
LösungErkennen eines Funktionsgraphen
Damit ein Schaubild einen Funktionsgraphen darstellt, muss jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet werden. Sobald ein $x$-Wert mehrere $y$-Werte annimmt, ist es kein Funktionsgraph.
Lösung
Dem $x$-Wert $x$ = $4$ werden die $y$-Werte $\mathbf{2}$ und $\mathbf{-2}$ zugeordnet.
Damit ist das Schaubild nicht eindeutig zugeordnet.
Dieses Schaubild zeigt also keinen Funktionsgraphen.
Du kannst dir hier auch noch eine weitere Stelle anschauen, um das zu überprüfen. Nehmen wir zum Beispiel die Stelle mit dem $x$-Wert $x$ = $1$. Diesem werden die $y$-Werte $1$ und ${-1}$ zugeordnet.
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Entscheide, ob die Aussagen über dieses Schaubild richtig sind oder nicht.
TippsPrüfe, ob jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet ist und lese den dazugehörigen Wert ab.
Eine eindeutige Zuordnung nennt man Funktionsgraph.
LösungErkennen eines Funktionsgraphen
Grundsätzlich gilt, dass eine Funktion eindeutig zugeordnet sein muss. Das heißt, jedem $x$-Wert wird genau ein $y$-Wert zugeordnet. Dabei kann es auch vorkommen, dass einem $y$-Wert mehrere $x$-Werte zugeordnet werden können oder dass ein Funktionswert gar nicht angenommen wird. Trotzdem handelt es sich um einen Funktionsgraphen.
Den Grad einer Funktion erkennt man an dem Exponenten des $x$-Wertes. Dazu muss man hier wissen, dass es sich um eine $x^4$-Gleichung handelt.
Für die Achsensymmetrie überprüft man, ob es zu jedem Punkt, der sich an der $y$-Achse spiegelt, einen Bildpunkt gibt. Wenn ja, ist das Schaubild achsensymmetrisch.
Folgende Aussagen sind richtig:
- Dieses Schaubild ist eine eindeutige Zuordnung.
- Jedem $x$-Wert kann genau ein $y$-Wert zugeordnet werden.
- Dem $x$-Wert $0$ wird der $y$-Wert $1$ zugeordnet.
- Das Schaubild ist achsensymetrisch.
Folgende Aussagen sind falsch:
- Jedem $y$-Wert kann genau ein $x$-Wert zugeordnet werden.
- Dem $x$-Wert $0$ wird der $y$-Wert $-1$ zugeordnet.
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coool🥰🥰🥰🥰🥰🥰🥰🥰🥰🥰
4:55 hahahaha XD
danke jz hab ich es verstanden
ich war einen Tag krank und konnte am nächsten Tag glänzen
cooles video aber ich bin 6. klasse und habe das gerade drann also wäre es schön wenn es auch in der 6. klasse drinn wäre weil ich jetzt die ganze zeit danach gesucht habe
Total hilfreich