Fläche zwischen Funktionsgraphen mit Integralen berechnen

Fläche zwischen Funktionsgraphen mit Integralen berechnen Übung

• Beschreibe die Problemstellung zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen.

  Tipps

  Mithilfe des Integrals berechnen wir Flächen zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse in einem bestimmten Intervall.

  Fertige eine Skizze des Problems an und vollziehe die Vorgehensweise nach.

  Die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen verändert sich nicht, wenn man beide Funktionsgraphen gleichartig verschiebt.

  Lösung

  Wir haben zuvor gelernt, dass man mithilfe des Integrals einer Funktion die Fläche unterhalb dieser (bis zur x-Achse) berechnen kann. Nun möchten wir durch das Zurückführen auf das bereits Erlernte die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen.

  Im einfachsten Fall schneiden sich zwei Funktionen an zwei Schnittpunkten und erzeugen somit eine Fläche oberhalb der x-Achse, welche wir berechnen wollen. Verschieben wir diese Funktionen gleichermaßen nach unten, sodass sie unterhalb der x-Achse sind, so ändert sich der Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen nicht.

  Sollten die Funktionen sich an mehr als zwei Punkten schneiden, so berechnen wir den gesamten Flächeninhalt, indem wir von Schnittpunkt zu Schnittpunkt jeweils die Teilflächen berechnen und addieren.

• Beschreibe die Methoden zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen.

  Tipps

  Skizziere das Vorgehen beider Methoden.

  Entsprechen die Integrationsgrenzen $a$ und $b$ den $x$- oder den $y$-Koordinaten der Schnittpunkte von $f$ und $g$?

  Wie nennt man die Schnittpunkte der Funktion $h$ mit der $x$-Achse?

  Lösung

  Man unterscheidet zwei Methoden zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen, welche jedoch rechnerisch auf das Gleiche hinauslaufen:

  • Wir können als Erstes die Schnittpunkte der Graphen von $f$ und $g$ bestimmen, um deren $x$-Koordinaten als Integrationsgrenzen zu verwenden. Anschließend berechnen wir jeweils die Fläche unter $f$ und $g$. Der Betrag der Differenz der Flächeninhalte ergibt unsere gesuchte Fläche.

  • Mithilfe einer Differenzenfunktion $h$, welche wir durch die Differenz von $f(x)$ und $g(x)$ erhalten, können wir die gesuchte Fläche ebenfalls berechnen. Die Nullstellen der Differenzenfunktion entsprechen den $x$-Koordinaten der Schnittpunkte von $f$ und $g$ und dienen ebenfalls als Integrationsgrenzen. Die Fläche zwischen dem Graphen von $h$ und der $x$-Achse entspricht dann der gesuchten Fläche zwischen $f$ und $g$.

• Berechne den Flächeninhalt der von $f$ und $g$ eingeschlossenen Fläche.

  Tipps

  Die Integrationsgrenzen entsprechen den x-Koordinaten der Schnittpunkte der Funktionen.

  Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt:

  $\int\limits_{a}^{b} f(x) dx= \left[ F(x) \right]_a^b= F(b)- F(a)$

  Achte darauf, welche Funktion oberhalb der anderen liegt oder verwende alternativ Betragsstriche, denn negative Flächeninhalte gibt es nicht.

  Lösung

  Wir berechnen als Erstes die Schnittpunkte der Funktionen $f(x)=x^2+x+2$ und $g(x)=-x^2+5x+8$. Dazu setzen wir Funktionen gleich, formen um und wenden die p-q-Formel an:

  \begin{align*} f(x) &= g(x) \\ x^2+x+2 &= -x^2+5x+8 &|& +x^2-5x-8 \\ 2x^2 -4x - 6 &= 0 &|& :2 \\ x^2 -2x -3 &= 0 \\ x_{1,2} &=1 \pm \sqrt{1+3} \end{align*}

  Das ergibt $x_1 =3$ und $x_2 = -1$. Somit haben wir die Integrationsgrenzen $a=-1$ und $b=3$ festgelegt.

  Da der Graph von $g$ oberhalb des Graphen von $f$ liegt, berechnen wir die Differenz $A= A_g - A_f$ und wenden den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an:

  \begin{align*} A &= \int\limits_{-1}^{3} (g(x)-f(x)) dx \\ &= \int\limits_{-1}^{3} (-2x^2+4x+6)dx \\ &= \left[ -\frac{2}{3} x^3+2x^2+ 6x \right]_{-1}^3 =F(3)-F(-1)=\frac{64}{3}~\text{FE} \approx 21,33~\text{FE} \end{align*}

• Ermittle den gesamten Flächeninhalt $A$ der von $f$ und $g$ eingeschlossenen Fläche.

  Tipps

  Um die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte zu ermitteln, kannst du die Funktionsgleichungen gleichsetzen und anschließend nach $x$ umformen.

  Wende den Satz: „Ein Produkt ist gleich Null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist“ an, um die Integrationsgrenzen zu ermitteln.

  Wähle als Integrationsgrenzen stets zwei nebeneinanderliegende Schnittstellen aus. Wie viele Teilflächen musst du dann berechnen?

  Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt:

  $\int\limits_{a}^{b} f(x) dx= \left[ F(x) \right]_a^b= F(b)- F(a)$

  Fertige eine Skizze für diesen Sachverhalt an.

  Lösung

  Als Erstes berechnen wir die Schnittstellen der gegebenen Funktionen $f$ und $g$, indem wir die Funktionsgleichungen gleichsetzen und nach $x$ auflösen:

  \begin{align*} f(x) &= g(x) \\ x^3-4x &= 5x \\ x^3-9x &= 0 \\ x \cdot (x^2-9) &= 0 \\ x \cdot (x+3) \cdot (x-3) &= 0 \end{align*}

  Damit sind also $x_1=0$, $x_2=-3$ und $x_3=3$ die möglichen Lösungen. Gesucht sind daher die Flächen, die von den Graphen in dem abgeschlossenen Intervall $I_1=[-3;0]$ und $I_2=[0;3]$ eingeschlossen werden.

  Im ersten Intervall liegt der Graph von $f$ oberhalb des Graphen von $g$, im zweiten Intervall umgekehrt. Durch eine Skizze oder durch eine Probeeinsetzung eines Wertes innerhalb der Intervalle kannst du dies herausfinden.

  \begin{align*} A_1 &= \int\limits_{-3}^{0} (f(x)-g(x)) dx= \int\limits_{-3}^{0} (x^3 -9x)dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{9}{2} x^2 \right]_{-3}^0 \\ &=F(0)-F(-3)=\frac{81}{4}~\text{FE} = 20,25~\text{FE} \\ A_2&= \int\limits_{0}^{3} (g(x)-f(x)) dx= \int\limits_{0}^{3} ( -x^3 + 9x)dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{9}{2} x^2 \right]_{0}^3 \\ &=F(3)-F(0)=\frac{81}{4}~\text{FE} = 20,25~\text{FE} \end{align*}

  Nun addieren wir die Flächeninhalte der Teilflächen, um den gesamten Flächeninhalt der eingeschlossenen Flächen zu erhalten:

  $A= A_1 + A_2 = 20,25~\text{FE} + 20,25~\text{FE} = 40,5~\text{FE}$.

• Berechne den Flächeninhalt zwischen den Funktionsgraphen $f(x)$ und $g(x)$.

  Tipps

  Wie bestimmt man die Integrationsgrenzen?

  Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt: $\int\limits_{a}^{b} f(x) dx= \left[ F(x) \right]_a^b= F(b)- F(a)$

  Lösung

  Zwei Funktionen $f(x)=-x^2+6x-3$ und $g(x)=x^2-4x+5$ sind gegeben und die Fläche zwischen den beiden Funktionen ist gesucht. Wir beginnen mit der Bestimmung der Integrationsgrenzen, indem wir die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Funktionen bestimmen. Wir setzen die Funktionen gleich und erhalten durch Äquivalenzumformungen und der Anwendung der p-q-Formel die Integrationsgrenzen:

  \begin{align*} f(x) &= g(x) \\ -x^2+6x-3 &= x^2-4x+5 &|& -x^2+4x-5 \\ -2x^2+10x-8 &= 0 &|& :(-2) \\ x^2-5x+4 &= 0 \\ x_{1,2} &=2,5 \pm \sqrt{2,5^2-4} \end{align*}

  Wir erhalten also $x_1 = 1$ und $x_2 = 4$. Da der Graph von $f$ oberhalb des Graphen von $g$ liegt, berechnen wir die Differenz und wenden den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an:

  \begin{align*} A&=A_f - A_g\\ &=\int\limits_{1}^{4} f(x) dx - \int_{1}^{4} g(x) dx \\ &= \int\limits_{1}^{4} (f(x)-g(x)) dx\\ &= \int\limits_{1}^{4} (-2x^2+10x-8)dx\\ &= \left[ -\frac{2}{3} x^3+5x^2-8x \right]_1^4 =F(4)-F(1) =9~FE\end{align*} .

• Bestimme den Parameter $a$.

  Tipps

  Berechne als Erstes die Schnittstellen, also die Integrationsgrenzen.

  Wende den Satz „Ein Produkt ist gleich Null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist“ an, um die Integrationsgrenzen zu ermitteln.

  Bedenke beim Integrieren, dass $a$ ein Parameter und nicht die Integrationsvariable ist.

  Setze den Term, den du mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erhältst, gleich dem gegebenen Flächeninhalt und löse die Gleichung nach $a$ auf.

  Lösung

  Wir beginnen mit der Berechnung der Integrationsgrenzen, indem wir die Funktionsgleichungen $f(x)=x^2$ und $g(x)=ax$ gleichsetzen und nach $x$ auflösen:

  \begin{align*} f(x) &= g(x) \\ x^2 &= ax \\ x^2-ax &= 0 \\ x \cdot (x-a) &= 0 \end{align*}

  Die Lösungen lauten also $x_1=0$ und $x_2=a$. Wir wissen, dass die Fläche, die von den Graphen in dem abgeschlossenen Intervall $I=[0;a]$ eingeschlossen wird, $A=4,5~\text{FE}$ beträgt.

  \begin{align*} A&= \int\limits_{0}^{a} (g(x)-f(x)) dx= \int\limits_{0}^{a} (ax-x^2)dx \\ &= \left[ \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^a=F(a)-F(0)= \frac{1}{2}a^3 - \frac{1}{3} a^3 = \frac{1}{6} a^3 \end{align*}

  Da wir wissen, dass $A=4,5~\text{FE}$, setzen wir $\frac{1}{6} a^3 = 4,5$ und lösen nach $a$ auf:

  \begin{align*} \frac{1}{6} a^3 &= 4,5 &|& \cdot 6 \\ a^3 &= 27 &|& \sqrt[3]{~~}\\ a &= 3 \end{align*}

  Der gesuchte Wert für den Parameter $a$ lautet also $a=3$.