Erwartungswert – faires Spiel

Erwartungswert – faires Spiel Übung

• Beschreibe, was man in der Mathematik unter dem Erwartungswert versteht.

  Tipps

  Wir können den Erwartungswert als Prognose dafür verstehen, welchen Wert wir im Mittel für die Zufallsgröße erwarten können, wenn wir das zugrunde liegende Zufallsexperiment sehr häufig wiederholen.

  Ist der Erwartungswert positiv, macht der Spieler bzw. die Spielerin auf lange Sicht Gewinn.

  Zwei der Aussagen sind korrekt.

  Lösung

  Der Erwartungswert

  Der Erwartungswert kann im Allgemeinen mit der folgenden Formel berechnet werden:

  $E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + ... + x_n \cdot P(X=x_n)$

  In dieser Gleichung steht $E(X)$ für den Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$. Die Variablen $x_i$ sind die möglichen Ergebnisse, also $x_1$, $x_2$, $x_3$ und so weiter. $P(X=x_i)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von Ergebnis $x_i$.

  Interpretation des Erwartungswertes

  Das Ergebnis, das wir beim Anwenden der Formel erhalten, können wir als Prognose dafür verstehen, welchen Wert wir im Mittel für die Zufallsgröße erwarten können, wenn wir das zugrunde liegende Zufallsexperiment sehr häufig wiederholen.

  Erwartungswert und faires Spiel

  Ein Glücksspiel gilt dann als fair, wenn weder Anbietende noch Spielende auf lange Sicht einen Vorteil erwarten können. Im mathematischen Sinne heißt das, dass der Erwartungswert für den Gewinn, der im Normalfall dann einen Geldwert widerspiegelt, für ein faires Spiel genau gleich null sein muss.

  Wir überprüfen anhand dieser Informationen die gegebenen Aussagen:

  Aussage 1

  Der Erwartungswert wird mithilfe der folgenden Formel berechnet:

  $\qquad \quad E(X)= x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + ... + x_n \cdot P(X=x_n)$

  Diese Aussage ist richtig.

  Aussage 2

  Der Erwartungswert ist die Wahrscheinlichkeit des Mittelwertes der Zufallsgröße.

  Diese Aussage ist falsch. Vielmehr gibt der Erwartungswert an, welchen Wert die Zufallsgröße bei vielfacher Durchführung im Mittel annimmt.

  Aussage 3

  Der Erwartungswert ist immer positiv.

  Diese Aussage ist falsch. Denn der Erwartungswert kann auch null sein (faires Spiel) oder negativ sein (der Spieler bzw. die Spielerin macht im Mittel Verlust).

  Aussage 4 Bei einem fairen Spiel ist der Erwartungswert für den Gewinn null.

  Diese Aussage ist richtig.

• Berechne den Erwartungswert und gib an, ob das Spiel fair ist.

  Tipps

  Das Glücksrad ist in $12$ gleich große Felder geteilt: Zähle ab, wie viele Felder blau, grün bzw. gelb sind, um die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln.

  Wenn du einen Einsatz von $3\,€$ gezahlt hast und $1\,€$ beim Spiel bekommst, dann hast du $2\,€$ Verlust gemacht.

  Achte beim Berechnen des Erwartungswertes auf die Vorzeichen.

  Lösung

  Allgemein gilt:

  Um den Erwartungswert einer Zufallsgröße zu bestimmen, müssen wir jeden Wert, den die Zufallsgröße annehmen kann, mit der Wahrscheinlichkeit, dass dieser Wert eintritt, multiplizieren und alle diese Produkte aufsummieren.

  Wir können den Erwartungswert $E(X)$ kurz mit folgender Formel ausdrücken:

  $E(X)= x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + ... + x_n \cdot P(X=x_n)$

  Glücksrad-Beispiel:

  Zunächst bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten für die Farben:

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(\text{blau}) = \color{#99CC00}{\mathbf{\dfrac{6}{12}}}$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(\text{grün}) = \color{#99CC00}{\mathbf{\dfrac{4}{12}}}$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(\text{gelb}) = \color{#99CC00}{\mathbf{\dfrac{2}{12}}}$

  Danach bestimmen wir den Gewinn bzw. den Verlust bei der jeweiligen Farbe:

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ blau: $2\,€$ Verlust
  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ grün: kein Verlust oder Gewinn
  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ gelb: $2\,€$ Gewinn

  Nun setzen wir in die Formel für den Erwartungswert ein:

  $E(X)= \color{#99CC00}{\mathbf{-2}} \color{black}{~\cdot~ \dfrac{6}{12}} + \color{#99CC00}{\mathbf{0}} \color{black}{~\cdot~ \dfrac{4}{12}} + \color{#99CC00}{\mathbf{2}} \color{black}{~\cdot~ \dfrac{2}{12}} = -\dfrac{2}{3} \approx \color{#99CC00}{\mathbf{-0{,}67\,[€]}}$

  Da der Erwartungswert negativ ist, ist das Spiel nicht fair.

• Überprüfe, ob das Spiel fair ist.

  Tipps

  Ein Glücksspiel gilt dann als fair, wenn weder Anbietende noch Spielende auf lange Sicht einen Vorteil erwarten können. Im mathematischen Sinne heißt das, dass der Erwartungswert für den Gewinn genau gleich null sein muss.

  Beispiel:

  Wir ziehen eine Kugel aus einer Urne mit $3$ roten, $5$ gelben und $12$ blauen Kugeln. Der Einsatz beträgt $5\,€$. Ist die gezogene Kugel rot, bekommen wir $10\,€$, bei gelb $2\,€$ und bei blau $1\,€$.

  Gewinn:
  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ rot: $10\,€ - 5\,€ = +5\,€$
  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ gelb: $2\,€ - 5\,€ = -3\,€$
  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ blau: $1\,€ - 5\,€ = -4\,€$

  $P(\text{rot}) = \dfrac{3}{20} \hspace{3em} P(\text{gelb}) = \dfrac{5}{20} \hspace{3em} P(\text{blau}) = \dfrac{12}{20}$

  $E(X)= +5 \cdot \dfrac{3}{20} + (-3) \cdot \dfrac{5}{20} + (-4) \cdot \dfrac{12}{20} = -2{,}40\,[€]$

  $\rightarrow$ Das Spiel ist nicht fair. Denn die anbietende Person gewinnt auf lange Sicht.

  Nur eines der aufgeführten Spiele ist fair.

  Lösung

  Ein Glücksspiel gilt dann als fair, wenn weder Anbietende noch Spielende auf lange Sicht einen Vorteil erwarten können.
  Im mathematischen Sinne heißt das, dass der Erwartungswert für den Gewinn, der im Normalfall einen Geldwert widerspiegelt, für ein faires Spiel genau gleich null sein muss.

  Spiel 1

  Zwei Glücksräder sind in je fünf gleich große Felder unterschiedlicher Farbe geteilt. Sie werden gleichzeitig gedreht. Zeigen sie beide die gleiche Farbe, gewinnt der Spieler bzw. die Spielerin $10\,€$. Zeigen sie unterschiedliche Farben, muss die spielende Person $2\,€$ bezahlen:

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ gleiche Farbe: $+ 10\,€$
  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ unterschiedliche Farbe: $-2\,€$

  Wahrscheinlichkeiten:

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(\text{gleiche Farbe})= \dfrac{1}{5}$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(\text{unterschiedliche Farbe})= \dfrac{4}{5}$

  Erwartungswert:

  $E(X)= +10 \cdot \dfrac{1}{5} + (-2 ) \cdot \dfrac{4}{5} = + 0{,}40\,[€]$

  $\rightarrow$ Das Spiel ist nicht fair. Denn die spielende Person gewinnt auf lange Sicht.

  Spiel 2

  Die spielende Person bezahlt $2\,€$ Einsatz. Zwei Münzen werden geworfen. Bei zweimal Zahl bekommt die Person $4\,€$, ansonsten bekommt sie $1\,€$:

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $ZZ$: $+ 4\,€ - 2\,€ = +2\,€$
  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ nicht $ZZ$: $+1\,€ -2\,€ = -1\,€$

  Wahrscheinlichkeiten:

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(\text{ZZ})= \dfrac{1}{4}$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(\text{nicht ZZ})= \dfrac{3}{4}$

  Erwartungswert:

  $E(X)= +2 \cdot \dfrac{1}{4} + (-1 ) \cdot \dfrac{3}{4} = - 0{,}25\,[€]$

  $\rightarrow$ Das Spiel ist nicht fair. Denn die anbietende Person gewinnt auf lange Sicht.

  Spiel 3

  In einer Urne sind acht Kugeln mit der Aufschrift $2$ und vier Kugeln mit der Aufschrift $-4$. Eine teilnehmende Person zieht zweimal hintereinander eine Kugel mit Zurücklegen. Die Summe der beiden gezogenen Zahlen (unter Berücksichtigung des Vorzeichens) gibt an, wie viel ausbezahlt werden bzw. wie viel die Person bezahlen muss:

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $2+2$: $+4\,€$
  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $2+(-4)$: $-2\,€$
  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $-4+2$: $-2\,€$
  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $-4+(-4)$: $-8\,€$

  Wahrscheinlichkeiten:

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(2,2)= \dfrac{8}{12} \cdot \dfrac{8}{12} = \dfrac{4}{9}$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(2, -4)= \dfrac{8}{12} \cdot \dfrac{4}{12} = \dfrac{2}{9}$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(-4, 2) = \dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{9}$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(-4,-4) = \dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{9}$

  Erwartungswert:

  $E(X)= +4 \cdot \dfrac{4}{9} + (-2 ) \cdot \dfrac{2}{9} + (-2 ) \cdot \dfrac{2}{9} + (-8 ) \cdot \dfrac{1}{9} = 0\,[€]$

  $\rightarrow$ Das Spiel ist fair.

  Spiel 4

  Ein Würfel wird geworfen. Die spielende Person bekommt die geworfene Augenzahl in $€$ ausbezahlt, sofern die Augenzahl größer als $4$ ist. Anderenfalls muss die Person die Augenzahl in $€$ bezahlen:

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ Augenzahl $1$: $-1\,€$
  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ Augenzahl $2$: $-2\,€$
  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ Augenzahl $3$: $-3\,€$
  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ Augenzahl $4$: $-4\,€$
  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ Augenzahl $5$: $+5\,€$
  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ Augenzahl $6$: $+6\,€$

  Die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl beträgt $\frac{1}{6}$.

  Erwartungswert:

  $E(X)= -1 \cdot \dfrac{1}{6} + (-2 ) \cdot \dfrac{1}{6} + (-3 ) \cdot \dfrac{1}{6}+ (-4 ) \cdot \dfrac{1}{6}+ 5 \cdot \dfrac{1}{6}+ 6 \cdot \dfrac{1}{6} = + \dfrac{1}{6}\,[€]$

  $\rightarrow$ Das Spiel ist nicht fair. Denn die spielende Person gewinnt auf lange Sicht.

• Berechne, welcher Einsatz zu einem fairen Spiel führt.

  Tipps

  Formel für den Erwartungswert:

  ${E(X)= x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + ... + x_n \cdot P(X=x_n)}$

  Ist der Erwartungswert positiv, machen wir Gewinn.
  Ist er negativ, machen wir Verlust.

  Lösung

  Wir berechnen zunächst mithilfe des Erwartungswertes den mittleren zu erwartenden Gewinn beim Kauf eines Loses für den Fall, dass das Los nichts kostet. Es gibt insgesamt $1 + 5 + 50 + 94 = 150$ Lose. Damit können wir die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Gewinnsummen bestimmen:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Gewinn} & 1\,000\,€ & 15\,€ & 1\,€ & 0\,€ \\ \hline \\ \text{Wahrscheinlichkeit} & \dfrac{1}{150} & \dfrac{5}{150} & \dfrac{50}{150} & \dfrac{94}{150} \end{array}$

  $E(X)= 1\,000 \cdot \dfrac{1}{150} + 15 \cdot \dfrac{5}{150} +1 \cdot \dfrac{50}{150} + 0 \cdot \dfrac{94}{150} = + 7{,}50\,[€]$

  Wenn ein Los $7{,}50\,€$ kostet, dann sind die durchschnittlichen Kosten gedeckt und das Spiel ist fair. Wir können dies noch einmal überprüfen, indem wir den berechneten Preis von den jeweiligen Auszahlungen abziehen:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Gewinn} & 992{,}50\,€ & 7{,}50\,€ & -6{,}50\,€ & -7{,}50\,€ \\ \hline \\ \text{Wahrscheinlichkeit} & \dfrac{1}{150} & \dfrac{5}{150} & \dfrac{50}{150} & \dfrac{94}{150} \end{array}$

  $E(X)= 992{,}50 \cdot \dfrac{1}{150} + 7{,}50 \cdot \dfrac{5}{150} + (- 6{,}50) \cdot \dfrac{50}{150} + (- 7{,}50) \cdot \dfrac{94}{150} = 0\,[€]$

• Gib an, ob das Spiel fair ist oder ob Spielende oder Anbietende auf lange Sicht Gewinn machen.

  Tipps

  Achte auf das Vorzeichen des Erwartungswertes.

  Anbietende machen auf lange Sicht Gewinn, wenn der Erwartungswert negativ ist.

  Lösung

  Vor einem Glücksspiel muss meist ein Einsatz bezahlt werden. Nach dem Glücksspiel haben Spielende dann entweder:

  • Gewinn gemacht (sie haben mehr Geld als vorher),
  • Verlust gemacht (sie haben weniger Geld als vorher) oder
  • genauso viel Geld wie vorher.

  Ein Glücksspiel gilt dann als fair, wenn weder Anbietende noch Spielende auf lange Sicht einen Vorteil erwarten können. Im mathematischen Sinne heißt das, dass der Erwartungswert für den Gewinn, der im Normalfall dann einen Geldwert widerspiegelt, für ein faires Spiel genau gleich null sein muss.

  Wir können daher zuordnen:

  Das Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert genau null beträgt:

  • $E(X)=0 \,[€]$

  Anbietende machen auf lange Sicht Gewinn, wenn der Erwartungswert negativ ist:

  • $E(X)=-0{,}70 \,[€]$
  • $E(X)=-3{,}5 \,[€]$
  • $E(X)=-0{,}01 \,[€]$

  Spielende machen auf lange Sicht Gewinn, wenn der Erwartungswert positiv ist:

  • $E(X)=+1{,}75 \,[€]$
  • $E(X)=+10{,}0 \,[€]$

• Ermittle den Gewinn bei einer blauen Kugel, sodass das Spiel fair ist.

  Tipps

  Bestimme jeweils zunächst die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben.

  Subtrahiere den Einsatz von dem ausgezahlten Betrag, um den Gewinn bzw. den Verlust zu ermitteln.

  Benenne den gesuchten Gewinn mit einer Variablen und setze alle gegebenen Größen in die Formel für den Erwartungswert ein.

  Bestimme den Wert der Variablen so, dass der Erwartungswert $0$ ergibt, indem du die Gleichung löst.

  Lösung

  Einfach gesagt gibt der Erwartungswert an, welches Ergebnis man im Mittel bei einem Zufallsexperiment erhält.
  Da in unserem Fall das Zufallsexperiment fair sein soll, muss der Erwartungswert gleich null sein.

  Zur Ermittlung des gesuchten Gewinns bei blau gehen wir wie folgt vor:

  Zuerst bestimmen wir den Gewinn bzw. den Verlust bei den einzelnen Farben, indem wir den Gewinn mit dem Einsatz verrechnen:

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ rot: $4\,€ - 5\,€ = -1\,€ \quad \rightarrow$ Verlust
  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ gelb: $2\,€ - 5\,€ = -3\,€ \quad \rightarrow$ Verlust
  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ blau: $x\,€ - 5\,€$

  Danach berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Farben:

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(\text{rot}) = \dfrac{3}{12}$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(\text{gelb}) = \dfrac{5}{12}$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(\text{blau}) = \dfrac{4}{12}$

  Nun bestimmen wir den Erwartungswert mithilfe der Formel:

  $E(X)= -1 \cdot \dfrac{3}{12} + (-3) \cdot \dfrac{5}{12} + (x-5) \cdot \dfrac{4}{12}$

  Wir vereinfachen den Term:

  $- \dfrac{3}{12} - \dfrac{15}{12} + \dfrac{4x}{12} - \dfrac{20}{12} = \dfrac{4x}{12} - \dfrac{38}{12}$

  Da das Spiel fair sein soll, muss der Erwartungswert null betragen. Wir setzen daher den Term gleich null und lösen nach der gesuchten Größe $x$ auf:

  $\begin{array}{rcll} \dfrac{4x}{12} - \dfrac{38}{12} & = & 0 & | \cdot 12 \\ \\ 4x - 38 & = & 0 & | + 38\\ 4x & = & 38 & | :4 \\ x & = & 9{,}5 & \\ \end{array}$

  Beträgt der Gewinn bei blau $\color{#99CC00}{\mathbf{9{,}50\,€}}$, ist das Spiel fair.