Erwartungswert
Erwartungswert gibt das durchschnittliche Ergebnis eines Zufallsexperiments an. Beispiel: Glücksrad mit 3 Feldern, jeweils Gewinn/Neutral/Verlust. Erwartungswert zeigt, dass man im Mittel 33 Cent verliert. Berechnung erfolgt durch Multiplikation der Ergebnisse mit ihren Eintrittswahrscheinlichkeiten. Lerne heute die Formel für Erwartungswert: sowie die besonderen Erwartungswerte wie Bernoulli- und Binomialverteilung.
- Erwartungswert – Definition
- Erwartungswert berechnen
- Erwartungswert bei speziellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen
- Erwartungswert – Bernoulli-Verteilung
- Erwartungswert – Binomialverteilung
- Erwartungswert – Normalverteilung
- Erwartungswert – Beispiel
- Erwartungswert – Übungen
- Ausblick – das lernst du nach Erwartungswert
- Zusammenfassung des Erwartungswertes
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Erwartungswert
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Grundlagen zum Thema Erwartungswert
Erwartungswert – Definition
Der Erwartungswert ist ein Begriff aus der Stochastik (Wahrscheinlichkeitsrechnung), der zur Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße genutzt wird.
Der Erwartungswert einer Zufallsgröße gibt an, welchen Wert bei häufiger Durchführung des zugehörigen Zufallsversuchs im Mittel zu erwarten ist.
Für den Erwartungswert eine Zufallsgröße $X$ schreiben wir $E(X)$ oder $\mu$.
Erwartungswert und arithmetisches Mittel
Vermutlich kennst du bereits das arithmetische Mittel zur mathematischen Beschreibung von Daten aus Stichproben. Du kannst damit die Ergebnisse eines Zufallsversuchs auswerten, der mehrfach durchgeführt wurde.
Mit dem Erwartungswert kannst du dagegen auf Basis einer bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung den zu erwartenden Ausgang einer Reihe von Durchführungen vorhersagen.
Das arithmetische Mittel kann dabei vom Erwartungswert abweichen. Diese Abweichung wird allerdings nach dem Gesetz der großen Zahlen mit einer größer werden Zahl an Versuchsdurchführungen immer unwahrscheinlicher.
Erwartungswert berechnen
Um den Erwartungswert einer Zufallsgröße zu berechnen, wird jede mögliche Ausprägung der Zufallsgröße mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert und die Produkte werden anschließend addiert.
Allgemeinen gilt für den Erwartungswert $E(X)$ der Zufallsvariablen $X$:
$E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + ... + x_n \cdot P(X=x_n)$
Dabei stehen die $x_i$ für die Ausprägungen der Zufallsgröße $X$, also $x_1, x_2, x_3, … x_n$.
$P(X=x_i)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von $x_i$.
Beispiel: Augenzahl beim sechsseitigen Würfel
Betrachten wir die Zufallsgröße $X$: Augenzahl beim Werfen eines sechsseitigen Würfels, so hat diese sechs mögliche Ausprägungen $x_i$:
$x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 4, x_5 = 5$ und $x_6 = 6$
Da es sich um ein Laplace-Experiment handelt, sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich.
Es gilt: $P(X = x_i) = \frac{1}{6}$
Wir setzen ein und berechnen den Erwartungswert:
$\begin{array}{rcl} E(X) &=& 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} \\ \\ &=& \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{6} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{6}{6} \\ \\ &=& \dfrac{21}{6} \\ \\ &=& 3{,}5 \end{array}$
Wenn wir also häufig würfeln, dann ist eine mittlere Augenzahl von $3{,}5$ zu erwarten.
An diesem einfachen Beispiel siehst du, dass der Erwartungswert keiner der Ausprägungen der Zufallsgröße entsprechen muss.
Auch wenn es nicht möglich ist, mit einem Wurf die Zahl $3{,}5$ zu erzielen entspricht diese der im Mittel zu erwartenden Augenzahl. Der Erwartungswert kann also auch zwischen den tatsächlichen Ausprägungen der Zufallsgröße liegen.
Erwartungswert – Formel
Wir können die Formel für den Erwartungswert auch kurz in Summenschreibweise zusammenfassen:
$\begin{array}{rcl} E(X) &=& x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + ... + x_n \cdot P(X=x_n) \\ &=& \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n x_i \cdot P(X=x_i) \end{array}$
Fehleralarm
Es ist ein weit verbreiteter Irrtum, den Erwartungswert mit dem häufigsten Wert zu verwechseln. Der Erwartungswert ist der theoretische Durchschnittswert, der sich ergibt, wenn das Experiment unendlich oft wiederholt wird.
Das muss nicht immer ein tatsächlich mögliches Ergebnis sein und auch nicht der am häufigsten auftretende Wert.
Erwartungswert einer stetigen Zufallsgröße
Eine stetige Zufallsgröße kann unendlich viele Werte annehmen. Das ist beispielsweise bei Größen der Fall, die beliebig genau gemessen werden können, wie das Alter von Personen oder das Gewicht einer Schokoladentafel. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung wird daher nicht als Tabelle, sondern in Form einer sogenannten Dichtefunktion $f$ angegeben.
Betrachten wir eine stetige Zufallsgröße $X$ mit Werten im Intervall $[a; b]$ und Dichtefunktion $f$, dann gilt für den Erwartungswert:
$E(X) = \displaystyle \int\limits_{a}^{b} x \cdot f(x)~\text{d}x$
Erwartungswert bei speziellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Es gibt Wahrscheinlichkeitsverteilungen, deren Erwartungswert mit einer einfachen Formel berechnet werden kann oder sogar direkt ablesbar ist. Die wichtigsten Erwartungswerte sind hier zusammengefasst.
Erwartungswert – Bernoulli-Verteilung
Als Bernoulli-Experiment wird ein Zufallsversuch bezeichnet, der genau zwei mögliche Ergebnisse hat: Erfolg und Misserfolg. Dabei gilt:
- $P(\text{Erfolg}) = p$
- $P(\text{Misserfolg}) = 1-p$
Hier kann der Erwartungswert direkt abgelesen werden, er entspricht der Erfolgswahrscheinlichkeit $p$.
Erwartungswert – Binomialverteilung
Mit einer Binomialverteilung wird eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ beschrieben, also ein Bernoulli-Experiment, das $n$-mal durchgeführt wird.
Der Erwartungswert kann hier wie folgt berechnet werden:
$E(X) = n \cdot p$
Dabei steht $n$ für die Anzahl der Versuchsdurchführungen und $p$ für die Trefferwahrscheinlichkeit, die bei jedem Versuch gleich ist.
Erwartungswert – Normalverteilung
Bei einer Normalverteilung $\mathcal{N}(\mu; \sigma^2)$ kann der Erwartungswert $\mu$ direkt aus der Dichtefunktion $\varphi$ der stetigen Verteilung abgelesen werden.
Wusstest du schon?
Der Erwartungswert hilft nicht nur in der Mathematik! Betreiber von Casinos nutzen den Erwartungswert, um sicherzustellen, dass Spiele wie Roulette oder Black Jack auf lange Sicht profitabel (für das Casino!) sind.
Wenn du das nächste Mal an einem Glücksspiel teilnimmst, weißt du, dass mehr Mathematik dahintersteckt, als du vielleicht gedacht hast!
Erwartungswert – Beispiel
Ein Glücksrad hat drei Felder, die jeweils ein Drittel der Fläche ausmachen. Um drehen zu dürfen, müssen wir $2\,€$ bezahlen. Landet der Zeiger auf dem ersten Feld, bekommen wir $3\,€$ zurück, machen also $1\,€$ Gewinn, auf dem zweiten sind es $2\,€$, wir machen also weder Gewinn noch Verlust und beim letzten bekommen wir gar nichts, verlieren also die ganzen $2\,€$.
Wir fassen die gegebenen Informationen zunächst in eine Tabelle zusammen:
$\begin{array}{|l|c|c|c|} \text{Auszahlung} & 3\,€ & 2\,€ & 0\,€ \\ \hline \text{Gewinn} & 1\,€ & 0\,€ & -2\,€ \\ \hline \\ \text{Wahrscheinlichkeit} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array}$
Mit dem Erwartungswert können wir berechnen, ob wir nach mehreren Runden im Mittel Gewinn oder Verlust machen. Dazu multiplizieren wir den Gewinn für jedes Ergebnis mit seiner Eintrittswahrscheinlichkeit und addieren die Produkte. Bei unserem Glücksrad hat jedes Ergebnis eine Eintrittswahrscheinlichkeit von einem Drittel, also:
$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot (-2) = - \frac{1}{3} \approx - 0{,}33$
Der Erwartungswert für unseren Gewinn im Spiel ist also $-0{,}33\,€$. Das bedeutet, wir können erwarten, dass wir nach vielen Spielrunden im Mittel pro Spiel $33~\text{Cent}$ verlieren.
Schlaue Idee
Wenn du ein Glücksspiel mit Geldeinsatz spielst, denke daran:
Der Erwartungswert hilft dir zu verstehen, dass deine durchschnittlichen Gewinne auf lange Sicht in der Regel geringer sein werden als die Höhe deiner Einsätze.
Erwartungswert und faires Spiel
Sehen wir uns an was der Begriff faires Spiel im Zusammenhang mit dem Erwartungswert bedeutet.
Von einem fairen Spiel sprechen wir, wenn beide Seiten auf lange Sicht weder Gewinn noch Verlust machen.
Anders ausgedrückt ist ein Spiel genau dann fair, wenn für den Gewinn $G$ als Zufallsgröße gilt: $E(G) = 0$.
Im Beispiel des Glücksrades wäre das Spiel fair, wenn die Auszahlung auf dem ersten Feld $4\,€$ beträgt. Das entspricht bei einem Einsatz von $2\,€$ einem Gewinn von $2\,€$ und wir erhalten für den Erwartungswert:
$\frac{1}{3} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot (-2) = 0$
Erwartungswert – Übungen
Im folgenden findest du einige Aufgaben mit Lösungen zum Thema Erwartungswert.
Glücksrad mit Zahlen
Ein Glücksrad ist in fünf gleich große Felder unterteilt, die mit den Zahlen von $1$ bis $5$ beschriftet sind.
Die Zufallsgröße $X$ ordnet allen ungeraden Zahlen den Wert $10$ zu und allen geraden Zahlen den Wert $20$.
Glücksrad mit drei Farben
Paul hat sich auf folgendes Spiel eingelassen: Er setzt $2\,€$ und darf das Glücksrad einmal drehen.
Nun fragt sich Paul: Ist dieses Spiel auf lange Sicht fair?
Münzwurf
Eine Münze wird $12$‑mal geworfen. Die Zufallsgröße $K$ gibt die Häufigkeit des Auftretens von Kopf an.
Ausblick – das lernst du nach Erwartungswert
Befasse dich als nächstes mit der Varianz und Standardabweichung und setze dich mit der Binomialverteilung auseinander. Mit dem Verständnis der Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen, ihrer Form und Rolle in der Mathematik kannst du deine Kenntnisse der Statistik entscheidend vertiefen!
Zusammenfassung des Erwartungswertes
- Der Erwartungswert ist eine wichtige Kenngröße von Zufallsvariablen in der Stochastik.
- Der Erwartungswert $E(X)$ oder $\mu$ einer Zufallsgröße $X$ gibt an, mit welchem Ergebnis bei mehrfacher Durchführung im Mittel zu rechnen ist.
- Ist der Erwartungswert für den Gewinn gleich null, so sprechen wir von einem fairen Spiel.
- Es gilt die Formel:
$E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + ... + x_n \cdot P(X=x_n)$
für den Erwartungswert einer Zufallsgröße $X$ mit den Ausprägungen $x_i$ und deren Wahrscheinlichkeiten $P(X = x_i)$.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Erwartungswert
Transkript Erwartungswert
Was erwartet uns in der Zukunft?! Ja klar, wirklich sicher sein können wir uns nicht! Aber da gibt es schon einen Anhaltspunkt: Den "Erwartungswert". Der ERWARTUNGSWERT ist in der Mathematik ganz klar definiert. Er gibt nämlich an, mit welchem Durschnittswert du auf lange Sicht, also bei sehr vielen Wiederholungen, bei einem Zufallsexperiment rechnen kannst. Wie DAS dann aussehen kann, machen wir uns mit Hilfe eines Glücksrads deutlich. So ein Glücksrad ist zwar etwas angestaubt und macht meistens auch nicht wirklich glücklich, aber es eignet sich hervorragend, um zu verstehen, was es mit dem Erwartungswert auf sich hat. Unseres hier ist in zwölf gleich große Felder unterteilt. Die blauen Felder stehen für einen Gewinn von einem Euro, die grünen Felder für einen Gewinn von drei Euro und wenn das Glücksrad bei gelb stehen bleibt, werden ganze FÜNF Euro abgesahnt. Wir sollten uns zunächst erstmal klar machen welche Zufallsgröße wir in diesem Kontext gegeben haben und wie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung aussieht. Als unsere Zufallsgröße, nennen wir sie X, wählen wir die Höhe des Gewinns in Euro. Sie kann also die Werte eins, drei, oder fünf annehmen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet diesen Werten dann noch ihre entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zu. Die Wahrscheinlichkeit für einen Euro beträgt sechs Zwölftel, da insgesamt SECHS von zwölf Feldern blau sind. Die Wahrscheinlichkeit für den "drei-Euro-Gewinn" beträgt VIER Zwölftel und die Wahrscheinlichkeit für fünf Euro ZWEI Zwölftel. Was genau passiert, wenn wir das Glücksrad drehen, können wir nicht mit Sicherheit voraussagen. Aber wir können eine Prognose dafür aufstellen, was wir durchschnittlich erwarten können. Aber wenn wir das Glücksrad zum Beispiel zwölf mal drehen würden, würden wir im DURCHSCHNITT sechs mal einen Gewinn von einem Euro, vier mal drei Euro, und zweimal fünf Euro erwarten. In Summe könnten wir also von einem Gewinn von achtundzwanzig Euro ausgehen. Wenn uns jetzt der durchschnittliche Gewinn pro DURCHFÜHRUNG interessiert, müssen wir die achtundzwanzig Euro nur noch durch die Anzahl der Durchführungen, sprich zwölf, teilen. So erhalten wir rund zwei Euro dreiunddreißig. Und dieser Wert ist dann tatsächlich auch unser ERWARTUNGSWERT. Den Gewinn "zwei Euro dreiunddreißig" gibt es zwar auf unserem Glücksrad gar nicht, aber es ist eben der Wert, den wir durchschnittlich pro Durchführung erwarten können, wenn wir das Rad ganz häufig drehen. Den "Erwartungswert Groß-E" unserer "Zufallsvariable X" können wir auch kompakt mit nur einem Schritt berechnen. Und zwar indem wir nicht erst von zwölf Durchführungen ausgehen und DANN in einem zweiten Schritt auf den Durchschnittswert pro Spiel runterrechnen, sondern DIREKT durch zwölf teilen. Bei dieser Vorgehensweise stehen an DIESEN Stellen die Wahrscheinlichkeiten, die wir schon weiter oben notiert hatten. Wir multiplizieren also den ersten Wert, den die Zufallsvariable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit und addieren den zweiten und dritten Wert, die AUCH jeweils mit ihren zugehörigen Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden. Und das ist dann auch schon die Struktur der Formel für den Erwartungswert. Wir berechnen ihn, indem wir den Wert "x-eins" mit der Wahrscheinlichkeit "P von X gleich x-eins" multiplizieren, das für jeden Wert wiederholen, den X annehmen kann und all diese Produkte dann addieren. n steht hier also für eine beliebig große Zahl, die der Anzahl an möglichen Werten der betrachteten Zufallsvariable entspricht. Wie wir diese Formel dann anwenden, schauen wir uns zum Schluss in einer kurzen Zusammenfassung an. Mit Hilfe des Erwartungswertes können wir ausdrücken, mit welchem Wert wir bei einer Zufallsgröße durchschnittlich rechnen können, wenn wir den entsprechenden Zufallsversuch sehr häufig durchführen. Um ihn konkret zu berechnen, multiplizieren wir jeden Wert, den die Zufallsgröße annehmen kann, mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit und addieren all diese Produkte. Wenn wir die Werte einer beliebige Zufallsgröße und die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung in einer Tabelle gegeben haben, können wir nach folgendem Schema vorgehen: Wir multiplizieren den Wert der ersten Spalte mit der passenden Wahrscheinlichkeit in dieser Spalte, addieren dann den Wert der zweiten Spalte, den wir ebenfalls mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizieren, und wiederholen diese Vorgehensweise, bis wir alle Werte der Zufallsgröße in unsere Rechnung mit aufgenommen haben. Den ganzen Salat müssen wir dann nur noch ausrechnen und werden mit einer Prognose für die Zukunft belohnt: dem Erwartungswert! Na dann, viel Spaß beim Blick in die Zukunft!
Erwartungswert Übung
-
Vervollständige die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Gewinne.
TippsAnzahl der Felder einer Farbe:
Diese Zahl steht im Zähler (= oben) des Bruchs.Wenn bei einem Glücksrad $5$ von $8$ Feldern rot sind, ist die Wahrscheinlichkeit für rot:
$P(\text{rot}) = \dfrac{5}{8}$
LösungSo geben wir die Wahrscheinlichkeit $P$ (englisch: probability) für eine Farbe als Bruch an:
- Anzahl der Felder einer Farbe: Diese Zahl steht im Zähler (= oben) des Bruchs.
- Anzahl aller Felder: Diese Zahl steht im Nenner (= unten) des Bruchs.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Euro beträgt $\color{#99CC00}{\frac{6}{12}}$, da insgesamt $6$ von $12$ Feldern blau sind.
Die Wahrscheinlichkeit für den $3$-Euro-Gewinn beträgt $\color{#99CC00}{\frac{4}{12}}$, da $4$ von $12$ Feldern rot sind.
Die Wahrscheinlichkeit, fünf Euro zu gewinnen, liegt bei $\color{#99CC00}{\frac{2}{12}}$, da nur $2$ von $12$ Feldern gelb sind. -
Bestimme den Erwartungswert.
TippsDie Zahlen für die erste Zeile findest du in der Tabelle.
Beispiel Berechnung Erwartungswert:
$ E (X) = - 3 \cdot 0,\!1 + 2 \cdot 0,\!2 + (-1) \cdot 0,\!3$
$ E (X) = - 0,\!3 ~+~ 0,\!4 ~-~ 0,3\!$
$ E (X) = - 0,\!2$
LösungUm den Erwartungswert eines Ereignisses zu berechnen, brauchen wir folgende Formel:
$E (X) = x_{1} \cdot P (X = x_{1}) + ... + x_{n} \cdot P (X = x_{n})$
Im ersten Schritt stellen wir die Multiplikation der Zufallsgröße ($x$) mit ihrer entsprechenden Wahrscheinlichkeit auf:
$E (X) = - 5 \cdot \color{#99CC00}{0,\!2} \color{black}{~+~} (-2) \cdot 0,\!1 + 0 \cdot \color{#99CC00}{0,\!4} \color{black}{~+~} 1 \cdot 0,\!2 + \color{#99CC00}{10} \color{black}{~\cdot~} 0,\!1$
Im nächsten Schritt berechnen wir die Multiplikationsaufgaben, denn es gilt Punkt vor Strich:
$E (X) = \quad \color{#99CC00}{-1} \quad \color{black}{-} \quad 0,\!2 \quad + \quad \color{#99CC00}{0} \quad \color{black}{+} \quad 0,\!2 \quad + \quad \color{#99CC00}{1}$
Nun müssen wir die Zahlen nur noch addieren bzw. subtrahieren. Als Endergebnis erhalten wir:
$E (X) =~ \color{#99CC00}{0}$
Der Erwartungswert liegt bei $0$. Das bedeutet, wir erwarten einen Gewinn von $0$.
-
Berechne den Erwartungswert.
TippsEs gilt Punkt vor Strich:
- zuerst die Multiplikationsaufgaben lösen
- danach die Teilergebnisse addieren
Beispiel:
$\begin{array}{l|c|c|c} x_i & 4 & 2 & 1 \\ \hline P(X = x_i) & 0,\!1 & 0,\!2 & 0,\!3 \end{array}$
$E(X) = 4 \cdot 0,\!1 + 2 \cdot 0,\!2 + 1 \cdot 0,\!3 = 1,\!1$
LösungBei einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnest du den Erwartungswert, indem du jede der Ausprägungen $x_i$ mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit $P(X = x_i)$ multiplizierst und die Ergebnisse addierst.
Beispiel 1
$\begin{array}{rrrrr} 0,\!5 \cdot 2 & + & 0,\!3 \cdot 3 & + & 0,\!2 \cdot 5 & = \\ 1 & + & 0,\!9 & + & 1 & = \\ & & & & \underline{\underline{2,\!9}} \end{array}$
Beispiel 2
$\begin{array}{rrrr} 0,\!1 \cdot 4 & + & 0,\!7 \cdot 2 & + & 0,\!2 \cdot 8 & = \\ 0,\!4 & + & 1,\!4 & + & 1,\!6 & = \\ & & & & \underline{\underline{3,\!4}} \end{array}$
Beispiel 3
$\begin{array}{rrrr} 0,\!3 \cdot 2 & + & 0,\!3 \cdot 5 & + & 0,\!4 \cdot 6 & = \\ 0,\!6 & + & 1,\!5 & + & 2,\!4 & = \\ & & & & \underline{\underline{4,\!5}} \end{array}$
Beispiel 4
$\begin{array}{rrrr} 0,\!5 \cdot 3 & + & 0,\!1 \cdot 9 & + & 0,\!4 \cdot 2 & = \\ 1,\!5 & + & 0,\!9 & + & 0,\!8 & = \\ & & & & \underline{\underline{3,\!2}} \end{array}$
-
Entscheide, bei welchem Zufallsversuch der zu erwartende Gewinn am höchsten ist.
TippsBestimme jeweils zunächst die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben.
Subtrahiere den Einsatz von dem ausgezahlten Betrag, um den Gewinn bzw. Verlust zu ermitteln.
Beispielweise liegt bei einem Einsatz von $2\,€$ und einer Auszahlung von $5\,€$ ein Gewinn von $5\,€ - 2\,€ = 3\,€$ vor. Beträgt die Auszahlung bei gleichem Einsatz dagegen $1\,€$, so entspricht dies einem „Gewinn“ von $1\,€ - 2\,€ = -1\,€$, also einem Verlust von $1\,€$.
Mit dem Erwartungswert können wir dann berechnen, wie viel Gewinn oder Verlust wir nach mehreren Versuchen im Mittel machen. Dazu multiplizieren wir jedes Ergebnis mit seiner Eintrittswahrscheinlichkeit und addieren die Produkte.
LösungEinfach gesagt gibt der Erwartungswert an, welches Ergebnis im Mittel du bei einem Zufallsexperiment erhältst.
In unserem Beispiel ziehen wir eine Kugel aus einer Urne. Da wir zu Beginn des Glücksspiels einen Einsatz bezahlen, müssen wir den Gewinn bzw. Verlust berechnen, indem wir den Einsatz von dem ausgezahlten Betrag abziehen. Außerdem bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten für die jeweilige Farbe.
Mit dem Erwartungswert können wir dann berechnen, ob wir nach mehreren Versuchen im Mittel Gewinn oder Verlust machen. Dazu multiplizieren wir jedes Ergebnis mit seiner Eintrittswahrscheinlichkeit und addieren die Produkte. Erhalten wir ein positives Ergebnis, sprechen wir von einem Gewinn. Ist das Ergebnis negativ, gehen wir von einem Verlust aus.Beispiel 1
$3$ rote, $5$ gelbe, $12$ blaue Kugeln
rot: $10\,€ - 5\,€ = +5\,€ \hspace{2em}$ gelb: $2\,€ - 5\,€ = -3\,€ \hspace{2em}$ blau: $1\,€ - 5\,€ = -4\,€$${P(\text{rot}) = \dfrac{3}{20}} \hspace{6em} {P(\text{gelb}) = \dfrac{4}{20}} \hspace{5em} {P(\text{blau}) = \dfrac{12}{20}}$
$E(X)= +5\,€ \cdot \dfrac{3}{20} + (-3\,€) \cdot \dfrac{5}{20} + (-4\,€) \cdot \dfrac{12}{20} = -2{,}40\,€$
Bei diesem Zufallsversuch machen wir im Durchschnitt also einen Verlust von $2,\!40~€$.
Beispiel 2
$5$ rote, $8$ gelbe, $2$ blaue Kugeln
rot: $4\,€ - 3\,€ = +1\,€ \hspace{2em}$ gelb: $2\,€ - 3\,€ = -1\,€ \hspace{2em}$ blau: $0\,€ - 3\,€ = -3\,€$${P(\text{rot}) = \dfrac{5}{15}} \hspace{6em} {P(\text{gelb}) = \dfrac{8}{15}} \hspace{5em} {P(\text{blau}) = \dfrac{2}{15}}$
$E(X)= +1\,€ \cdot \dfrac{5}{15} + (-1\,€) \cdot \dfrac{8}{15} + (-3\,€) \cdot \dfrac{2}{15} = -0{,}60\,€$
Bei diesem Zufallsversuch machen wir im Durchschnitt also einen Verlust von $0,\!60~€$.
Beispiel 3
$2$ rote, $7$ gelbe, $1$ blaue Kugeln
rot: $1\,€ - 1\,€ = 0\,€ \hspace{2em}$ gelb: $0{,}50\,€ - 1\,€ = -0{,}50\,€ \hspace{2em}$ blau: $2\,€ - 1\,€ = +1\,€$${P(\text{rot}) = \dfrac{2}{10}} \hspace{5em} {P(\text{gelb}) = \dfrac{7}{10}} \hspace{8em} {P(\text{blau}) = \dfrac{1}{10}}$
$E(X)= 0\,€ \cdot \dfrac{2}{10} + (-0{,}50\,€) \cdot \dfrac{7}{10} + 1\,€ \cdot \dfrac{1}{10} = -0{,}25\,€$
Bei diesem Zufallsversuch machen wir im Durchschnitt also einen Verlust von $0,\!25~€$.
Beispiel 4
$100$ rote, $30$ gelbe, $70$ blaue Kugeln
rot: $10\,€ - 20\,€ = -10\,€ \hspace{2em}$ gelb: $100\,€ - 20\,€ = +80\,€ \hspace{2em}$ blau: $15\,€ - 20\,€ = -5\,€$${P(\text{rot}) = \dfrac{100}{200}} \hspace{7em} {P(\text{gelb}) = \dfrac{30}{200}} \hspace{6em} {P(\text{blau}) = \dfrac{70}{200}}$
$E(X)= -10\,€ \cdot \dfrac{100}{200} + 80\,€ \cdot \dfrac{30}{200} + (-5\,€) \cdot \dfrac{70}{200} = +5{,}25\,€$
Bei diesem Zufallsversuch machen wir im Durchschnitt also einen Gewinn von $5,\!25~€$.
Da $~ -2,\!4 \lt -0,\!6 \lt -0,\!25 \lt 5,\!25$ gilt, entspricht dies der Reihenfolge der Versuche nach aufsteigendem Gewinn.
-
Stelle die Wahrscheinlichkeiten für die Farben dar.
TippsZähle, wie viele Felder eines Glücksrads blau oder grün sind.
Beispiel:
$P (\text{gelb}) = \dfrac{3}{4} \rightarrow$ weil $3$ von $4$ Feldern gelb sind
LösungSo geben wir die Wahrscheinlichkeit $P$ (englisch: probability) für eine Farbe als Bruch an:
- Anzahl der Felder einer Farbe: Diese Zahl steht im Zähler (= oben) des Bruchs.
- Anzahl aller Felder: Diese Zahl steht im Nenner (= unten) des Bruchs.
Nachfolgend siehst du die richtigen Zuordnungen:
1. Glücksrad: $P (\text{blau})~= \dfrac{5}{6} \qquad P (\text{grün})~=\dfrac{1}{6}$
2. Glücksrad: $P (\text{blau})~=\dfrac{2}{6} \qquad P (\text{grün})~=\dfrac{4}{6}$
3. Glücksrad: $P (\text{blau})~=\dfrac{4}{6} \qquad P (\text{grün})~=\dfrac{2}{6}$
-
Bestimme fehlende Werte zur Berechnung des Erwartungswertes der beiden Glücksräder.
TippsÜberlege, wie die einzelnen Summanden für den Erwartungswert berechnet werden.
Beispiel:
$\text{E (X)} = \dfrac{3}{10} \cdot 2 + \dfrac{7}{10} \cdot 2 = \dfrac{6}{10} + \dfrac{14}{10}$
- $\dfrac{6}{10} = 0,\!6$
- $\dfrac{14}{10} = 1,\!4$
Lösung1. Glücksrad
$\rightarrow$ gegeben: Anzahl der farbigen Felder sowie deren Gewinne:
- vier blaue Felder, Gewinn: $2\,€$
- fünf gelbe Felder, Gewinn: $4\,€$
- ein rotes Feld, Gewinn: $8\,€$
Zuerst musst du die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe mithilfe eines Bruchs bestimmen:
- Da das Glücksrad insgesamt zehn Felder hat, steht im Nenner (= unten) des Bruchs auf jeden Fall die Zahl $10$.
- Im Zähler (= oben) steht nun die Anzahl der Felder der jeweiligen Farbe.
Somit ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung folgendermaßen:
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ vier Felder sind blau: $\text{P(blau)}$ $= \dfrac{4}{10}$
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ fünf Felder sind gelb: $\text{P(gelb)}$ $=\dfrac{5}{10}$
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ ein Feld ist rot: $\text{P(rot)}$ $=\dfrac{1}{10}$
Im nächsten Schritt stellst du die Gleichung für die Berechnung des Erwartungswertes auf:
$\text{E(X)}$ $= \color{#0066FF}{\dfrac{4}{10} \cdot 2} \color{black}{~~+~~} \color{#FFCC00}{\dfrac{5}{10} \cdot 4} \color{black}{~~+~~} \color{#FF3300}{\dfrac{1}{10} \cdot 8}$
Nun musst du die Multiplikationsaufgaben berechnen:
$\text{E(X)}$ $= \color{#0066FF}{\dfrac{8}{10}} \color{black}{~~+~~} \color{#FFCC00}{\dfrac{20}{10}} \color{black}{~~+~~} \color{#FF3300}{\dfrac{8}{10}} $
Und noch in eine Dezimalzahl umrechnen: Steht im Nenner eine $10$, verschiebst du das Komma des Zählers einfach um eine Stelle nach links, der Nenner fällt weg. Somit lauten die Teilergebnisse wie folgt:
$\text{E(X)}$ $= \color{#0066FF}{0,\!8} \color{black}{~~+~~} \color{#FFCC00}{2} \color{black}{~~+~~} \color{#FF3300}{0,\!8}$
Addierst du diese drei Zahlen jetzt noch, erhältst du den Erwartungswert dieses Glücksrads:
$\text{E(X)} = 3,\!6$
2. Glücksrad
$\rightarrow$ gegeben: Anzahl der farbigen Felder (drei blaue, zwei gelbe, fünf rote)
$\rightarrow$ gesucht: Gewinn für die jeweilige Farbe
Zunächst musst du die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe mithilfe eines Bruchs bestimmen:
- Da das Glücksrad insgesamt zehn Felder hat, steht im Nenner (= unten) des Bruchs auf jeden Fall die Zahl $10$.
- Im Zähler (= oben) steht nun die Anzahl der Felder der jeweiligen Farbe.
Demnach ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung folgendermaßen:
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ drei Felder sind blau: $\text{P(blau)}$ $= \dfrac{3}{10}$
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ zwei Felder sind gelb: $\text{P(gelb)}$ $=\dfrac{2}{10}$
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ fünf Felder sind rot: $\text{P(rot)}$ $=\dfrac{5}{10}$
Im nächsten Schritt stellst du die Gleichung für die Berechnung des Erwartungswertes auf. Hierbei wird die Zufallsgröße (also der Gewinn) mit Variablen dargestellt, denn diese kennen wir nicht:
$\text{E(X)}$ $= \dfrac{3}{10} \cdot x_{1}+ \dfrac{2}{10} \cdot x_{2} + \dfrac{5}{10} \cdot x_{3}$
Das Ganze kannst du jetzt auch in Dezimalzahlen darstellen. Daher rechnest du die Brüche in Dezimalzahlen um. Steht im Nenner eine $10$, verschiebst du das Komma des Zählers einfach um eine Stelle nach links, der Nenner fällt weg. Somit lautet die Formel wie folgt:
$\text{E(X)}$ $= 0,\!3 \cdot x_{1}+ 0,\!2 \cdot x_{2} + 0,\!5 \cdot x_{3}$
Nun kommt der interessante Teil: das Herausfinden der Gewinne (also die Variablen) der jeweiligen Farben. Das gelingt dir, indem du den bereits errechneten Erwartungswert nutzt, um rückwärts zu rechnen. Du weißt aus der Aufgabe heraus schließlich bereits Folgendes:
$\text{E(X)}$ $= \quad \color{#0066FF}{0,\!9} \quad \color{black}{+} \quad \color{#FFCC00}{1} \quad \color{black}{+} \quad \color{#FF3300}{0,\!5} \quad \color{black}{= ~2,\!4}$
Du schreibst die Rechnungen und die jeweiligen Ergebnisse direkt untereinander:
$\begin{array}{lllllll} \text{E(X)} & = & \color{#0066FF}{0,\!3 \cdot x_{1}} & + & \color{#FFCC00}{0,\!2 \cdot x_{2}} & + & \color{#FF3300}{0,\!5 \cdot x_{3}} \\ \text{E(X)} & = & \color{#0066FF}{0,\!9} & + & \color{#FFCC00}{1} & + & \color{#FF3300}{0,\!5} & = & 2,\!4 \end{array}$
Jetzt musst du nur noch überlegen, welche Zahlen für die Variablen eingesetzt werden müssen, um die genannten Teilergebnisse zu erhalten. Du rechnest also rückwärts:
$\begin{array}{lclcll} 0,\!3 \cdot x_{1} &=& 0,\!9 &\Rightarrow& x_1 = 0,\!9 : 0,\!3 &= \color{#0066FF}{3} \\ 0,\!2 \cdot x_{2} &=& 1 &\Rightarrow& x_2 = 1 : 0,\!2 &= \color{#FFCC00}{5} \\ 0,\!5 \cdot x_{3} &=& 0,\!5 &\Rightarrow& x_3 = 0,\!5 : 0,\!5 &= \color{#FF3300}{1} \end{array}$
Die Gewinne für die jeweiligen Farben betragen also:
- blaues Feld: $3\,€$
- gelbes Feld: $5\,€$
- rotes Feld: $1\,€$
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