Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung Übung

• Nenne Eigenschaften von Exponentialfunktionen.

  Tipps

  Die Exponentialfunktion kann nur positive Funktionswerte annehmen.

  Es gilt:

  $4^0=1$

  $2^0=1$

  $8^0=1$

  Lösung

  Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable $x$ im Exponenten. Zum Beispiel: $h(x)=3^x$

  Wenn wir eine beliebige Exponentialfunktion $f(x)=a^x$ mit $a \in \mathbb{R}_+$ betrachten, können wir folgende Zusammenhänge erkennen:

  • Die Exponentialfunktion kann nur positive Werte annehmen, daher gilt:

  Der Graph verläuft oberhalb der $x$-Achse. Diese Aussage ist also richtig.

  • Wegen $a^0=1$ verläuft jeder Graph durch den Punkt $(0|1)$.

  Die Aussage "Der Graph verläuft durch den Punkt $(1|0)$." ist also falsch. Für $x = 1$ ergibt sich der Funktionswert $f(1) = a^1 = a$ und somit der Punkt $(1 \vert a)$

  • Der Graph nähert sich für $x \to -\infty$ asymptotisch der $x$-Achse, ohne diese zu berühren.

  Die Aussage "Für immer kleiner werdende $x$-Werte gehen die Funktionswerte gegen $0$." ist demnach richtig.

  • Der Graph der Ableitung ist ebenfalls eine Exponentialfunktion. Er kann oberhalb oder unterhalb des Funktionsgraphen verlaufen.

  Die Aussage "Die Ableitung ist gleich dem Funktionsterm." ist also falsch. Dies gilt nur für die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis $e$.

• Beschreibe das Steigungsverhalten der natürlichen Exponentialfunktion.

  Tipps

  Die natürliche Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion mit der Basis $e$. Dies ist die eulersche Zahl $e \approx 2{,}718$.

  Für die natürliche Exponentialfunktion $f(x)$ gilt:

  $ f^{\prime}(x) = f^{\prime\prime}(x) = f^{\prime\prime\prime}(x)$

  Die Ableitungsfunktion $f^{\prime}(x)$ gibt die Steigung des Funktionsgraphen $f(x)$ an.

  Lösung

  Die natürliche Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion mit der Basis $e$. Dies ist die eulersche Zahl $e \approx 2{,}718$.

  Die natürliche Exponentialfunktion ist so definiert, dass ihr Graph und der Graph ihrer Ableitungsfunktion identisch sind. Es gilt daher:

  $f(x) = \mathbf{f^{\prime}(x)} = \mathbf{e^x}$

  An jeder Stelle des Graphen entspricht der Funktionswert der Steigung des Graphen an dieser Stelle.

  Dies gilt im Übrigen auch für höhere Ableitungen, also:

  $f(x)=e^x = f^{\prime}(x) = f^{\prime\prime}(x) = f^{\prime\prime\prime}(x) = \ldots$

• Ermittle die Steigung der natürlichen Exponentialfunktion an den gegebenen Punkten.

  Tipps

  An jeder Stelle des Graphen der natürlichen Exponentialfunktion entspricht der Funktionswert der Steigung des Graphen an dieser Stelle.

  An der Stelle $x=1$ hat der Graph von $f(x)=e^x$ die Steigung $f(1) = e^1 = e$.

  Lösung

  Die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis $e \approx 2{,}718$ ist so definiert, dass ihr Graph und der Graph ihrer Ableitungsfunktion identisch sind. An jeder Stelle des Graphen entspricht der Funktionswert $f(x)=y$ daher der Steigung $m$ des Graphen an dieser Stelle:

  $f(x) =e^x = m$

  
  

  Bei einem gegebenen Punkt ist der erste Wert immer der $x$-Wert und der zweite Wert der $y$-Wert: $P(x|y)$

  Wir setzen also den gegebenen $x$-Wert in $f(x) = e^x$ ein und erhalten somit den zugehörigen $y$-Wert, welcher der Steigung entspricht:

  • $f(0) = e^0 = 1 \quad \rightarrow m=1$
  • $f(2) = e^2 \approx 7{,}4 \quad \rightarrow m=7{,}4$
  • $f(0,69) = e^{0{,}69} \approx 2{,}0 \quad \rightarrow m=2$
  • $f(1,5) = e^{1{,}5} \approx 4{,}5 \quad \rightarrow m=4{,}5$
  • $f(0,4) = e^{0{,}4} \approx 1{,}5 \quad \rightarrow m=1{,}5$

• Entscheide, ob der Ableitungsgraph oberhalb oder unterhalb des Funktionsgraphen von $f(x)$ verläuft.

  Tipps

  Die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis $e \approx 2{,}718$ ist so definiert, dass ihr Graph und der Graph ihrer Ableitungsfunktion identisch sind.

  Ist die Basis größer als $e$, so verläuft der Graph der Ableitung oberhalb des Funktionsgraphen.

  Lösung

  Die natürliche Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion mit der Basis $e$. Dies ist die eulersche Zahl $e \approx 2{,}718$.
  Die natürliche Exponentialfunktion ist so definiert, dass ihr Graph und der Graph ihrer Ableitungsfunktion identisch sind.

  Ist bei einer Exponentialfunktion $f(x) = a^x$ die Basis $a$ ungleich $e$ so gilt:

  • Ist die Basis $a$ größer als $e$, so verläuft der Graph der Ableitung oberhalb des Funktionsgraphen.
  • Ist die Basis $a$ kleiner als $e$, so verläuft der Graph der Ableitung unterhalb des Funktionsgraphen.

  Zwei Beispiele dazu sind in der Abbildung dargestellt.

  
  

  Bei folgenden Funktionen verläuft der Graph der Ableitung also oberhalb des Funktionsgraphen:

  • $f(x) = 4^x$
  • $f(x) = 2{,}8^x$
  • $f(x) = 3{,}3^x$
  • $f(x) = 8^x$

  
  

  Bei folgenden Funktionen verläuft der Graph der Ableitung unterhalb des Funktionsgraphen:

  • $f(x) = 1{,}5^x$
  • $f(x) = 2{,}7^x$
  • $f(x) = 1{,}8^x$
  • $f(x) = 2{,}1^x$

• Gib an, bei welchen Funktionen es sich um Exponentialfunktionen handelt.

  Tipps

  Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable $x$ im Exponenten.

  $f(x)=x^7$ ist keine Exponentialfunktion.

  $f(x)=7^x$ ist eine Exponentialfunktion.

  Lösung

  Bei einer Potenz $a^b$ nennen wir $a$ die Basis und $b$ den Exponenten.

  Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable $x$ im Exponenten. Enthält der Funktionsterm hingegen eine Potenz, in der die Variable in der Basis steht, so handelt es sich nicht um eine Exponentialfunktion. Damit können wir wie folgt unterscheiden:

  Exponentialfunktionen:

  • $f(x)=e^x \quad$ Dies ist die natürliche Exponentialfunktion.
  • $f(x)=5^x$
  • $f(x)=12^x$

  $\quad$

  keine Exponentialfunktionen:

  • $f(x)=x^4$
  • $f(x)=e \cdot x^3$
  • $f(x)=x^2$

• Berechne die Steigung der natürlichen Exponentialfunktion an den gegebenen Stellen.

  Tipps

  Die Steigung $m$ an einer konkreten Stelle $x$ bestimmen wir mit dem Funktionswert der Ableitung $f^\prime$ an dieser Stelle.

  $m=f^{\prime}(x)$

  Beispiel:

  $x = -0{,}5: \quad m = f^\prime (-0{,}5) = e^{-0{,}5} \approx 0{,}61$

  Lösung

  Die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis $e \approx 2{,}718$ ist so definiert, dass ihr Graph und der Graph ihrer Ableitungsfunktion identisch sind. An jeder Stelle des Graphen entspricht der Funktionswert daher der Steigung $m$ des Graphen an dieser Stelle. Es gilt also:
  $f(x) =f^{\prime}(x) = e^x = m$

  Wir setzen daher den gegebenen $x$-Wert in $f^{\prime}(x) = e^x$ ein und erhalten:

  • $x=2{,}2: \qquad m= e^{2{,}2} \approx 9{,}03$
  • $x=4{,}1: \qquad m= e^{4{,}1} \approx 60{,}34$
  • $x=-2: \qquad m= e^{-2} \approx 0{,}14$
  • $x=0{,}8: \qquad m= e^{0{,}8} \approx 2{,}23$