Die n-te Wurzel (Übungsvideo)
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Grundlagen zum Thema Die n-te Wurzel (Übungsvideo)
In diesem Video werden die verschiedenen Schreibweisen von n-ten Wurzeln geübt. Rechne mit und vergleiche deine Ergebnisse mit meinen! Für unterschiedliche Aufgaben mit n-ten Wurzeln werden mit Hilfe von Potenzgesetzen die Lösungen bestimmt. Zum Schluss wird an einer Textaufgabe die Lösung mit Hilfe der Wurzelrechnung ermittelt. Am Ende des Videos fasse ich wieder das Wichtigste für dich zusammen.
Die n-te Wurzel (Übungsvideo) Übung
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Stelle die Wurzel oder den Kehrwert der Wurzel als Exponent mit positivem oder negativem Exponenten dar.
TippsVerwende die folgenden Gleichungen:
- $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
- $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$.
Die $n$-te Wurzel kehrt das Potenzieren mit $n$ um.
Wenn $3^4=81$ gilt, so ist $\sqrt[4]{81}=3$.
LösungEs werden die folgenden Gleichungen verwendet:
- $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
- $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$.
- $\sqrt[4]{10000}=10000^{\frac14}=10$, da $10^4=10000$ gilt.
- $\sqrt[3]{0,064}=0,064^{\frac13}=0,4$, da $0,4^3=0,064$ gilt.
- $\frac1{\sqrt[3]{1331}}=1331^{-\frac13}=\frac1{1331^{\frac13}}=\frac1{11}$, da $11^3=1331$ ist.
- $\frac1{\sqrt[2]{0,0001}}=0,0001^{-\frac12}=\frac1{0,0001^{\frac12}}=\frac1{0,01}=100$, da $0,01^2=0,0001$ ist.
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Berechne die Fallzeit in Sekunden.
TippsForme die Gleichung $h=\frac12 \cdot g \cdot t^2$ so um, dass $t$ alleine steht.
In die umgeformte Gleichung kannst du $h=20~m$ einsetzen.
Du kannst auch direkt $h=20~m$ einsetzen und die Gleichung $20 \,m= \frac12 \cdot 10\,\frac{m}{s^2} \cdot t^2$ nach $t$ auflösen.
Führe eine Probe mit deinem Ergebnis durch.
LösungEs muss die Gleichung $h=5\cdot t^2$ nach $t$ umgeformt werden:
$\begin{align*} h&=\frac12 \cdot g \cdot t^2&|&:\frac{1}{2}\cdot g\\ t^2&=\frac {2\cdot h}g&|&\sqrt{~}\\ t&=\sqrt{\frac {2\cdot h}g}\\ \end{align*}$
Nun kann die Fallhöhe $h=20\,m$ und $=10\,\frac{m}{s^2}$ eingesetzt werden und man erhält
$\begin{align*} t&=\sqrt{\frac {2\cdot 20\,m}{10\,\frac{m}{s^2}}}\\ t&=\sqrt{4\,s^2}\\ t&=2\,s\\ \end{align*}$.
Die Fallzeit aus einer Fallhöhe $20~m$ beträgt somit $2$ Sekunden.
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Ordne der Wurzelschreibweise die Potenzschreibweise sowie das Ergebnis zu.
TippsVerwende die Gleichungen
- $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
- $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$
Du kannst die folgenden Regeln für das Rechnen mit Potenzen verwenden:
- $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ sowie
- $a^{-n}=\frac1{a^n}$.
Es gilt $5^4=625$.
LösungZur Umformung in die Potenzschreibweise werden
- $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
- $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$
- $\sqrt[5]{1024}=1024^{\frac15}=4$, da $4^5=1024$ ist.
- $\frac1{\sqrt[4]{0,0625}}=0,0625^{-\frac14}=\frac1{0,0625^{\frac14}}=\frac1{0,5}=2$, da $0,5^4=0,0625$ ist.
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Ermittle den Wert von $\sqrt[3]{1,728}$.
TippsDu kannst die Gleichung
$\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$
verwenden.
Verwende die Regel zum Rechnen mit Potenzen:
$\left( \frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.
Es gilt $12^3=1728$.
LösungMan kann $\sqrt[3]{1,728}$ zunächst als Potenz mit positivem Exponenten schreiben:
$\sqrt[3]{1,728}=1,728^{\frac13}$.
Da $12^3=1728$ ist, gilt $1,2^3=(12\cdot 0,1)^3=12^3\cdot 0,1^3=1728\cdot 0,001=1,728$.
Also ist $1,728^{\frac13}=\left(1,2^3\right)^{\frac13}=1,2^{3\cdot\frac13}=1,2^1=1,2$.
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Gib an, wie die $n$-te Wurzel und ihr Kehrwert als Potenz geschrieben werden kann.
TippsEs gilt $\left(a^{\frac1n}\right)^n=a$.
Es gilt $\frac1{a^n}=a^{-n}$.
LösungDie Wurzel ist wie folgt definiert:
Gilt $a≥0$ und $a\in \mathbb{R}$ und $n>0$, $n\in \mathbb{N}$, dann bezeichnet man mit $x=\sqrt[n] a$ diejenige nicht-negative Zahl $x$, welche mit $n$ potenziert $a$ ergibt.
Dabei ist
- $n$ der Wurzelexponent und
- $a$ der Radikand, die Zahl, aus der die Wurzel gezogen wird.
- $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
- $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$.
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Leite den Radius des Grundkreises eines Zylinders her.
TippsDu kennst die Formel zur Berechnung des Volumens.
Überlege dir:
- Was ist gegeben und
- was ist gesucht.
- Gegeben ist das Fassungsvermögen der Dose, also das Volumen und die Höhe,
- gesucht ist der Radius der Dose.
In der Volumenformel wird der Radius quadriert. Du musst also an einer Stelle die Wurzel ziehen.
LösungEs muss die Gleichung $330=\pi\cdot r^2\cdot 17$ nach $r$ umgeformt werden:
$\begin{align*} 330&=\pi\cdot r^2\cdot 17&|&:(17\cdot \pi) \\ r^2& =\frac{330}{17\cdot \pi} &|&\sqrt{}\\ r&=\sqrt{\frac{330}{17\cdot \pi}}\\ &\approx 2,5. \end{align*}$
Die Getränkedose hat also einen Radius von ungefähr $2,5~cm$.
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