Die n-te Wurzel – Beispiele

Die n-te Wurzel – Beispiele Übung

• Gib die Wurzeln als Potenz mit positivem Exponenten an und bestimme die Lösung.

  Tipps

  Die $n$-te Wurzel kehrt das Potenzieren mit $n$ um.

  Wenn du wissen möchtest, welchen Wert die $n$-te Wurzel von $a$ hat, musst du überlegen, welche Zahl hoch $n$ $a$ ergibt.

  Lösung

  • Da $2^3=8$ ist, kann man umgekehrt folgern, dass $\sqrt[3]8=8^{\frac13}=2$ ist.
  • Da $5^4=625$ ist, kann man umgekehrt folgern, dass $\sqrt[4]{625}=625^{\frac14}=5$ ist.
  • Da $3^5=243$ ist, kann man umgekehrt folgern, dass $\sqrt[5]{243}=243^{\frac15}=3$ ist.

  Diese Art eine Wurzel zu bestimmen funktioniert nur, wenn der Wurzelwert eine ganze Zahl ist.

• Berechne die Wurzel.

  Tipps

  Es gilt $6^3=216$.

  Mit der Rechenregel für Potenzen $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ gilt

  $(6\cdot 0,1)^3=6^3\cdot 0,1^3=216\cdot 0,001=0,216$.

  Potenzen mit negativen Exponenten können wie folgt umgeschrieben werden:

  $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

  Lösung

  Zunächst kann die Schreibweise für den Kehrwert von Wurzeln angewendet werden $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$:

  $\frac1{\sqrt[3]{0,216}}=0,216^{-\frac13}$.

  Unter Verwendung einer Regel für das Rechnen mit Potenzen kann weiter umgeformt werden zu

  $0,216^{-\frac13}=\frac1{0,216^{\frac13}}$.

  Mit der Rechenregel für Potenzen $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ gilt

  $(6\cdot 0,1)^3=6^3\cdot 0,1^3=216\cdot 0,001=0,216$. Also ist $0,6^3=0,216$. Damit ist

  $\frac1{\sqrt[3]{0,216}}=\frac1{0,6}$.

• Bestimme zu jeder Potenzschreibweise die Wurzel und berechne die Lösung.

  Tipps

  Es gilt:

  • $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
  • $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$.

  Um die $n$-te Wurzel von $a$ zu berechnen, deren Wert ganzzahlig ist, überlegst du dir, welche Zahl mit $n$ potenziert $a$ ergibt.

  Da $2^4=16$ ist, gilt $\sqrt[4]{16}=2$.

  Bei der Quadratwurzel wird der Wurzelexponent nicht aufgeschrieben:

  $\sqrt[2]{a}=\sqrt{a}$.

  Lösung

  Wenn die Potenzen bekannt sind, kann umgekehrt die entsprechende Wurzel angegeben werden:

  • $4^4=256$, somit ist $4^{\frac14}=\sqrt[4]{256}=4$.
  • $16^2=256$, somit ist $256^{\frac12}=\sqrt{256}=16$.
  • $3^6=729$, somit ist $729^{\frac16}=\sqrt[6]{729}=3$.
  • $9^3=729$, somit ist $729^{\frac13}=\sqrt[3]{729}=9$.
  • $8^3=512$, somit ist $512^{\frac13}=\sqrt[3]{512}=8$.

• Leite den Wert der Potenz $\left(\frac8{27}\right)^{-\frac13}$ her.

  Tipps

  Es gilt

  $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

  Wird ein Bruch mit einer negativen Zahl potenziert, so kann man auch den Kehrwert des Bruches mit der positiven Zahl potenzieren:

  $\left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n$.

  Es gilt die Regel für das Rechnen mit Potenzen:

  $\left( \frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

  Lösung

  Zur Berechnung von $\left(\frac8{27}\right)^{-\frac13}$ kann zunächst der Kehrwert des Bruches mit dem positiven Exponenten potenziert werden:

  $\left(\frac8{27}\right)^{-\frac13}=\left(\frac{27}8\right)^{\frac13}$.

  Unter Verwendung von $\left( \frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ erhält man

  $\left(\frac{27}8\right)^{\frac13}=\frac{27^\frac13}{8^\frac13}$.

  Da Brüche im Exponenten als Wurzeln geschrieben werden können, lässt sich dieser Term umformen zu

  $\frac{27^\frac13}{8^\frac13}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]8}$.

  Es gilt

  • $3^3=27$ und
  • $2^3=8$

  und somit

  $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]8}=\frac32=1,5$.

• Erkläre, wie man die $n$-te Wurzel als Potenz schreiben kann.

  Tipps

  Es gilt $\frac1{a^n}=a^{-n}$.

  Es gilt $\left(a^{\frac1n}\right)^n=a$.

  Lösung

  Wurzeln können auch als Potenzen geschrieben werden:

  • $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ und
  • $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$.

  Zum Nachweis der Identität $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ beginnt man mit $a=a^1=a^{\frac nn}$.

  Nun können Regeln für das Rechnen mit Potenzen angewendet werden:

  $\begin{align*} a^{\frac nn}&=a^{\frac1n \cdot n}\\ &=\left( a^{\frac1n}\right)^n. \end{align*}$

  Da die $n$-te Wurzel die Umkehrung des Potenzierens mit $n$ ist, gilt

  $\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$.

  Da die Werte der beiden Potenzen übereinstimmen, müssen auch die Basen übereinstimmen. Es gilt also

  $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$.

  Da $\frac1{a^n}=a^{-\frac1n}$ ist, kann auch

  $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$

  abgeleitet werden.

• Ermittle den Wert von $4,096^{\frac13}$.

  Tipps

  Das Erebnis ist eine Dezimalzahl mit einer Nachkommastelle.

  $4096$ ist eine Zweierpotenz: Es gilt $2^{12}=4096$.

  Es gilt die Regel für das Rechnen mit Potenzen $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.

  $2^4=16$.

  Lösung

  Da $2^4=16$ ist und

  $4096=2^{12}=\left(2^4\right)^3=16^3$

  ist, folgt:

  $1,6^3=(16\cdot0,1)^3=16^3\cdot 0,1^3=4096\cdot0,001=4,096$.

  Somit ist $4,096^{\frac13}=\sqrt[3]{4,096}=1,6$.