Bestimmtes Integral – Obersumme berechnen

Bestimmtes Integral – benötigtes Vorwissen

Für dieses Thema solltest du wissen, was ein Integral ist. Zur Erinnerung:

Weiterhin sollte das Prinzip der Annäherung an das Integral über die Ober- und Untersumme, auch bekannt als Streifenmethode des Archimedes, bekannt sein.

Das Summenzeichen beschreibt eine Summe bestimmter Werte, definiert von den Indizes des Summenzeichens.

Das Prinzip der Flächenberechnung mit der Obersumme soll im Folgenden anhand eines Beispiels verdeutlicht werden.

Berechnung eines Flächeninhalts anhand von Ober- und Untersumme

Wir schauen uns die lineare Funktion $f(x) = \frac{1}{2}x + 3$ an. Wir wollen den Flächeninhalt, der in den Grenzen $a = 2$ und $b = 8$ vom Funktionsgraphen und der $x$-Achse eingeschlossen wird, berechnen.

In diesem einfachen Fall lässt sich der Flächeninhalt mit einer Unterteilung in ein rechtwinkliges Dreieck mit der Breite $b~–~a = 8~–~2 = 6$ und der Höhe $f(b)~–~f(a) = f(8)~–~f(2) = 7~–~4 = 3$ sowie ein Rechteck mit den Seitenlängen $6$ und $4$ berechnen.

Damit gilt für den Flächeninhalt:

$A_{Dreieck} + A_{Rechteck} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 + 6 \cdot 4 = 9 + 24 = 33\, [\text{Flächeneinheiten}]$

Wir wollen uns nun die Berechnung des Flächeninhalts mittels Ober- und Untersumme anschauen, um das dahinterliegende Prinzip zu verdeutlichen, das auch auf Funktionsgraphen, die nicht so geradlinig verlaufen, angewendet werden kann.

Berechnung mittels der Obersumme

Bei der Berechnung des Flächeninhalts zwischen Funktionsgraphen und $x$-Achse mittels der Obersumme wird die zu berechnende Fläche in Streifen, also in Rechtecke, aufgeteilt. Die jeweils rechte obere Ecke dieser Rechtecke wird durch den Schnittpunkt mit dem Funktionsgraphen festgelegt. Im Folgenden wurde das Intervall in drei Rechtecke aufgeteilt.

Das Intervall ist $6$ Einheiten breit, also ist bei einer Unterteilung in drei Streifen jeder Streifen genau $2$ Einheiten breit. Die Höhen der Rechtecke können mittels der Funktion bestimmt werden, indem die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte $G$, $J$ und $M$ in die Funktionsgleichung eingesetzt werden. Die Höhe des ersten Rechtecks ist beispielsweise $f(a+2) = f(4) = \frac{1}{2} \cdot 4 + 3 = 5$.

So kann nun händisch der Flächeninhalt der Obersumme mit drei Streifen berechnet werden. Die drei Streifen zusammen ergeben einen Flächeninhalt von $36$ FE (Flächeneinheiten). Dir fällt vielleicht auf, dass dies nicht dem Ergebnis entspricht, das wir weiter oben berechnet haben. Das liegt an dem Teil der Rechtecke, die über den Funktionsgraphen hinausragen. Dies sind hier drei Dreiecke mit einer Höhe von $1$ und einer Breite von $2$, was insgesamt einem Flächeninhalt von $3$ Flächeneinheiten entspricht, genau dem Unterschied zwischen dem berechneten Flächeninhalt und dem der Obersumme. Um dem genauen Flächeninhalt näher zu kommen, müssen wir eine Obersumme mit mehr Streifen berechnen.

Hier wurde das Intervall in insgesamt fünfzehn Streifen eingeteilt. Der Flächeninhalt setzt sich erneut aus den Flächeninhalten der einzelnen Streifen zusammen, also:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{b~–~a}{n} \cdot f(x_{i}) = \sum_{i=1}^{15} \dfrac{6}{15} \cdot f(x_{i}) = \dfrac{6}{15} \cdot \sum_{i=1}^{15} f(x_{i})$

Dabei beschreibt $\frac{6}{15}$ die Breite jedes Streifens und $f(x_{i})$ ist der Funktionswert, der die Höhe des jeweiligen Streifens darstellt. Für unsere Funktion sieht die Summe dann wie folgt aus:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{15} \dfrac{6}{15} \cdot f(x_{i}) = \dfrac{6}{15} \cdot (4{,}2 + 4{,}4 + 4{,}6 + 4{,}8 + 5 + 5{,}2 + 5{,}4 + 5{,}6 + 5{,}8 + 6 + 6{,}2 + 6{,}4 + 6{,}6 + 6{,}8 + 7) = \dfrac{6}{15} \cdot 84 = 33{,}6\,[\text{FE}]$

Das ist auf jeden Fall dem Flächeninhalt von $33$ FE, den wir im Vorfeld berechnet haben, schon weitaus näher. Doch wie kommen wir nun genau auf den Flächeninhalt von $33$ FE? Dazu müssen wir immer mehr Streifen nehmen, um uns möglichst genau an den Flächeninhalt unter dem Graphen anzunähern. Die Anzahl der Streifen müsste also unendlich groß werden. Bei den Ausdrücken Annäherung und unendlich groß solltest du zuerst an eins denken: an den Grenzwert. Wir nehmen also die oben angegebene Obersummenformel und lassen die Anzahl der Streifen $n$ gegen unendlich laufen.

$\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} \dfrac{b~–~a}{n} \cdot f(x_{i})$

Allerdings stellt hier das $f(x_{i})$ noch ein Problem dar, da es von der Summe, nicht aber vom Grenzwert abhängt. Aufgrund der Eigenschaft von $x_{i}$, den jeweiligen Streifen nach rechts hin zu begrenzen, und dem Beginn des Intervalls bei $x = 2$ kann man schreiben:

$x_{i} = a + i \cdot \dfrac{b~–~a}{n} = 2 + i \cdot \dfrac{6}{n}$

Eingesetzt in unsere Grenzwertgleichung ergibt das:

$\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} \dfrac{6}{n} \cdot f\left(2 + i \cdot \dfrac{6}{n}\right)$

Diesen Term können wir in unsere Funktionsgleichung $f(x) = \frac{1}{2} \cdot x + 3$ einsetzen:

$\begin{array}{rrrrl} \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} \dfrac{6}{n} \cdot f(2 + i \cdot \dfrac{6}{n}) & = & \lim\limits_{n \to \infty} & \displaystyle \sum_{i=1}^{n} & \dfrac{6}{n} \cdot (\dfrac{1}{2} \cdot (2 + i \cdot \dfrac{6}{n}) + 3) \\ & = & \lim\limits_{n \to \infty} & \displaystyle \sum_{i=1}^{n} & \dfrac{6}{n} \cdot (1 + i \cdot \dfrac{6}{2n} + 3) \\ & = & \lim\limits_{n \to \infty} & \displaystyle \sum_{i=1}^{n} & \dfrac{6}{n} \cdot (4 + \dfrac{3}{n} \cdot i) \\ & = & \lim\limits_{n \to \infty} & \displaystyle \sum_{i=1}^{n} & \dfrac{24}{n} + \dfrac{18}{n^2} \cdot i \\ \end{array}$

Nach der Rechenregel für Summenzeichen, nach der man Summen innerhalb von Summenzeichen aufteilen kann, gilt dann:

$\lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{24}{n} + \dfrac{18}{n^2} \cdot i = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} \dfrac{24}{n} + \sum_{i=1}^{n} \dfrac{18}{n^2} \cdot i\right)$

Nun kommen noch die folgenden Summenregeln zum Einsatz:

Mit diesen können wir die beiden Summenzeichen in unserer Gleichung vereinfachen.

$\lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} \dfrac{24}{n} + \sum_{i=1}^{n} \dfrac{18}{n^{2}} \cdot i\right)$

$= \lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac{24}{n} \cdot n+ \dfrac{18}{n^{2}} \cdot \displaystyle \sum_{i=1}^{n} i\right)$

$= \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle \left(24 + \dfrac{18}{n^{2}} \cdot \sum_{i=1}^{n} i\right)$

Die Summe am Ende kann man noch mit der gaußschen Summenformel umschreiben.

$\begin{array}{rrrrl} \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} (24 + \dfrac{18}{n^2} \cdot \sum_{i=1}^{n} i) & = & \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} & (24 & + \dfrac{18}{n^2} \cdot \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2}) \\ & = & \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} & (24 & + \dfrac{18 \cdot n \cdot (n + 1)}{2n^2}) \\ \end{array}$

Im Bruch können nun die $18$ mit der $2$ und die $n$ miteinander gekürzt werden.

$\begin{array}{rrrrl} \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}(24 + \dfrac{18 \cdot n \cdot (n + 1)}{2n^2}) & = & \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} & (24 & + \dfrac{9 \cdot (n + 1)}{n}) \\ \\ & = & \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} & (24 & + \dfrac{9n + 9}{n}) \\ \\ & = & \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} & (24 & + \dfrac{9n}{n} + \dfrac{9}{n}) \\ \\ & = & \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} & (24 & + 9 + \dfrac{9}{n}) \\ \\ & = & \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} & (33 & + \dfrac{9}{n}) \\ \\ & = & 33 & & \\ \end{array}$

Und damit erhalten wir den gleichen Flächeninhalt, den wir zu Anfang berechnet haben, den genauen Flächeninhalt.

Berechnung mittels Untersumme

Genauso wie bei der Obersumme funktioniert es auch mit der Untersumme. Hier befinden sich die Rechtecke lediglich unter dem Funktionsgraphen und nicht darüber.

Der Unterschied ist hier, dass sich der Flächeninhalt der Untersumme von unten an den genauen Flächeninhalt annähert. Deswegen ist der Flächeninhalt der drei Streifen nicht um $3$ größer als der genaue Flächeninhalt, sondern um $3$ kleiner, er ist hier nämlich $30$ Flächeneinheiten groß. Dieser Unterschied in der Grenzwertberechnung zeigt sich darin, dass die $x_i$ anders definiert sind. Bei der Obersumme gilt:

$x_i = a + i \cdot \dfrac{b~–~a}{n}$

Bei der Untersumme gilt dagegen:

$x_i = a + (i~–~1) \cdot \dfrac{b~–~a}{n}$

Also ändert sich die Grenzwertgleichung wie folgt:

$\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} \dfrac{b~–~a}{n} \cdot f(x_{i}) = \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} \dfrac{6}{n} \cdot f(2 + (i~–~1) \cdot \dfrac{6}{n})$

Nach Berechnung des Grenzwerts kommt dann aber ebenfalls ein Flächeninhalt von $33$ Flächeneinheiten heraus.

Bestimmtes Integral – Zusammenfassung

Häufig gestellte Fragen zum Thema Bestimmtes Integral