Baumdiagramme und Summenregel – Erklärung

Baumdiagramme und Summenregel – Erklärung Übung

• Benenne die Summenregel bei Baumdiagrammen.

  Tipps

  Ein Ereignis kann kein, ein oder mehrere Ergebnisse enthalten.

  Ein Ereignis ist eine Menge.

  • Sie besteht aus Ergebnissen und
  • sie ist eine Teilmenge des Ergebnisraumes.

  Die Pfadregel besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des mehrstufigen Zufallsexperiments wird berechnet, indem man die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang der zugehörigen Pfade multipliziert.

  Lösung

  Mit der Summenregel lassen sich die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnen.

  Hierfür werden die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse benötigt, welche in dem Ereignis liegen. Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit der Pfadregel berechnen.

  Die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse werden nun addiert.

• Berechne die Wahrscheinlichkeit einen Gewinn zu ziehen.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeiten, welche du für die Berechnung benötigst, sind in dem Baum bereits eingetragen.

  Verwende die Pfadregel:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses berechnet sich als Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

  Lösung

  Nach der Summenregel wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wie folgt berechnet:

  • Man berechnet die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, welche zu dem Ereignis gehören, mit der Pfadregel und addiert diese.

  Hier gilt:

  • $E=\{(G,N,N),(N,G,N),(N,N,G)\}$.
  • $P(G,N,N)=\frac28\cdot \frac67 \cdot \frac56=\frac5{28}\approx18~\%$,
  • $P(N,G,N)=\frac68\cdot \frac27 \cdot \frac56=\frac5{28}\approx18~\%$ und
  • $P(N,N,G)=\frac68\cdot \frac57 \cdot \frac26=\frac5{28}\approx18~\%$.

  Diese Wahrscheinlichkeiten werden addiert zu

  $P(E)=\frac5{28}+\frac5{28}+\frac5{28}=\frac{15}{28}\approx 54~\%$.

• Ermittle die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „mindestens einmal Rot“.

  Tipps

  Alle Wahrscheinlichkeiten, welche du benötigst, sind bereits eingetragen.

  Verwende die Pfadregel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse. Multipliziere hierzu die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

  Es wäre auch möglich, die Wahrscheinlichkeit für „zweimal Grün“ auszurechnen und diese von $1$ zu subtrahieren, da „zweimal Grün“ das Gegenereignis zu „mindestens einmal Rot“ ist.

  Lösung

  Die komplette Rechnung ist dem Baumdiagramm zu entnehmen:

  • die Wahrscheinlichkeiten von jedem einzelnen möglichen Ergebnis werden mit Hilfe der Pfadregel berechnet. Dabei werden die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert.
  • Die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, welche in dem Ereignis liegen, hier $(g,r)$, $(r,g)$ und $(r,r)$ werden addiert, um zu der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu gelangen.

• Leite die Wahrscheinlichkeit dafür her, dass beim dreimaligen Werfen mit einem Tetraeder maximal die Augensumme $4$ erzielt wird.

  Tipps

  Erstelle ein Baumdiagramm, zeichne dabei nur solche Pfade, die zu einer Augensumme führen, die kleiner oder gleich $4$ ist.

  Es existieren $4$ solcher Pfade.

  Wenn du im ersten Wurf eine $3$ hast, wird die Augensumme mindestens $5$.

  Verwende die Pfadregel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse.

  Lösung

  Zunächst einmal kann man sich anschauen, welche Ergebnisse die Voraussetzung erfüllen, dass die Augensumme maximal $4$ beträgt:

  • sehr viele Pfade müssen daher gar nicht gezeichnet werden. Dies ist in dem nebenstehenden reduzierten Baumdiagramm zu erkennen.
  • Die einzigen Ergebnisse, welche zu einer Augensumme führen, die kleiner oder gleich $4$ ist, sind $(1,1,1)$, $(1,1,2)$, $(1,2,1)$ oder $(2,1,1)$.
  • Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten können mit Hilfe der Pfadregel berechnet werden. Da die Wahrscheinlichkeiten, welche in dem Baumdiagramm zu erkennen sind, auf den Pfaden immer gleich sind, genügt es, eine zu berechnen und diese mit $4$, der Anzahl der Pfade, zu multiplizieren:
  • $P(1,1,1)=0,25^3=0,015625$.

  Also ist die Wahrscheinlichkeit maximal die Augensumme $4$ zu erzielen:

  $P($maximal Augensumme $4)=4\cdot 0,25^3=4\cdot 0,015625=0,0625=6,25~\%$.

• Beschreibe, was ein Baumdiagramm ist.

  Tipps

  Eine Münze wird dreimal geworfen. Wie nennt man ein solches Zufallsexperiment?

  Dieser Tetraeder wird zweimal geworfen. Die Zahl, die unten liegt ist die beobachtete Augenzahl.

  Welche möglichen Paare aus jeweils zwei Augenzahlen können eintreten?

  Ein Ergebnis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsexperimentes.

  Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Ergebnisraumes.

  Lösung

  Ein Baumdiagramm dient dazu, mehrstufige Zufallsexperimente darzustellen. Zum Beispiel kann man mit einem Baumdiagramm die einzelnen Ergebnis anschaulich darstellen.

  Man kann dabei zwischen Zufallsexperimenten mit und ohne Zurücklegen unterscheiden.

  Jeder Pfad des Baumdiagramms führt zu einem Ergebnis des Zufallsexperimentes.

  Die Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Zufallsexperimentes werden an die Pfade des Baumdiagramms geschrieben.

• Gib die Wahrscheinlichkeit an, beim $10$-maligem Münzwurf mindestens einmal „Kopf“ zu werfen.

  Tipps

  Mindestens einmal bedeutet: einmal oder zweimal oder dreimal ... oder zehnmal.

  Es ist einfacher, das Gegenereignis zu betrachten.

  Wie lautet dieses?

  Es gilt $P(E)+P(\bar E)=1$,

  wobei $\bar E$ das Gegenereignis zu $E$ ist.

  Lösung

  Man könnte in diesem Beispiel natürlich die Wahrscheinlichkeiten für einmal, zweimal, ... zehnmal „Kopf“ berechnen, jedoch wäre dies zu aufwändig.

  Es gibt insgesamt $2^{10}=1024$ mögliche Ergebnisse, von denen $1023$ das Ereignis erfüllen. Das übrig bleibende Ergebnis ist $(Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z)$

  Also ist „zehnmal Zahl“ oder „nie Kopf“ das Gegenereignis zu „mindestens einmal Kopf“.

  Nach der Pfadregel gilt $P(Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z)=0,5^{10}=0,0009765625$.

  Damit ist

  $P($mindestens einmal Kopf$)=1-0,0009765625\approx 99,9~\%$.