Baumdiagramme und Pfadregel

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Zufallsexperimente
• Baumdiagramm
• Die Pfadregel
• Die Summenregel
• Beispiel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
• Vereinfachen von Baumdiagrammen
• Beispiel Würfelwurf

Zufallsexperimente

Ein Experiment wird als Zufallsexperiment bezeichnet, wenn

• mindestens zwei Ergebnisse möglich sind,
• es beliebig oft durchgeführt werden kann und
• das Ergebnis nicht vorhersehbar ist.

Ein Ergebnis ist ein Ausgang eines Zufallsexperimentes.

Stelle dir das folgende Experiment vor: In einer Urne befinden sich vier Kugeln, zwei rote und zwei blaue.

Du ziehst eine Kugel aus dieser Urne (ohne zu wissen welche). Die möglichen Ergebnisse dieses Zufallsexperimentes sind: „Es wird eine rote Kugel gezogen.“, kurz $r$, oder „Es wird eine blaue Kugel gezogen.“, kurz $b$.

Du kannst die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ergebnisse berechnen, indem du die Anzahl der roten (blauen) Kugeln durch die Anzahl aller Kugeln in der Urne dividierst. $P$ steht für die Wahrscheinlichkeit und $P(r)$ für die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel gezogen wird. Also ergibt sich:

$P(r)=\frac{\text{Anzahl der roten Kugeln in der Urne}}{\text{Gesamtanzahl der Kugeln in der Urne}}=\frac24=\frac12$ .

Für die Wahrscheinlichkeit beim einmaligen Ziehen aus der Urne eine blaue Kugel zu ziehen, ergibt sich also:

$P(b)=\frac{\text{Anzahl der blauen Kugeln in der Urne}}{\text{Gesamtanzahl der Kugeln in der Urne}}=\frac24=\frac12$.

Dies ist ein einstufiges Zufallsexperiment.

Du könntest auch mehrmals eine Kugel aus der Urne ziehen. Ein solches Zufallsexperiment wird als mehrstufiges Zufallsexperiment bezeichnet.

Baumdiagramm

Baumdiagramme dienen dazu, mehrstufige Zufallsexperimente graphisch darzustellen.

Hier siehst du das Baumdiagramm zu dem obigen Beispiel der Urne mit zwei roten und zwei blauen Kugeln. Dieses Mal ziehst du eine Kugel, legst sie wieder zurück in die Urne, und ziehst noch einmal. Dies ist ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen.

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• In dem Baumdiagramm führt in der ersten Stufe jeweils ein Ast zu rot und einer zu blau.
• An den Ästen stehen die Wahrscheinlichkeiten dafür, eine rote oder blaue Kugel zu ziehen.
• In der zweiten Stufe führt von jedem Ergebnis der ersten Stufe wieder jeweils ein Ast zu rot und einer zu blau.
• Auch an diesen Ästen stehen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Da die gezogene Kugel wieder zurück in die Urne gelegt wird, bleiben die Wahrscheinlichkeiten gleich. Der gesamte Weg, zum Beispiel über rot zu rot, wird als Pfad bezeichnet.

Am Ende eines Pfades steht ein Ergebnis des zweistufigen Zufallsexperimentes „zweimaliges Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen“. Diese Ergebnisse sind $(r,r)$, $(r,b)$, $(b,r)$ und $(b,b)$.

Du kannst also mit Hilfe eines Baumdiagramms alle möglichen Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperimentes darstellen.

Die Pfadregel

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse nutzt du die Pfadregel. Diese wird auch als Produktregel oder Pfadmultiplikationsregel oder 1. Pfadregel bezeichnet.

Diese Regel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses sich ergibt, indem du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt, multiplizierst.

Dies siehst du ausführlich bei

$P(r,r)=\frac12\cdot \frac12=\frac14$.

Ebenso können die Wahrscheinlichkeiten der übrigen Ergebnisse berechnet werden.

Du kannst ein Baumdiagramm auch bei Modellen ohne Zurücklegen verwenden.

Hier siehst du ein weiteres Baumdiagramm. Dieses Mal wird die Kugel nicht zurückgelegt. Du kannst erkennen, dass die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe andere sind als bei dem obigen Baum. Dies ist ein zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen.

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Das Baumdiagramm erstellst du ebenso wie bei dem Modell mit Zurücklegen. Ebenso wendest du auch hier die Pfadregel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse an.

Möchtest du also beispielsweise die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass beim ersten Zug eine blaue und beim zweiten Zug eine rote Kugel gezogen wird, also $P(b,r)$, gehst du wie folgt vor:

Beim ersten Zug sind 4 Kugeln in der Urne, zwei davon sind blau, also beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, beim ersten Zug eine blaue zu ziehen:

$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

Da nun eine blaue Kugel in der Urne fehlt, sind insgesamt nur noch 3 Kugeln in der Urne. Zwei davon sind rot. Die Wahrscheinlichkeit nun eine rote Kugel zu ziehen beträgt also:

$\frac{2}{3}$.

Um $P(b,r)$ zu berechnen, wendest du die Pfadregel an und multiplizierst diese Wahrscheinlichkeiten:

$P(b,r)=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

Die Summenregel

Die Summenregel verwendest du zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Die Summenregel wird auch als 2. Pfadregel oder Pfadadditionsregel bezeichnet.

Was unterscheiden Ergebnisse und Ereignisse?

Die Menge aller Ergebnisse eines Zufallsexperimentes werden zu der Ergebnismenge $\Omega$ zusammengefasst. Jede Teilmenge dieser Ergebnismenge wird als Ereignis bezeichnet. Anders ausgedrückt, kannst du dir auch merken, dass ein Ereignis eine Menge bestehend aus Ergebnissen ist.

• Die leere Menge ist auch ein Ereignis: $A=\emptyset$. Dieses Ereignis wird als unmögliches Ereignis bezeichnet. Es ist $P(A)=0$.
• Die Ergebnismenge selbst ist eine Ereignis, das sichere Ereignis: $B=\Omega$. Die Wahrscheinlichkeit ist $P(B)=1$.
• Eine Ereignis kann auch nur ein Ergebnis beinhalten. Dieses Ereignis kennst du als Elementarereignis. Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses, welches in dem Ereignis liegt.

Wie kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, in dem sich mehr als ein Ergebnis befindet, berechnet werden?

Beispiel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Schau dir nochmal das Baumdiagramm zu dem Beispiel „zweimaliges Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen“ an.

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Es soll die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$ „Es wird genau eine rote Kugel gezogen“ berechnet werden.

Welche Ergebnisse befinden sich in dem Ereignis? Einmal das Ergebnis, dass beim ersten Zug die rote Kugel gezogen wird, also (r,b), und auch das Ergebnis, dass beim zweiten Zug die rote Kugel gezogen wird, also (b,r). Das Ergebnis (r,r) liegt nicht im Ereignis, da nur genau eine rote Kugel gezogen werden soll.

Die Summenregel besagt, dass du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen kannst, indem du die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, die sich in dem Ereignis befinden, addierst.

Damit ist

$P(E)=P(r,b)+P(b,r)=\frac13+\frac13=\frac23$.

Vereinfachen von Baumdiagrammen

Ein Baumdiagramm hat auch Grenzen:

• Wenn in jeder Stufe sehr viele Ergebnisse möglich sind, wird das Baumdiagramm sehr schnell sehr umfangreich. Zum Beispiel kann bei einem Würfelwurf jede Augenzahl von $1$ bis $6$, also sechs verschiedene Ergebnisse, eintreten. Wirfst du den Würfel dreimal, gelangst du zu $6^3=216$ möglichen Ergebnissen.
• Wenn du ein Zufallsexperiment sehr oft durchführst, wird das Baumdiagramm ebenfalls sehr umfangreich. Schaue dir das Beispiel eines Münzwurfs mit zwei möglichen Ergebnissen an. Wenn du die Münze sechsmal wirfst, führt dies zu $2^6=64$ möglichen Ergebnissen.

Du kannst allerdings auch bei solchen Beispielen ein Baumdiagramm verwenden. Du kannst das Baumdiagramm vereinfachen.

Beispiel Würfelwurf

Paul wirft einen Würfel zweimal. Für ihn ist nur interessant, ob er eine $6$ wirft oder nicht.

Nun kannst du die Augenzahlen von $1$ bis $5$ zusammenfassen zu „nicht $6$“. Dies wird mit einem Strich über der $6$ geschrieben: $\bar 6$.

Hier siehst du das entsprechende Baumdiagramm.

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Paul möchte die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$ „mindestens eine $6$“ berechnen.

$E=\{(6,6); (6,\bar 6); (\bar 6,6)\}$

Damit ist

$P(E)=P(6,6) + P(6,\bar 6) + P(\bar 6,6) = \frac1{36}+\frac{5}{36}+\frac{5}{36}=\frac{11}{36}$ .

Übrigens hier hättest du auch das Gegenereignis von $E$ betrachten können $\bar E$ „keine $6$“ mit $P(\bar E)=P(\bar 6,\bar 6)=\frac{25}{36}$. Da die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und dessen Gegenereignisses sich immer zu $1$ addieren gilt

$P(E)=1-P(\bar E)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$ .