Baumdiagramm in Vierfeldertafel übersetzen

Baumdiagramm in Vierfeldertafel übersetzen Übung

• Beschreibe das Vorgehen beim Übertragen eines Baumdiagramms in eine Vierfeldertafel.

  Tipps

  Um die Informationen aus einem Baumdiagramm in eine Vierfeldertafel zu übertragen, müssen wir zunächst die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade des Baumdiagramms berechnen. Diese nennen wir auch „Und-Verknüpfungen“.

  Hier siehst du ein Beispiel für ein Baumdiagramm mit zugehöriger Vierfeldertafel.

  Es gibt zwei korrekte Antworten.

  Lösung

  Um die Informationen aus einem Baumdiagramm in eine Vierfeldertafel zu übertragen, müssen wir zunächst die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade des Baumdiagramms berechnen. Dazu verwenden wir die Pfadmultiplikationsregel: Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeiten entlang des entsprechenden Pfades und erhalten so die Wahrscheinlichkeiten der Und-Verknüpfungen.

  Wir tragen dann diese berechneten Wahrscheinlichkeiten in die Tabelle ein. Die entsprechenden vier Felder befinden sich in der Mitte der Vierfeldertafel. Die entsprechende Und-Verknüpfung können wir an der jeweiligen Zeile und Spalte ablesen.

  Zuletzt können wir noch die Felder in der letzten Zeile und in der letzten Spalte ausfüllen, indem wir die Wahrscheinlichkeiten in der entsprechende Zeile beziehungsweise Spalte addieren.

  Wir können die so erhaltene Vierfeldertafel überprüfen, indem wir nachrechnen, ob die rechte Spalte und die unterste Zeile in der Summe jeweils die Gesamtwahrscheinlichkeit $1$ ergeben.

  Folgende Aussagen sind somit richtig:

  • Wir tragen die Wahrscheinlichkeiten der Und-Verknüpfungen in die Vierfeldertafel ein.
  • Wir addieren die Wahrscheinlichkeiten einer Zeile und tragen diese in die letzte Spalte ein.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Wir wenden die Pfadadditionsregel an, um die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade zu berechnen.

  Es handelt sich hierbei korrekterweise um die Pfadmultiplikationsregel.

  • Wir subtrahieren die Wahrscheinlichkeiten einer Spalte und tragen diese in die letzte Zeile ein.

  Auch hier muss addiert werden wie bei den Zeilen.

• Bestimme die fehlenden Werte in der Vierfeldertafel.

  Tipps

  Du kannst deine vervollständigte Vierfeldertafel überprüfen, indem du nachrechnest, ob die rechte Spalte und die unterste Zeile in der Summe jeweils die Gesamtwahrscheinlichkeit $1$ ergeben.

  Lösung

  Um die Vierfeldertafel zu vervollständigen, betrachten wir zunächst das gegebene Baumdiagramm: Es unterscheidet zwischen den Ereignissen $A$ beziehungsweise $\bar{A}$ (nicht-$A$) und $B$ beziehungsweise $\bar{B}$ (nicht-$B$).
  In den vier inneren Feldern der Vierfeldertafel wiederum stehen die Und-Verknüpfungen beziehungsweise Schnittmengen. In der letzten Zeile beziehungsweise letzten Spalte steht jeweils die Gesamtzahl der Häufigkeiten beziehungsweise dort stehen die Gesamtwahrscheinlichkeiten der entsprechenden Ereignisse.

  Zuerst beginnen wir mit den vier inneren Feldern der Vierfeldertafel und bestimmen hierfür die Wahrscheinlichkeiten der Und-Verknüpfungen mithilfe der Pfadmultiplikationsregel: Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeiten entlang des entsprechenden Pfades und erhalten so die Wahrscheinlichkeiten der Und-Verknüpfungen:

  • $P(A \cap B) = 0{,}97 \cdot 0{,}98 = 0{,}9506$
  • $P(A \cap \overline{B}) = 0{,}97 \cdot 0{,}02 = 0{,}0194$
  • $P(\overline{A} \cap B) = 0{,}03 \cdot 0{,}01 = 0{,}0003$
  • $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}03 \cdot 0{,}99 = 0{,}0297$

  Nun tragen wir diese berechneten Wahrscheinlichkeiten in die Tabelle ein. Die entsprechenden vier Felder befinden sich in der Mitte der Vierfeldertafel. Die entsprechende Und-Verknüpfung können wir an der jeweiligen Zeile und Spalte ablesen:

  $\begin{array}{l|c|c|c} & \quad A \quad&\quad \overline{A} \quad& \text{gesamt} \\ \hline \\ B & 0{,}9506 & 0{,}0003 & \\ \hline \\ \overline{B} & 0{,}0194 & 0{,}0297 & \\ \hline \\ \text{gesamt} & & & 1 \\ \end{array}$

  Zuletzt können wir noch die Felder in der letzten Zeile und in der letzten Spalte ausfüllen, indem wir die Wahrscheinlichkeiten in der entsprechende Zeile beziehungsweise Spalte addieren:

  $\begin{array}{l|c|c|c} & \quad A \quad& \quad \overline{A} \quad& \text{gesamt} \\ \hline \\ B & 0{,}9506 & 0{,}0003 & 0{,}9509\\ \hline \\ \overline{B} & 0{,}0194 & 0{,}0297 & 0{,}0491\\ \hline \\ \text{gesamt} &0{,}9700 &0{,}0300 & 1 \\ \end{array}$

• Vervollständige die Vierfeldertafel anhand des gegebenen Baumdiagramms.

  Tipps

  Wende zuerst die Pfadmultiplikationsregel an: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang des entsprechenden Pfades. So erhältst du die Wahrscheinlichkeiten der Und-Verknüpfungen.

  Trage dann diese berechneten Wahrscheinlichkeiten in die Tabelle ein. Die entsprechenden vier Felder befinden sich in der Mitte der Vierfeldertafel.
  Achte dabei darauf, die Werte in der richtigen Zeile und Spalte zu platzieren.

  Lösung

  Wir vervollständigen die Vierfeldertafel in drei Schritten:

  Anwendung der Pfadmultiplikationsregel:

  Um die Informationen aus einem Baumdiagramm in eine Vierfeldertafel zu übertragen, müssen wir zunächst die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade des Baumdiagramms berechnen. Dazu verwenden wir die Pfadmultiplikationsregel: Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeiten entlang des entsprechenden Pfades und erhalten so die Wahrscheinlichkeiten der Und-Verknüpfungen:

  • $P(C \cap L)= 0{,}65 \cdot 0{,}55 =0{,}3575$
  • $P(C \cap \overline{L})=0{,}65 \cdot 0{,}45 = 0{,}2925$
  • $P(\overline{C} \cap L)=0{,}35 \cdot 0{,}7 = 0{,}245$
  • $P(\overline{C} \cap \overline{L})= 0{,}35 \cdot 0{,}3 = 0{,}105$

  Eintragen der berechneten Wahrscheinlichkeiten:

  Dann tragen wir diese berechneten Wahrscheinlichkeiten in die Tabelle ein. Die entsprechenden vier Felder befinden sich in der Mitte der Vierfeldertafel. Die entsprechende Und-Verknüpfung können wir an der jeweiligen Zeile und Spalte ablesen:

  $\begin{array}{l|c|c|c} & \quad L \quad& \quad \overline{L} \quad& \text{gesamt} \\ \hline \\ C & 0{,}3575 & 0{,}2925 & \\ \hline \\ \overline{C} & 0{,}245 & 0{,}105 & \\ \hline \\ \text{gesamt} & & & 1 \\ \end{array}$

  Ausfüllen der letzten Spalte und Zeile:

  Zuletzt können wir noch die Felder in der letzten Zeile und in der letzten Spalte ausfüllen, indem wir die Wahrscheinlichkeiten in der entsprechende Zeile beziehungsweise Spalte addieren:

  $\begin{array}{l|c|c|c} & \quad L \quad& \quad \overline{L} \quad& \text{gesamt} \\ \hline \\ C & 0{,}3575 & 0{,}2925 & 0{,}65 \\ \hline \\ \overline{C} & 0{,}245 & 0{,}105 & 0{,}35 \\ \hline \\ \text{gesamt} & 0{,}6025 & 0{,}3975 & 1 \\ \end{array}$

• Ermittle die fehlenden Werte in der Vierfeldertafel.

  Tipps

  Ermittle zunächst die fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeiten.

  So sieht das vollständige Baumdiagramm aus.

  Berechne nun die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade des Baumdiagramms mithilfe der Pfadmultiplikationsregel.

  Beispiel:

  $P(S \cap M)= 0{,}97 \cdot 0{,}30 =0{,}291$

  Trage die berechneten Wahrscheinlichkeiten in die mittleren vier Felder der Vierfeldertafel ein. Ergänze dann die Felder in der letzten Zeile und in der letzten Spalte, indem du die Wahrscheinlichkeiten in der entsprechende Zeile beziehungsweise Spalte addierst.

  Lösung

  Bevor wir die Vierfeldertafel ausfüllen können, müssen wir die fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm ergänzen. Dazu verwenden wir die Gegenwahrscheinlichkeiten:

  • $P(\overline{S})= 1-0{,}97 = 0{,}03$
  • $P(M|S)= 1-0{,}7 = 0{,}3$
  • $P(\overline{M}|\overline{S})= 1-0{,}56 = 0{,}44$

  Somit ergibt sich das vollständige Baumdiagramm, wie du es in der Abbildung siehst.

  Um die Informationen aus einem Baumdiagramm in eine Vierfeldertafel zu übertragen, müssen wir nun die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade des Baumdiagramms mithilfe der Pfadmultiplikationsregel berechnen:

  • $P(S \cap M)= 0{,}97 \cdot 0{,}30 =0{,}291$
  • $P(S \cap \overline{M})=0{,}97 \cdot 0{,}70 = 0{,}679$
  • $P(\overline{S} \cap M)=0{,}03 \cdot 0{,}56 = 0{,}0168$
  • $P(\overline{S} \cap \overline{M})= 0{,}03 \cdot 0{,}44 = 0{,}0132$

  Dann tragen wir diese berechneten Wahrscheinlichkeiten in die mittleren vier Felder der Vierfeldertafel ein. Die entsprechende Und-Verknüpfung können wir an der jeweiligen Zeile und Spalte ablesen:

  $\begin{array}{l|c|c|c} & \quad S \quad& \quad \overline{S} \quad& \text{gesamt} \\ \hline \\ M & 0{,}2910 & 0{,}0168 & \\ \hline \\ \overline{M} & 0{,}6790 & 0{,}0132 & \\ \hline \\ \text{gesamt} & & & 1 \\ \end{array}$

  Zuletzt können wir noch die Felder in der letzten Zeile und in der letzten Spalte ausfüllen, indem wir die Wahrscheinlichkeiten in der entsprechende Zeile beziehungsweise Spalte addieren:

  $\begin{array}{l|c|c|c} & \quad S \quad& \quad \overline{S} \quad& \text{gesamt} \\ \hline \\ M & 0{,}2910 & 0{,}0168 & 0{,}3078 \\ \hline \\ \overline{M} & 0{,}6790 & 0{,}0132 & 0{,}6922 \\ \hline \\ \text{gesamt} & 0{,}9700 & 0{,}0300 & 1 \\ \end{array}$

• Bestimme die fehlenden Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Pfadmultiplikationsregel.

  Tipps

  Die Pfadmultiplikationsregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades ist.

  Bei diesem Baumdiagramm wurden die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade bereits berechnet. Sie stehen jeweils am Ende des Pfades.

  Lösung

  Um die Informationen aus einem Baumdiagramm in eine Vierfeldertafel zu übertragen, musst du die Pfadmultiplikationsregel kennen.
  Diese besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades ist.
  Wir müssen also die Wahrscheinlichkeiten entlang des entsprechenden Pfades multiplizieren und erhalten so die Wahrscheinlichkeiten der Und-Verknüpfungen.

  Wir wenden die Pfadmultiplikationsregel auf unser Baumdiagramm an und erhalten:

  Oberster Pfad:
  $P(A \cap B) = 0{,}9 \cdot 0{,}8 = 0{,}72$

  Zweiter Pfad:
  $P(A \cap \overline{B}) = 0{,}9 \cdot 0{,}2 = 0{,}18$

  Dritter Pfad:
  $P(\overline{A} \cap B) = 0{,}1 \cdot 0{,}3 = 0{,}03$

  Unterster Pfad:
  $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}1 \cdot 0{,}7 = 0{,}07$

• Formuliere Aussagen anhand der gegebenen Informationen.

  Tipps

  Lege zuerst die Merkmale fest.

  Beispielsweise kannst du zuordnen:

  • $B$: geimpft
  • $\overline{B}$: nicht geimpft
  • $A$: erkrankt
  • $\overline{A}$: nicht erkrankt

  Erstelle nun ein Baumdiagramm und trage die gegebenen Werte ein. Ergänze die fehlenden Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeiten.

  Übertrage das Baumdiagramm in eine Vierfeldertafel.

  Lösung

  Um die Fragen mithilfe der gegebenen Daten zu beantworten, legen wir zunächst Merkmale fest:

  • $B$: geimpft
  • $\overline{B}$: nicht geimpft
  • $A$: erkrankt
  • $\overline{A}$: nicht erkrankt

  Nun können wir ein Baumdiagramm erstellen. Dabei gehen wir davon aus, dass in der ersten Stufe angegeben wird, ob die jeweilige Person geimpft ist oder nicht. Hierbei kennen wir bereits die Wahrscheinlichkeit $P(B)=30\,\% = 0{,}3$. Dementsprechend gilt $P(\overline{B})=70\,\% = 0{,}7$. In der zweiten Stufe müssen wir dann jeweils unterteilen, ob die Person erkrankt oder nicht. Wir können auch hier die gegebenen Wahrscheinlichkeiten eintragen und die Gegenwahrscheinlichkeiten ergänzen. Somit ergibt sich das Baumdiagramm, welches du in der Abbildung siehst.

  Danach berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade des Baumdiagramms mithilfe der Pfadmultiplikationsregel:

  • $P(B \cap A)= 0{,}3 \cdot 0{,}5 =0{,}15$
  • $P(B \cap \overline{A})=0{,}3 \cdot 0{,}5 = 0{,}15$
  • $P(\overline{B} \cap A)=0{,}7\cdot 0{,}8 = 0{,}56$
  • $P(\overline{B} \cap \overline{A})= 0{,}7 \cdot 0{,}2 = 0{,}14$

  Wir erstellen eine Vierfeldertafel mit den oben definierten Merkmalen und tragen die berechneten Wahrscheinlichkeiten in die Tabelle ein:

  $\begin{array}{l|c|c|c} & \quad A \quad&\quad \overline{A} \quad& \text{gesamt} \\ \hline \\ B & 0{,}15 & 0{,}15 & \\ \hline \\ \overline{B} & 0{,}56 & 0{,}14 & \\ \hline \\ \text{gesamt} & & & 1 \\ \end{array}$

  Zuletzt können wir noch die Felder in der letzten Zeile und in der letzten Spalte ausfüllen, indem wir die Wahrscheinlichkeiten in der entsprechende Zeile beziehungsweise Spalte addieren:

  $\begin{array}{l|c|c|c} & \quad A \quad&\quad \overline{A} \quad& \text{gesamt} \\ \hline \\ B & 0{,}15 & 0{,}15 & 0{,}3 \\ \hline \\ \overline{B} & 0{,}56 & 0{,}14 & 0{,}7\\ \hline \\ \text{gesamt} &0{,}71 & 0{,}29& 1 \\ \end{array}$

  Jetzt ordnen wir die gesuchten Wahrscheinlichkeiten den Zellen in der Vierfeldertafel zu:

  Wie viel $\,\%$ der Teilnehmenden wurden geimpft und sind trotzdem erkrankt?
  Gesucht ist $P(B \cap A)$. Somit gilt:
  Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählt teilnehmende Person geimpft und trotzdem erkrankt ist, beträgt $15\,\%$.

  Wie viel $\,\%$ der Teilnehmenden sind nicht erkrankt?
  Gesucht ist $P(\overline{A})$. Somit gilt:
  Eine zufällig ausgewählte Person ist mit einer Wahrscheinlichkeit von $29\,\%$ nicht erkrankt.

  Wie viel $\,\%$ der Teilnehmenden wurden nicht geimpft und sind nicht erkrankt?
  Gesucht ist $P(\overline{B} \cap \overline{A})$. Somit gilt:
  Eine zufällig ausgewählte Person wurde mit einer Wahrscheinlichkeit von $14\,\%$ nicht geimpft und ist nicht erkrankt.