Ähnlichkeitssätze für Dreiecke – Beispiel (1)

Ähnlichkeitssätze für Dreiecke – Beispiel (1) Übung

• Ergänze den Hauptähnlichkeitssatz und den Ähnlichkeitssatz SSS.

  Tipps

  Der Hauptähnlichkeitssatz erklärt die Ähnlichkeit über Winkel, der Ähnlichkeitssatz SSS über Seiten.

  Es gilt der Innenwinkelsummensatz. Dieser besagt, dass die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks $180^\circ$ ergibt.

  Lösung

  Der Hauptähnlichkeitssatz besagt:

  Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

  Es müssen also alle Winkel von einem Dreieck und mindestens zwei Winkel von dem anderen Dreieck bekannt sein:

  • Stimmen zwei Winkel überein, so sind die Dreieck ähnlich zueinander,
  • ansonsten sind die Dreiecke nicht ähnlich zueinander.

  Der Ähnlichkeitssatz SSS besagt:

  Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn alle Längenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen.

  Tipp:

  • Zunächst können die Seitenlängen von jedem der beiden Dreiecke sortiert werden,
  • dann werden die Quotienten einander entsprechender Seitenlängen berechnet.
  • Wenn zwei dieser Quotienten nicht übereinstimmen, sind die Dreiecke nicht ähnlich zueinander.

• Beschreibe, wie die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke gezeigt werden kann.

  Tipps

  Der Innenwinkelsummensatz besagt, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks $180^\circ$ ergibt:

  $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

  Der fehlende Winkel des Dreiecks 1 kann mit dem Innenwinkelsummensatz berechnet werden.

  Um die Ähnlichkeit zu überprüfen, müssen von einem Dreieck, sofern nicht bereits die bekannten Winkel übereinstimmen, alle Winkel bekannt sein.

  Lösung

  Um den Hauptähnlichkeitssatz anwenden zu können, müssen von einem der beiden Dreiecke alle Winkel bekannt sein. Von den beiden Dreiecken sind allerdings nur jeweils zwei Winkel bekannt und diese stimmen nicht überein.

  Deshalb muss von einem der beiden Dreiecke der dritte Winkel berechnet werden. Hierfür wird der Innenwinkelsummensatz verwendet, welcher besagt, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer $180^\circ$ ergibt.

  Dies bedeutet für Dreieck 1, wenn $\alpha$ der fehlende Winkel ist:

  $\begin{align*} \alpha+30^\circ+80^\circ&=180^\circ &|& -30^\circ-80^\circ\\ \alpha&=70^\circ. \end{align*}$

  Nun kann man sehen, dass die beiden Dreiecke in den Winkeln $30^\circ$ sowie $70^\circ$ übereinstimmen.

  Sie sind also ähnlich zueinander.

• Ermittle die Dreiecke, die zu dem vorgegebenen Dreieck ähnlich sind.

  Tipps

  Der Hauptähnlichkeitssatz besagt, dass zwei Dreiecke ähnlich zueinander sind, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

  Es müssen:

  • von einem Dreieck alle Winkel bekannt sein und
  • von dem anderen Dreieck zwei Winkel.

  Stimmt kein oder nur ein Winkel überein, so sind die Dreiecke nicht ähnlich zueinander.

  Lösung

  Der Hauptähnlichkeitssatz besagt, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. Dann stimmen sie übrigens in allen Winkeln überein.

  Wenn jedoch kein Winkel oder nur ein Winkel übereinstimmen, so sind die Dreiecke nicht ähnlich zueinander.

  In diesem Dreieck sind alle Winkel bekannt. Wären nur zwei Winkel bekannt, so könnte der dritte über den Innenwinkelsummensatz berechnet werden: $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$, das heißt, die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt $180^\circ$.

  Dreieck 1 Die Winkel $43^\circ$ und $90^\circ$ stimmen mit zwei Winkeln des abgebildeten Dreiecks überein, also ist Dreieck 1 ähnlich zu dem abgebildeten Dreieck.

  Dreieck 2 Die Winkel $43^\circ$ und $47^\circ$ stimmen ebenfalls mit zwei Winkeln des abgebildeten Dreiecks überein. Auch dieses Dreieck ist ähnlich zu dem abgebildeten Dreieck.

  Dreieck 3 Der Winkel $43^\circ$ stimmt mit einem der Winkel des abgebildeten Dreiecks überein, $67^\circ$ jedoch nicht. Der dritte Winkel des Dreiecks 3 kann auch mit keinem der beiden anderen Winkel des abgebildeten Dreiecks übereinstimmen, also ist dieses Dreieck nicht ähnlich zu dem abgebildeten Dreieck.

  Dreieck 4 Zwar stimmt der Winkel $90^\circ$ mit einem der Winkel des abgebildeten Dreiecks überein, jedoch $60^\circ$ nicht. Auch dieses Dreieck ist nicht ähnlich zu dem abgebildeten Dreieck.

  Dreieck 5 Hier stimmen wieder beide Winkel $90^\circ$, und $47^\circ$ mit zwei Winkeln des abgebildeten Dreiecks überein. Die Dreiecke sind somit ähnlich zueinander.

  Dreieck 6 Die beiden Winkel sind $60^\circ$ und $60^\circ$, der fehlende dritte Winkel ist ebenfalls $60^\circ$. Dies ist ein gleichseitiges Dreieck, jedoch nicht ähnlich zu dem abgebildeten Dreieck.

• Prüfe, ob die folgenden Dreiecke ähnlich zueinander sind.

  Tipps

  Was sagt der Innenwinkelsummensatz aus?

  Berechne jeweils die fehlenden Winkel und prüfe, ob die Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen.

  Stimmen zwei Dreiecke nicht in mindestens zwei Winkeln überein, so sind sie nicht ähnlich zueinander.

  Lösung

  Da von den Dreiecken nur die Winkel gegeben sind, nutzen wir den Hauptähnlichkeitssatz um zu bestimmen, ob die Dreiecke ähnlich zueinander sind. Der Hauptähnlichkeit sagt aus, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn sie in zwei Winkeln miteinander übereinstimmen.

  Ein Dreieck hat immer drei Winkel. Mit dem Innenwinkelsummensatz können wir den dritten Winkel der Dreiecke bestimmen. Dieser sagt aus, dass die Summe der Innenwinkel zusammen immer $180^\circ$ ergeben muss. Wenn wir das in einer Formel ausdrücken, sieht das so aus: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Indem wir dann die Winkel der Dreiecke miteinander vergleichen, sehen wir ob sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

  Wenn wir nun unsere Winkel in die Formel des Innenwinkelsummensatzes einsetzen, erhalten wir:

  1. Dreieck 1: $30^\circ + 70^\circ + \gamma = 180^\circ$ Da wir nun $ \gamma$, also unseren dritten Winkel, berechnen wollen, stellen wir diese Gleichung nach $ \gamma$ um. Da die $ 30^\circ$ und $70^\circ$ an das $ \gamma$ mit einem Plus-Zeichen gebunden ist. Wir müssen die Gegenoperation vom Addieren anwenden, um die $30^\circ$ und $70^\circ$ vom $\gamma$ zu trennen. Wir müssen die Subtraktion anwenden. Wenn wir unsere Formel umstellen, erhalten wir:

  $ \gamma = 180^\circ - 30^\circ - 70^\circ = 80^\circ$.

  Der Winkel $ \gamma$ ist also $80^\circ$ groß.

  Vergleichen wir nun Dreieck 1 und 2 sehen wir, dass beide einen $70^\circ$ und $80^\circ$ Winkel gemeinsam haben. Damit sind die Dreiecke 1 und 2 zueinander ähnlich.

  2. Dreieck 3: $ 54^\circ + \beta + 60^\circ = 180^\circ$ Wenn wir nun wieder nach unserem fehlenden Winkel, hier $\beta$, umstellen, erhalten wir: $\beta = 180^\circ - 54^\circ - 60^\circ = 66^\circ$.

  $\beta$ ist also $66^\circ$ groß. Vergleichen wir nun Dreieck 3 und 4 sehen wir, dass sie beide zwar in dem Winkel $66^\circ$ übereinstimmen. Allerdings gibt es keinen zweiten Winkel in dem sie miteinander übereinstimmen. Damit sind die Dreiecke 3 und 4 nicht zueinander ähnlich.

  3. Dreieck 5: $ \alpha + 28^\circ + 75^\circ = 180^\circ$ Wenn wir nun wieder nach unserem fehlenden Winkel, hier $\alpha$, umstellen, erhalten wir: $\alpha = 180^\circ - 28^\circ - 75^\circ = 77^\circ$.

  $\alpha$ ist also $77^\circ$ groß. Vergleichen wir nun Dreieck 5 und 6 sehen wir, dass sie beide zwar in dem Winkel $75^\circ$ übereinstimmen. Allerdings gibt es keinen zweiten Winkel in dem sie miteinander übereinstimmen. Damit sind die Dreiecke 5 und 6 nicht zueinander ähnlich.

  4. Dreieck 7: $ 56^\circ + 32^\circ + \gamma = 180^\circ$ Wenn wir nun wieder nach unserem fehlenden Winkel, hier $\gamma$, umstellen, erhalten wir: $\gamma = 180^\circ - 56^\circ - 32^\circ = 92^\circ$

  $\gamma$ ist also $92^\circ$ groß. Vergleichen wir nun die Dreiecke 7 und 8 miteinander, sehen wir, dass sie in den zwei Winkeln $92^\circ$ und $56^\circ$ übereinstimmen. Damit sind die Dreiecke 7 und 8 zueinander ähnlich.

• Gib an, ob die beiden Dreiecke ähnlich zuneinander sind.

  Tipps

  Der Hauptähnlichkeitssatz besagt:

  Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

  Um den Hauptähnlichkeitssatz anwenden zu können, müssen

  • von dem einen Dreieck alle Winkel bekannt sein und
  • von dem anderen zwei Winkel.

  Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln überein, so stimmen sie in allen Winkeln überein.

  Der Innenwinkelsummensatz besagt, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks $180^\circ$ ergibt:

  $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

  Lösung

  Bei den beiden Dreiecken stimmt der Winkel $50^\circ$ überein. Dies reicht jedoch noch nicht als Nachweis für die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke.

  • Es müssen von einem der beiden Dreiecke alle Winkel bekannt sein und
  • von dem anderen zwei Winkel.

  Sei der fehlende Winkel des Dreiecks 1 $\alpha$. Nach dem Innenwinkelsummensatz, welcher besagt, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks $180^\circ$ ergibt, gilt:

  $\alpha+50^\circ+50^\circ=\alpha+100^\circ=180^\circ$. Also ist $\alpha=80^\circ$ der fehlende Winkel des Dreiecks 1.

  Gesamt ist $50^\circ$ der einzige Winkel der beiden Dreiecke, der übereinstimmt. Nach dem Hauptähnlichkeitssatz müssen zwei Winkel übereinstimmen.

  Die beiden Dreiecke sind also nicht ähnlich zueinander.

• Berechne die fehlende Seite.

  Tipps

  Die Dreiecke sind ähnlich zueinander, also müssen Längenverhältnisse übereinstimmen.

  Damit ergibt sich auch, ob die längste oder die mittlere oder die kürzeste Seite fehlt.

  Bei Dreieck 1 sind die längste und die kürzeste Seite gegeben.

  Bei Dreieck 2 sind die beiden längeren Seiten gegeben.

  Bei Dreieck 3 sind die beiden kürzeren Seiten gegeben.

  Bei Dreieck 4 sind die beiden längeren Seiten gegeben.

  Lösung

  Bei dieser Aufgabe muss zunächst entschieden werden, ob die längste, die mittlere oder die kürzeste Seite fehlt.

  Auf Grund der Ähnlichkeit müssen alle Längenverhältnisse übereinstimmen.

  Dreieck 1 Bekannt sind die Längen $10~cm$ sowie $22,8~cm$.

  • $\frac{22,8~cm}{11,4~cm}=2\neq1=\frac{10~cm}{10~cm}$, aber
  • $\frac{22,8~cm}{11,4~cm}=2=\frac{10~cm}{5~cm}$.

  Das heißt, es sind die längste und die kürzeste Seite gegeben. Gesucht ist die mittlere. Es muss

  $\frac x{10~cm}=2$. Also hat die gesuchte Seite die Länge $20~cm$.

  Dreieck 2 Bekannt sind die Längen $25~cm$ sowie $28,5~cm$.

  • $\frac{28,5~cm}{11,4~cm}=2,5=\frac{25~cm}{10~cm}$.

  Die Länge der kürzesten Seite ist hier gesucht. Diese ist $5~cm\cdot 2,5=12,5~cm$.

  Dreieck 3 Gegeben sind die Seitenlängen $6,25~cm$ sowie $12,5~cm$.

  • $\frac{12,5~cm}{11,4~cm}\approx1,17\neq0,625=\frac{6,25~cm}{10~cm}$,
  • $\frac{12,5~cm}{10~cm}=1,25=\frac{6,25~cm}{5~cm}$.

  Dies bedeutet, dass die beiden kürzeren Seiten gegeben sind und die längere gesucht. Diese hat die Länge $11,4~cm\cdot1,25=14,25~cm$.

  Dreieck 4 Gegeben sind die Seitenlängen $2.85~cm$ sowie $2,5~cm$. Hier sind die beiden längeren Seiten gegeben und es gilt

  • $\frac{2,85}{11,4}=\frac{2,5}{10}=0,25$.

  Somit muss die kürzeste Seite die Länge $5~cm\cdot0,25=1,25~cm$ haben.