Lineare Ungleichungen

Was sind lineare Ungleichungen?

Kennst du bereits lineare Gleichungen? Eine solche kann zum Beispiel in der Form $m\cdot x+n=0$ vorliegen.

Ersetzt du in einer solchen Gleichung das $=$-Zeichen durch ein anderes Relationszeichen (wie z.B. $\lt$, $\le$, $\gt$ oder $\ge$), so erhältst du eine lineare Ungleichung.

Das Vorgehen zur Lösung einer solchen Ungleichung ist ähnlich zu dem Vorgehen beim Lösen einer linearen Gleichung. Du musst allerdings beim Multiplizieren oder Dividieren mit negativen Zahlen aufpassen. Bei einer solchen Operation musst du das Relationszeichen umdrehen. Schau dir ein erstes Zahlenbeispiel an. Es gilt $2\lt 4$. Multiplizierst du nun mit $-4$, so erhältst du auf der linken Seite $-8$ und auf der rechten $-16$. Wenn du negative Zahlen vergleichst, ist die mit dem größeren Betrag die kleinere. Es gilt also ${-8}\gt {-16}$. Du siehst, das Relationszeichen ist nun umgedreht.

Lineare Ungleichungen lösen

Nun siehst du zwei Beispiele, wie lineare Ungleichungen gelöst werden können.

Beispiel 1

Löse die Ungleichung $2x+4\le 8$:

$\begin{array}{rclll} 2x+4&\le& 8&|&-4\\ 2x&\le&4&|&:2~~(>0)\\ x&\le&2 \end{array}$

Beim Addieren oder Subtrahieren bleibt das Relationszeichen immer erhalten. Da mit einer positiven Zahl multipliziert wird, ändert sich auch dabei das Relationszeichen nicht. Die Lösung beinhaltet also alle Zahlen, die kleiner oder gleich $2$ sind.

Beispiel 2

Dieses Mal sollst du die lineare Ungleichung $-\frac12x-5\gt-2$ lösen:

$\begin{array}{rclll} -\frac12x-5&\gt& -2&|&+5\\ -\frac12x&\gt&3&|&\cdot (-2)\\ x&\lt&-6 \end{array}$

In der dritten Zeile musst du das Relationszeichen umkehren, da du mit einer negativen Zahl $({-2})$ multipliziert hast.

Lineare Ungleichungssysteme

Analog zu linearen Gleichungssystemen gibt es auch lineare Ungleichungssysteme.

Zwei lineare Ungleichungen mit einer Variablen

Schau dir das folgende lineare Ungleichungssystem an:

$\begin{array}{rrcl} I. & x+3 & > & 0 \\ II. & x & < & 0 \end{array}$

Die erste der beiden Ungleichungen führt durch Subtraktion von $3$ zu $x>{-3}$. Zusätzlich gilt wegen der zweiten Ungleichung $x<0$. Die Lösung beinhaltet also alle Zahlen, die größer als $-3$ und kleiner als $0$ sind. Mathematisch schreibt man dies als Intervall:

$\mathbb{L} = ({-3};0)$ oder $\mathbb{L} = ]{-3};0[$

Zwei lineare Ungleichungen mit zwei Variablen

Du sollst das folgende lineare Ungleichungssystem lösen:

$\begin{array}{rrcl} I. & x+y & \le & 0 \\ II. & x & \gt & y \end{array}$

Stelle zunächst die Gleichungen der Randfunktionen auf. Diese lauten:

• $y=-x$
• $y=x$

Die zugehörigen Funktionsgraphen sind Geraden. Zeichne diese in ein Koordinatensystem. Da die Relation bei der ersten Ungleichung die Gleichheit beinhaltet, ist die entsprechende Gerade durchgezeichnet, die zu der zweiten Ungleichung gehörende Gerade ist gestrichelt, da die Punkte auf dieser Geraden die Ungleichung nicht erfüllen.

Markiere nun zu jeder der Ungleichungen den Bereich, in dem die $(x|y)$-Paare liegen, die die entsprechende Ungleichung erfüllen. Die Schnittmenge der beiden Bereiche ist die gesuchte Lösungsmenge.

Lass uns das einmal an zwei Punkten kontrollieren. Dafür setzen wir die Koordinaten in die Ungleichungen $I.$ und $II.$ ein:

• $(0|-2)$: Es gilt $0+({-2})=-2\le 0$ ✓ und $0\gt -2$ ✓
• $(2|-2)$: Es gilt $2+({-2})=0\le 0$ ✓ und $2\gt -2$ ✓

Diese beiden Punkte liegen also in der Lösungsmenge.

Der Punkt $(-2|-2)$ liegt zum Beispiel nicht in der Lösungsmenge. Es gilt ${-2}+({-2})=-4\le 0$ ✓ aber $-2\not \gt -2$.