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Dezimalzahlen runden und überschlagen

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Inhaltsverzeichnis zum Thema

Einleitung

Du begibst dich in den Supermarkt und hast nur 1010€ dabei und eine große Liste mit Dingen, die du einkaufen möchtest. Die Preise der meisten Produkte werden in Dezimalzahlen angegeben. Du möchtest wissen, wie viele von den Produkten du kaufen kannst bzw. ob dein Geld reicht. Man hat nicht in jeder Situation einen Taschenrechner parat, der uns das Rechnen erleichtert. Was dir dabei aber helfen kann, ist das Runden und Überschlagen von Dezimalbrüchen.

Kassenbon.jpg

Zur Erinnerung: Unter einem Dezimalbruch versteht man einen Bruch, der im Nenner eine Zehnerpotenz aufweist. Mathematisch sieht das dann zum Beispiel so aus:

210\dfrac {2}{10} oder 4210.\dfrac {42}{10}.

Diese Dezimalbrüche lassen sich auch ganz leicht als Dezimalzahlen darstellen. Eine Dezimalzahl ist umgangssprachlich nichts anderes als ein Dezimalbruch in Kommaschreibweise. Wie man Brüche in Dezimalzahlen umwandelt, siehst du hier:

210=0,2\dfrac {2}{10}=0,2 und 4210=4,2.\dfrac {42}{10}=4,2.

Gesprochen wird das so: „Null Komma Zwei" und „Vier Komma Zwei".

Die erste Nachkommastelle wird als Zehntel bezeichnet.

2101=210=0,2\dfrac {2}{10^{1}}=\dfrac {2}{10}=0,2

Die zweite Nachkommastelle wird als Hundertstel bezeichnet.

25102=25100=0,25\dfrac {25}{10^{2}}=\dfrac {25}{100}=0,25

Als Tausendstel wird die dritte Nachkommastelle bezeichnet.

125103=1251000=0,125\dfrac {125}{10^{3}}=\dfrac {125}{1000}=0,125

Man unterscheidet periodische und abbrechende Dezimalzahlen

  • Abbrechende Dezimalzahlen sind Dezimalzahlen mit endlich vielen Nachkommastellen. Dazu zählen zum Beispiel: 0,40,4; 1,251,25; 0,1250,125.
  • Periodische Dezimalzahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen. Man schreibt das so: 0,30,\overline {3}; 1,61,\overline {6}.

Du solltest auch wissen, wie man mit Dezimalzahlen rechnet.

Dezimalzahlen runden

Wie oben bereits angedeutet, kann es sehr hilfreich sein Dezimalzahlen zu runden. Durch das Runden bekommen wir:

  • manchmal glatte Zahlen,
  • Zahlen, deren Aussagekraft meistens nicht stark verändert wurde sowie
  • Zahlen, die man sich vielleicht leichter merken kann.

Dadurch ist es uns möglich, die Dezimalzahlen leichter zu vergleichen, uns leichter zu merken und mit ihnen leichter zu rechnen. Durch das Runden fallen „unwichtige" Zahlen weg oder das Komma verschwindet. Bei allen Rundungsmöglichkeiten ist es wichtig, einheitliche Vorschriften festzulegen, die das Treffen allgemeingültiger Aussagen ermöglichen.

Man kann aufrunden oder abrunden. Dabei geht man wie folgt vor: Man betrachtet die Zahl rechts von der Stelle, auf die man runden möchte.

  • Ist diese Zahl kleiner als 55, so wird abgerundet.
  • Ist diese Zahl größer oder gleich 55, so wird aufgerundet.

Für gerundete Werte benutzt man das Zeichen \approx. Für die Zahl rechts von der zu rundenden Stelle gilt also:

  • 1,2,3,4<51, 2, 3, 4\lt 5 abrunden
  • 5,6,7,8,955, 6, 7, 8, 9\geq 5 aufrunden

Runden auf Ganze

Hierbei wird die erste Nachkommastelle (Zehntel) betrachtet und die Dezimalzahl auf eine ganze Zahl gerundet. Schauen wir uns dazu die beiden folgenden Beispiele an.

11. Beispiel:  1,4~1,4

  • Man betrachtet die erste Nachkommastelle, in diesem Fall die 44. Es gilt: 4<54\lt 5.
  • Also wird hier abgerundet. Beim Abrunden bleibt die Zahl, auf die man rundet, gleich. Somit erhalten wir folgende gerundete Zahl: 1,411,4\approx 1.

22. Beispiel:  2,7~2,7

  • Betrachtet man die Zehntelstelle, so erhält man: 7>57\gt 5.
  • Wir runden diesmal auf. Die nächstmögliche größere ganze Zahl nach der 22 ist die 33. Aus 2,72,7 wird demnach: 2,732,7\approx 3.

Runden auf Zehntel

Hier muss auf die Zehntelstelle gerundet werden, die relevante Zahl für das Runden befindet sich somit an zweiter Stelle nach dem Komma (Hundertstel). Bei 2,462,46 betrachten wir die 66 und runden die Zehntelstelle von der 44 auf die 55 auf, da 66 größer ist als 55. Es folgt dann:

  • 2,462,52,46\approx 2,5.

Runden auf Hundertstel

Nun runden wir auf die Hundertstelstelle. Die hierfür relevante Zahl ist die Tausendstelstelle. Bei 12,67512,675 betrachten wir also die 55 und runden von der 77 auf die 88 auf. Die gerundete Zahl lautet:

  • 12,67512,6812,675\approx 12,68.

Runden auf Tausendstel

Hier muss auf das Tausendstel gerundet werden. Also betrachten wir die Zahl, die an vierter Stelle hinter dem Komma steht. Bei 125,7683125,7683 betrachten wir die 33 und runden ab. Die 88 bleibt also erhalten, da 33 kleiner ist als 55. Die gerundete Zahl lautet:

  • 125,7683125,768125,7683\approx 125, 768.

Dezimalzahlen überschlagen

Im Alltag begegnen uns in allen möglichen Situationen Dezimalzahlen. Beim Einkaufen im Supermarkt werden die Preise in Dezimalzahlen angegeben oder bei Nährstoffangaben auf den Produkten befinden sich Dezimalzahlen. Es kann dann von Vorteil sein, wenn man Dezimalzahlen überschlägt, um dann leichtere Zahlen vergleichen oder mit ihnen rechnen zu können. Überschläge helfen dir zum Beispiel dabei, Beträge leichter und schneller addieren zu können. Man rundet zuerst die Preise auf eine leicht zu rechnende Stelle (zum Beispiel auf Ganze oder Zehntel) und addiert sie anschließend. Das folgende Beispiel eines möglichen Einkaufs in einem Möbelgeschäft verdeutlicht dieses Vorgehen:

  • Stuhl - 16,3416,34
  • Kissen - 15,9815,98
  • Hocker - 17,2817,28
  • Korb - 16,0216,02

Wir runden nach bekanntem Muster auf ganze Zahlen und erhalten:

  • Stuhl - 16 16
  • Kissen - 1616
  • Hocker - 17 17
  • Korb - 16 16

Nun können wir die gerundeten Preise addieren zu: 16+16+17+16=6516+16+17+16=65. Wir bezahlen überschlagen 6565€ für unseren Einkauf.

Ohne zu runden erhalten wir:

Rechnung.jpg

Der genaue Einkaufspreis liegt bei 65,6265,62€. Wir sehen also, dass unser überschlagener Einkaufspreis nicht weit vom Originalpreis entfernt ist. Der Unterschied beträgt nur 6262 Hundertstel. Bei der Rundung auf Zehntel, wäre der Preis noch ähnlicher zum Original gewesen.

Nun solltest du in der Lage sein, beim Einkauf auch ohne Taschenrechner immer einen kühlen Kopf bewahren zu können und deinen Einkaufswert zu runden und zu überschlagen. Probiere es doch gleich einmal beim nächsten Einkauf aus.

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Dezimalzahlen runden und überschlagen (2 Arbeitsblätter)