Zahlenbereiche und Stellenwertsysteme

Was ist ein Stellenwertsystem?

Um diese Frage zu beantworten, sollten wir zuerst den Unterschied zwischen einer Ziffer und einer Zahl klären. Dies lässt sich am leichtesten an einem Beispiel erläutern. Schau dir die Zahl $125$ an. Diese besteht aus den Ziffern $1$, $2$ und $5$.

Unter einem Stellenwertsystem versteht man ein System von Zahlen, bei dem der Wert einer Ziffer von der Stelle abhängt, an der sie steht. Im Alltag wird heutzutage das Dezimalsystem genutzt, bei dem die sogenannte Basis die Zahl $10$ ist.

Das merkst du beispielsweise daran, dass die Zahl $10$ die kleinste zweistellige Zahl ist. Dort ist also der „Übergang“ von Zahlen mit einer Ziffer zu Zahlen mit zwei Ziffern.

Das Dezimalsystem

Im Dezimalsystem kannst du jede Zahl mit Hilfe von $10$ verschiedenen Symbolen (den Ziffern) bilden. Diese sind $0, 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8$ und $9$.

Die Stelle, an der die Ziffer steht, spielt dabei eine wichtige Rolle. Schau dir noch einmal die Zahl $125$ an. Die $5$ steht hier an der sogenannten Einerstelle, die $2$ an der Zehnerstelle und die $1$ an der Hunderterstelle.

Das bedeutet, dass der Wert der Zahl $125$ durch folgende Rechnung zustande kommt:

$1\cdot 100 + 2\cdot 10 + 5\cdot 1 = 100 + 20 + 5 = 125$.

Das Dualsystem

Anders als beim Dezimalsystem ist die Basis hier die Zahl $2$. Genauso wie die $10$ im Dezimalsystem kommt die $2$ selbst nicht als Ziffer vor. Die Ziffern im Dualsystem (auch Binärsystem genannt) sind $0$ und $1$.

Andere Stellenwertsysteme

Es gibt weitere Stellenwertsysteme, die in bestimmten Bereichen relevant sind. Theoretisch kann jede natürliche Zahl als Basis für ein Stellenwertsystem genutzt werden.

Welche Zahlenbereiche gibt es?

Die Mathematik versucht in vielen Bereichen, Elemente ihren Eigenschaften entsprechend zu sortieren. Die Zahlenbereiche dienen dazu, Zahlen zu sortieren. Hier siehst du nun einige der Zahlenbereiche, die in der Mathematik wichtig sind. Bei dieser Auflistung gilt, dass jeder Zahlenbereich den vorherigen enthält. Man spricht von einer Erweiterung der Zahlenbereiche.

Die natürlichen Zahlen

Die natürlichen Zahlen beginnen je nach Definition mit $0$ oder $1$. Sie beinhalten alle Zahlen, die dann durch natürliches Zählen entstehen. Die natürlichen Zahlen werden mit $\mathbb{N}_{0}$ bzw. $\mathbb{N}$ bezeichnet. Es gilt:

$\mathbb{N}_{0} = \{0, 1, 2, 3, 4 ,5, \dots\} \text{ bzw. } \mathbb{N} = \{1,2,3,4,5,\ldots\} $.

Die ganzen Zahlen

Die ganzen Zahlen werden mit dem Buchstaben $\mathbb{Z}$ gekennzeichnet. Sie enthalten die natürlichen Zahlen und alle Zahlen, die durch Subtraktion entstehen können. Dazu gehören beispielsweise $-18$,$-29$ oder $-125$. Es gilt:

$\mathbb{Z} = \{\ldots,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots\}$.

Die rationalen Zahlen

Der Bereich der rationalen Zahlen wird mit $\mathbb{Q}$ gekennzeichnet. In diesem Bereich sind alle Zahlen, die mit Hilfe der ganzen Zahlen und einem Bruchstrich dargestellt werden können. Zu diesen gehören zum Beispiel $-\frac{2}{7}$, $23$ oder $\frac{28}{136}$. Mathematisch ausgedrückt gilt:

$\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} \vert a,b \in \mathbb{Z}, b\neq 0\}$.

Die reellen Zahlen

Der Bereich der reellen Zahlen besteht aus allen rationalen Zahlen und sogenannten irrationalen Zahlen. Zu diesen gehört beispielsweise die Kreiszahl $\pi$ oder auch $\sqrt{2}$. Eine irrationale Zahl lässt sich nicht als Bruch darstellen. Sie hat unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen.

Weitere Zahlbereiche

Es gibt noch einige Zahlbereiche, die hier nicht aufgeführt wurden. Dazu gehört zum Beispiel der Bereich der Primzahlen oder der Bereich der komplexen Zahlen.