Grundlagen zu Potenzen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist eine Potenz?
• Beispiele
• Eigenschaften und Bezeichnungen
• Potenzen berechnen
• Der Exponent $1$
• Quadratzahlen
• Kubikzahlen
• Zweierpotenzen
• Zehnerpotenzen
• Zahlen als Potenzen schreiben
• Potenzieren von Summen und Differenzen

Was ist eine Potenz?

Anstatt die gleiche Zahl mehrfach zu addieren, kannst du diese Zahl auch mit einem Faktor multiplizieren. Du kannst also abkürzend schreiben:

$\underbrace{5+5+5+5}_{4-\text{mal}}=4\cdot 5$.

Ebenso kannst du Produkte vereinfachen, in denen der gleiche Faktor vorkommt:

$\underbrace{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}_{4-\text{mal}}=5^4$.

Der Term $5^4$ wird als Potenz bezeichnet. Du sagst: „Fünf hoch vier.“

Also ist die Potenzschreibweise eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in welchem ein Faktor mehrmals vorkommt.

Beispiele

• $\underbrace{2\cdot 2\cdot 2}_{3-\text{mal}}=2^3$
• $\underbrace{3\cdot 3}_{2-\text{mal}}=3^2$
• $\underbrace{16\cdot 16\cdot \dots \cdot 16}_{7-\text{mal}}=16^7$

Eigenschaften und Bezeichnungen

Wir können einige Eigenschaften von Potenzen feststellen:

• Der Faktor, der mehrmals auftaucht, steht in der Potenz unten. Dies ist die Basis.
• Die Häufigkeit, mit welcher dieser Faktor auftritt, steht in der Potenz oben. Dies ist der Exponent.

Hier siehst du die Bezeichnungen für eine allgemeine Potenz $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}$ im Überblick:

Dabei ist $a\in \mathbb{R}$ und $n\in \mathbb{N}$. $a$ ist also eine beliebige Zahl, der Exponent $n$ ist in der Regel eine natürliche Zahl $1, 2, 3, 4, ...$

Potenzen berechnen

• $5^3=5\cdot 5\cdot 5=25 \cdot 5 = 125$
• $3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=9 \cdot 9=81$
• $2^5=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=4 \cdot 8=32$

Der Exponent $1$

$a^1$ bedeutet, dass der Faktor $a$ in einem Produkt einmal vorkommt. Also ist $a^1=a$ für jede Basis $a\in\mathbb{R}$.

Quadratzahlen

Quadratzahlen sind Zahlen, die sich als Quadrat, also als eine Potenz mit dem Exponenten $2$, schreiben lassen.

$\begin{array}{cccc} 1^2 =1&4^2=16&7^2=49 &10^2=100\\ 2^2=4&5^2=25&8^2=64 &~\\ 3^2=9 &6^2=36 &9^2=81&~ \end{array}$

Wir können zwischen zwei Formulierungen wählen: „... hoch zwei“ oder „... zum Quadrat“.

Kubikzahlen

Kubikzahlen sind Zahlen, die sich als Potenz mit dem Exponenten $3$ ausdrücken lassen:

$\begin{array}{cccc} 1^3&=&1&~&4^3&=&64&~&7^3&=&343&~&10^3&=&1000\\ 2^3&=&8&~&5^3&=&125&~&8^3&=&512&~&~&~&~\\ 3^3&=&27 &~&6^3&=&216&~&9^3&=&729&~&~&~&~ \end{array}$

Zweierpotenzen

Zweierpotenzen sind Potenzen mit der $2$ als Basis.

$\begin{array}{cccc} 2^1=2&2^4=16&2^7=128&2^{10}=1024\\ 2^2=4&2^5=32&2^8=256&~\\ 2^3=8 &2^6=64&2^9=512&~ \end{array}$

Zehnerpotenzen

Im Alltag nutzen wir das Zehnersystem, welches auf den Zehnerpotenzen basiert. Dies sind Potenzen mit der $10$ als Basis.

$\begin{array}{cccc} 10^1&=&10&~&10^4&=&10000&~\\ 10^2&=&100&~&10^5&=&100000&~\\ 10^3&=&1000 &~&10^6&=&1000000&~ \end{array}$

Zehnerpotenzen lassen sich recht leicht berechnen: $10^n$ ist eine $1$ mit $n$ Nullen.

Zahlen als Potenzen schreiben

Wie kannst du umgekehrt Zahlen als Potenzen schreiben?

Schaue dir dies an dem Beispiel $243$ an. Diese Zahl ist mehrfach durch $3$ teilbar.

$\begin{array}{rcl} 243&=&3\cdot 81\\ &=&3\cdot 3\cdot 27\\ &=&3\cdot 3\cdot 3\cdot 9\\ &=&3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\\ &=&3^5 \end{array} $

Potenzieren von Summen und Differenzen

Beim Potenzieren von Summen oder Differenzen gehst du wie folgt vor.

$\begin{array}{rcl} (2x+3)^2&=&(2x+3)\cdot (2x+3)\\ &=&(2x)\cdot (2x)+(2x)\cdot 3+3\cdot (2x)+3\cdot 3\\ &=&4x^2+6x+6x+9\\ &=&4x^2+12x+9 \end{array}$

Ebenso kannst du auch Differenzen potenzieren.

$\begin{array}{rcl} (4-y)^2&=&(4-y)\cdot (4-y)\\ &=&4\cdot 4-4\cdot y-y\cdot 4+y\cdot y\\ &=&16-4y-4y+y^2\\ &=&16-8y+y^2 \end{array}$

Eine Verallgemeinerung davon sind die binomischen Formeln,

• die erste binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ sowie
• die zweite binomische Formel $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Beachte unbedingt, dass du nicht einfach die einzelnen Summanden quadrieren kannst.