Grundlagen zum Logarithmus

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist der Logarithmus?
• Spezielle Logarithmen
• Schreibweise des Logarithmus
• Logarithmusgesetze
  • 1. Logarithmusgesetz
  • 2. Logarithmusgesetz
  • 3. Logarithmusgesetz
• Basiswechsel
  • Beispiel
• Aufgaben und Übungen zum Logarithmus
  • Einfache Exponentialgleichungen
  • Lösen einer Exponentialgleichung
  • Alltagsbeispiel

Was ist der Logarithmus?

Der Logarithmus ist eine Rechenoperation, mit der man den (gesuchten) Exponenten einer bekannten Zahl herausfinden kann. Das Logarithmieren ist damit die Umkehroperation zum Potenzieren. Zum näheren Verständnis betrachten wir zunächst ein Beispiel:

• Du weißt bestimmt, dass $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 =16$ ist.
• Angenommen, du wüsstest dies nicht: Mit welcher Zahl müsste $2$ potenziert werden, damit $16$ herauskommt?

Diese Frage führt uns zu der Gleichung $2^x=16$. Das sieht ganz schön kompliziert aus. Aber der Logarithmus kann uns helfen.

Er beantwortet nämlich die Frage: „Mit welcher Zahl muss man $2$ potenzieren, damit $16$ herauskommt?“

Die Lösung der Gleichung $2^x=16$ ist gegeben durch $x=\log_2{16}$.

Allgemein können wir sagen, dass die Gleichung $a^x=b$ durch $x=\log_a{b}$ gelöst wird. Der rechte Teil der Gleichung wird „Logarithmus zur Basis $a$ von $b$“ genannt.

Wir halten schon einmal fest, dass die Basis eines Logarithmus positiv sein muss, weil die Potenz einer positiven Zahl auch immer positiv ist.

Spezielle Logarithmen

Grundsätzlich kann man alle Logarithmen so aufschreiben, wie oben zu sehen. Manche Logarithmen werden allerdings so häufig verwendet, dass sich eine eigene Schreibweise entwickelt hat. Hier die bekanntesten:

• Der Logarithmus zur Basis $10$ wird auch als dekadischer Logarithmus bezeichnet und schreibt sich abkürzend so: $\log_{10}=\lg$.
• Der Logarithmus zur Basis $e\approx2{,}71828$, also der eulerschen Zahl, wird als Logarithmus naturalis bezeichnet: $\log_e=\ln$.
• Der Logarithmus zur Basis $2$ wird auch als Logarithmus dualis bezeichnet: $\log_{2}= \text{ld}$.

Die ersten beiden Logarithmen findest du auch auf deinem Taschenrechner. Die Schreibweise $\text{ld}$ wird nicht so häufig verwendet.

Schreibweise des Logarithmus

Auf den ersten Blick kann eine neue Schreibweise sehr verwirren. Wir sollten uns daher klar machen, wie so ein Logarithmus aufgebaut ist.

Hier siehst du den Zusammenhang zwischen Potenzieren (links) und Logarithmieren (rechts) am Beispiel des Logarithmus dualis sowie die zugehörigen Bezeichnungen.

• Die Basis der Potenz ist auch die Basis im Logarithmus. Weil die Basis hier $2$ ist, können wir anstelle von $\log_2$ auch $\text{ld}$ schreiben.
• Der Exponent $x$ ist die gesuchte Zahl und steht praktischerweise isoliert auf der linken Seite der „Logarithmus-Gleichung“.
• Der Potenzwert $b$ wird zum Argument des Logarithmus. Er wird auch als Numerus bezeichnet.

Logarithmusgesetze

Die Logarithmusgesetze gelten für jede beliebige Basis $a$ eines Logarithmus und damit auch für die oben genannten speziellen Logarithmen.

1. Logarithmusgesetz

Das 1. Logarithmusgesetz ist auch als Produktregel bekannt. Es sagt etwas über die Addition von Logarithmen mit gleicher Basis aus:

$\log_a(u\cdot v)=\log_a(u)+\log_a(v)$

2. Logarithmusgesetz

Das 2. Logarithmusgesetz ist auch als Quotientenregel bekannt. Es sagt analog etwas über die Subtraktion von Logarithmen mit gleicher Basis aus:

$\log_a\left(\frac uv\right)=\log_a(u)-\log_a(v)$

3. Logarithmusgesetz

Das 3. Logarithmusgesetz, auch bekannt als Potenzregel, handelt von Potenzen in Logarithmen mit gleicher Basis:

$\log_a(u^r)=r\cdot \log_a(u)$

Das 3. Gesetz gilt auch für Wurzeln, da Wurzeln bekanntlich auch als Potenz geschrieben werden können:

$\log_a(\sqrt[r]u)=\frac1r\cdot \log_a(u)$

Basiswechsel

Betrachtest du einen Logarithmus zu einer bestimmten Basis, so kannst du diesen Logarithmus zu einer anderen Basis umformen. Der Logarithmus zu einer Basis $a$ lässt sich wie folgt zu einem Logarithmus zur Basis $b$ umformen:

$\text{log}_aP=\frac {\text{log}_bP}{\text{log}_ba}$

Beispiel

Betrachte den Logarithmus: $~\text{log}_39$.

Die Basis dieses Logarithmus formen wir wie folgt zur Basis $5$ um:

$\text{log}_39=\frac {\text{log}_59}{\text{log}_53}$

Aufgaben und Übungen zum Logarithmus

Einfache Exponentialgleichungen

Eine Gleichung, in welcher die Unbekannte im Exponenten steht, heißt Exponentialgleichung.

Da das Logarithmieren die Umkehrung des Potenzierens ist, kannst du einige Exponentialgleichungen lösen, wenn du umgekehrt die Potenzen kennst. Hier siehst du einige Beispielaufgaben zum Logarithmus:

• $\log_3(9)=2$, da $3^2=9$ ist.
• $\log_5(125)=3$, da $5^3=125$ ist.
• $\log_7(2401)=4$, da $7^4=2401$ ist.

Das Ergebnis kann auch negativ oder rational sein. Schaue dir hierfür die folgenden Beispiele an:

• $0{,}5=2^{-1}$ und damit ist $\text{ld}(0{,}5)=-1$.
• $\sqrt 3=3^{\frac12}$ und damit ist $\log_3(\sqrt 3)=\frac12$.

Bei den letzten Beispielen kannst du erkennen, dass die Lösung auch nicht ganzzahlig sein muss. Auch ahnst du vielleicht, dass nicht alle Lösungen mit dieser Methode ermittelt werden können.

Lösen einer Exponentialgleichung

Für kompliziertere Fälle hilft uns der dekadische Logarithmus $\lg$ weiter. Er kann dir auch helfen, wenn die Basis nicht $10$ ist. Schauen wir uns das folgende Beispiel an. Es gibt offensichtlich keine „einfache“ Lösung für folgende Gleichung:

$3^x=32$

Zuerst wendest du auf beiden Seiten der Gleichung den $\lg$ an und erhältst so:

$\lg\left(3^x\right)=\lg(32)$.

Nun verwendest du das 3. Logarithmusgesetz:

$x\cdot \lg\left(3\right)=\lg(32)$

Zuletzt dividierst du beide Seiten der Gleichung durch $\lg(3)$ und hast die Lösung der obigen Gleichung gefunden:

$x=\frac{\lg(32)}{\lg(3)}\approx 3{,}155$

Dieser Trick mit dem dekadischen Logarithmus $\lg$ ist sehr hilfreich. Du solltest ihn dir auf jeden Fall merken.

Alltagsbeispiel

Paul legt $1000~€$ zu einem jährlichen Zinssatz von $3{,}5~\%$ an. Mit der Zinsrechnung kannst du Pauls Kapital nach $n$ Jahren berechnen:

$K_n=1000\cdot \left(1+\frac{3{,}5}{100}\right)^n=1000\cdot 1{,}035^n$

Paul möchte nun wissen, wie lange er sein Kapital anlegen muss, damit er $1675~ €$ hat. Er muss die folgende Gleichung lösen:

$1675=1000\cdot 1{,}035^n$

Die unbekannte Größe steht im Exponenten. Wir benötigen zum Lösen der Gleichung also den Logarithmus.

Zunächst wird auf beiden Seiten durch $1000$ dividiert.

$1{,}675=1{,}035^n$

Dann wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung $\lg$ an. Die Lösung der Gleichung ändert sich wie bei anderen Äquivalenzumformungen nicht.

$\lg(1{,}675)=\lg(1{,}035^n)$

Nun verwenden wir das 3. Logarithmusgesetz.

$\lg(1{,}675)=n \cdot \lg(1{,}035)$

Wir teilen nun beide Seiten der Gleichung durch $\lg(1{,}035)$ und erhalten:

$n=\frac{\lg(1{,}675)}{\lg(1{,}035)}\approx 15$

Das bedeutet, dass Pauls Geldbestand nach ungefähr $15$ Jahren auf $1675~ €$ angewachsen ist.