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Logarithmus – Negative Zahlen und Brüche als Exponenten

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Team Digital
Logarithmus – Negative Zahlen und Brüche als Exponenten
lernst du in der Sekundarstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Logarithmus – Negative Zahlen und Brüche als Exponenten

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Logarithmus von Brüchen und Wurzeln ohne Taschenrechner zu berechnen.

Zunächst lernst du, worauf du beim Logarithmus von Brüchen achten musst. Anschließend erfährst du, wie du den Logarithmus von Wurzeln berechnen kannst.

Logarithmus von Brüchen und Wurzeln

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Logarithmus, Bruch, Wurzel, Basis, Exponent und Potenzgesetze.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits Brüche und Wurzeln kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zum Logarithmus haben.

1 Kommentar
  1. 3.Wurzel aus 0,25 kann man auch schreiben als 1/4 hoch 1/3. Und 1/ 4 als 1 durch 2 hoch 2. Also lautet der ganze Ausdruck: 2 hoch - 2/3. X ist der Exponent - 2/3.

    Von Michael, vor 12 Monaten

Logarithmus – Negative Zahlen und Brüche als Exponenten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmus – Negative Zahlen und Brüche als Exponenten kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib den Wert des Logarithmus mithilfe des Potenzgesetzes für Brüche an.

    Tipps

    Allgemein gilt:

    $a^x=b \quad \Leftrightarrow \quad x= \log_{a}{b}$

    Beispiel:

    $4^{-2} = \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}$

    Lösung

    Mit dem Logarithmus kannst du eine Potenzgleichung nach dem Exponenten auflösen. Dabei gilt:

    $a^x=b \quad \Leftrightarrow \quad x= \log_{a}{b}$

    Wir können den Logarithmus ebenfalls auf Brüche anwenden. Wir betrachten dazu ein Beispiel:

    Gesucht ist die Zahl $x$:

    $x= \log_{2}{\dfrac{1}{8}}$

    Wir können dies auch schreiben als:

    $2^x = \color{#00CC99}{\dfrac{1}{8}}$

    Um diese Gleichung zu lösen, hilft uns das Potenzgesetz für Brüche. Es lautet:

    $\dfrac{1}{a^n}= \color{#00CC99}{a^{-n}}$

    Wir können damit also ebenso schreiben:

    $2^x = \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3} = \color{#00CC99}{2^{-3}}$

    Kurz gefasst:

    $2^x = 2^{-3}$

    Wir erkennen demnach:

    $x= \color{#00CC99}{-3}$

    Damit ergibt sich:

    $\log_{2}{\dfrac{1}{8}} = \color{#00CC99}{-3}$

  • Forme die Logarithmusgleichung um.

    Tipps

    $x= \log_{a}{b}$

    Wir sprechen dabei von:

    • $a$: Basis
    • $b$: Potenzwert
    • $x$: Exponent

    Es ist nur eine Umformung richtig.

    Lösung

    Mithilfe des Logarithmus können wir Potenzgleichungen umformen. Dabei gilt allgemein:

    $x= \log_{a}{b} \quad \Leftrightarrow \quad a^x=b $

    Wir sprechen dabei von:

    • $a$: Basis
    • $b$: Potenzwert
    • $x$: Exponent

    Da in den gegebenen Gleichungen außerdem Wurzeln vorkommen, erinnern wir uns auch an das Potenzgesetz für Wurzeln:

    $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \quad$ beziehungsweise $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

    Wir betrachten somit die gegebenen Gleichungen und ordnen zu:

    Erste Gleichung:

    $\log_{2}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad 2^{\sqrt{2}}= \dfrac{1}{2}$

    $\mapsto$ Falsch: Exponent und Potenzwert nicht richtig zugeordnet.

    Zweite Gleichung:

    $\log_{2}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad 2^{\frac{1}{2}}= \sqrt{2}$

    $\mapsto$ Richtig: Basis = $2$; Potenzwert = $\sqrt{2}$; Exponent = $\dfrac{1}{2}$.

    Dritte Gleichung:

    $\log_{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad 2^{\frac{1}{2}}= \sqrt{2}$

    $\mapsto$ Falsch: Exponent und Potenzwert nicht richtig zugeordnet.

    Vierte Gleichung:

    $\log_{2}{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{2} \quad \Leftrightarrow \quad 2^{\frac{1}{2}}= \sqrt{2}$

    $\mapsto$ Falsch: Exponent und Potenzwert nicht richtig zugeordnet.

  • Bestimme den Wert des Logarithmus.

    Tipps

    Potenzgesetz für Wurzeln:

    $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \quad$ beziehungsweise $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

    Schreibe den Logarithmus als Potenzgleichung um. Wende dann das Potenzgesetz für Wurzeln oder für Brüche an.

    Lösung

    Mithilfe des Logarithmus können wir eine Potenzgleichung umschreiben:

    $a^x=b \quad \Leftrightarrow \quad x= \log_{a}{b}$

    Wir sprechen dabei von:

    • $a$: Basis
    • $b$: Potenzwert
    • $x$: Exponent

    Um den Logarithmus auf Brüche anzuwenden, hilft uns das Potenzgesetz für Brüche:

    $\dfrac{1}{a^n}= a^{-n}$

    Um ihn auf Wurzeln anzuwenden, verwenden wir das Potenzgesetz für Wurzeln:

    $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \quad$ beziehungsweise $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

    Wir können somit die Logarithmen wie folgt berechnen:

    Erster Logarithmus: $\log_{3}{\dfrac{1}{9}}$

    Wir versuchen $\dfrac{1}{9}$ als Potenz mit Basis $3$ zu schreiben:

    $\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3^2}= 3^{-2}$

    $\Rightarrow \quad \log_{3}{\dfrac{1}{9}} = \color{#00CC99}{-2}$

    Zweiter Logarithmus: $\log_{10}{0{,}1}$

    Wir schreiben $0{,}1$ als Potenz mit Basis $10$:

    $ 0{,}1 = \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{10^1} = 10^{-1}$

    $\Rightarrow \quad \log_{10}{0{,}1} = \color{#00CC99}{-1}$

    Dritter Logarithmus: $\log_{4}{2}$

    Wir schreiben $2$ als Potenz mit Basis $4$:

    $2 = \sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}} $

    $\Rightarrow \quad \log_{4}{2} = \dfrac{1}{2} = \color{#00CC99}{0{,}5}$

    Vierter Logarithmus: $\log_{0{,}125}{0{,}5}$

    Wir schreiben $0{,}5$ als Potenz mit Basis $0{,}125$:

    $0{,}5 = \sqrt[3]{0{,}125} = 0{,}125^{\frac{1}{3}}$

    $\Rightarrow \quad \log_{0{,}125}{0{,}5} = \color{#00CC99}{\dfrac{1}{3}}$

  • Berechne den Logarithmus.

    Tipps

    Potenzgesetz für Brüche:

    $\dfrac{1}{a^n}= a^{-n}$

    Potenzgesetz für Wurzeln:

    $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

    Beispiel:

    $\log_{10}{0{,}1}$

    Wir schreiben $0{,}1$ als Potenz mit Basis $10$:

    $ 0{,}1 = \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{10^1} = 10^{-1}$

    $\Rightarrow \quad \log_{10}{0{,}1} = -1$

    Lösung

    Um die Logarithmen bestimmen zu können, benötigen wir die diese Zusammenhänge:

    • Definition des Logarithmus: $a^x=b \quad \Leftrightarrow \quad x= \log_{a}{b}$
    • Potenzgesetz für Brüche: $\dfrac{1}{a^n}= a^{-n}$
    • Potenzgesetz für Wurzeln: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \quad$ beziehungsweise $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

    Wir können somit die Logarithmen wie folgt berechnen:

    Erste Aufgabe: $~\log_{4}{0{,}5} $

    Wir schreiben $0{,}5$ als Potenz mit Basis $4$:

    $ 0{,}5 = \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4^{0{,}5}} = 4^{-0{,}5}$

    $\Rightarrow \quad \log_{4}{0{,}5} = \color{#00CC99}{-0{,}5}$

    Zweite Aufgabe: $~\log_{5}{0{,}04}$

    Wir schreiben $0{,}04$ als Potenz mit Basis $5$:

    $0{,}04 = \dfrac{1}{25} =\dfrac{1}{5^{2}} =5^{-2}$

    $\Rightarrow \quad \log_{5}{0{,}04} = \color{#00CC99}{-2}$

    Dritte Aufgabe: $~\log_{16}{0{,}5}$

    Wir schreiben $0{,}5$ als Potenz mit Basis $16$:

    $0{,}5 = \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{16}} = \dfrac{1}{16^{0{,}25}} = 16^{-0{,}25}$

    $\Rightarrow \quad \log_{16}{0{,}5} = \color{#00CC99}{-0{,}25}$

  • Formuliere jeweils die passende Potenzgleichung.

    Tipps

    Beispiel:

    $\log_{5}{125}=3 \quad \Leftrightarrow \quad 5^3=125$

    Lösung

    Der Logarithmus ist eine andere Schreibweise für eine Potenzgleichung. Dabei gilt:

    $ \log_{a}{b}=x \quad \Leftrightarrow \quad a^x=b$

    Wir sprechen dabei von:

    • $a$: Basis
    • $b$: Potenzwert
    • $x$: Exponent

    Wir können somit folgende Zusammenhänge bilden:

    • $ \log_{2}{16}=4 \quad \Leftrightarrow \quad 2^4=16$
    • $ \log_{5}{5}=1 \quad \Leftrightarrow \quad 5^1=5$
    • $ \log_{3}{9}=2 \quad \Leftrightarrow \quad 3^2=9$
    • $ \log_{10}{1 000}=3 \quad \Leftrightarrow \quad 10^3=1 000$

  • Ordne die Logarithmen der Größe nach.

    Tipps

    Bestimme zunächst den Wert aller Logarithmen.

    $\log_{a}{1} = 0 ~\Leftrightarrow~ a^0 = 1$

    Beispiel:

    $\log_{4}{0{,}5}$

    Wir schreiben $0{,}5$ als Potenz mit Basis $4$:

    $ 0{,}5 = \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4^{0{,}5}} = 4^{-0{,}5}$

    $\Rightarrow \quad \log_{4}{0{,}5} = -0{,}5$

    Lösung

    Um die Logarithmen ordnen zu können, bestimmen wir zunächst ihren jeweiligen Wert. Dazu benötigen wir die diese Zusammenhänge:

    • Definition des Logarithmus: $a^x=b \quad \Leftrightarrow \quad x= \log_{a}{b}$
    • Potenzgesetz für Brüche: $\dfrac{1}{a^n}= a^{-n}$
    • Potenzgesetz für Wurzeln: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \quad$ beziehungsweise $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$
    $\,$

    Damit ergeben sich die folgenden Werte:

    Erster Logarithmus: $\log_{64}{0{,}25}$

    Wir schreiben $0{,}25$ als Potenz mit Basis $64$:

    $ 0{,}25 = 0{,}5^2 =\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{8}}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{\sqrt[6]{64}}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{64^\frac{1}{6}}\right)^2 =64^{-\frac{2}{6}} = 64^{-\frac{1}{3}}$

    $\Rightarrow \quad \log_{64}{0{,}25} = -\dfrac{1}{3} $

    Zweiter Logarithmus: $\log_{0{,}1}{1}$

    Wir schreiben $1$ als Potenz mit Basis $0{,}1$:

    $0{,}1^0 =1 \quad$ (Jede Zahl hoch $0$ ergibt $1$)

    $\Rightarrow \quad \log_{0{,}1}{1} = 0$

    Dritter Logarithmus: $\log_{0{,}2}{125}$

    Wir schreiben $125$ als Potenz mit Basis $0{,}2$:

    $ 125 = 5^3 = \dfrac{1}{\left(\frac{1}{5}\right)^3} = \dfrac{1}{0{,}2^3} =0{,}2^{-3}$

    $\Rightarrow \quad \log_{0{,}2}{125} = -3$

    Vierter Logarithmus: $\log_{9}{\frac{1}{3}}$

    Wir schreiben $\frac{1}{3}$ als Potenz mit Basis $9$:

    $\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{9}} =9^{-0{,}5} $

    $\Rightarrow \quad \log_{9}{\frac{1}{3}} = -0{,}5$

    Fünfter Logarithmus: $\log_{0{,}01}{0{,}001}$

    Wir schreiben $0{,}001$ als Potenz mit Basis $0{,}01$:

    $ 0{,}001 = 0{,}1^3= (\sqrt{0{,}01})^3 = (0{,}01^{\frac{1}{2}})^3 =0{,}01^\frac{3}{2}$

    $\Rightarrow \quad \log_{0{,}01}{0{,}001} = \dfrac{3}{2}$

    Sechster Logarithmus: $\log_{10}{10\,000}$

    Wir schreiben $10\,000$ als Potenz mit Basis $10$:

    $10\,000 = 10^4$

    $\Rightarrow \quad \log_{10}{10\,000} = 4$

    $\,$

    Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

    $-3 \quad < \quad -0{,}5 \quad < \quad -\dfrac{1}{3} \quad < \quad 0 \quad < \quad \dfrac{3}{2} \quad < \quad 4$

    Beziehungsweise:

    $\log_{0{,}2}{125} \quad < \quad \log_{9}{\frac{1}{3}} \quad < \quad \log_{64}{0{,}25} \quad < \quad \log_{0{,}1}{1} \quad < \quad \log_{0{,}01}{0{,}001} \quad < \quad \log_{10}{10\,000}$

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