Standardabweichung und Varianz bei Zufallsvariablen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist eine Zufallsvariable?
• Der Erwartungswert
• Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße
• Der Erwartungswert von binomial verteilten Zufallsgrößen
• Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsgröße
• Die Standardabweichung
• Die Standardabweichung einer diskreten Zufallsgröße
• Die Standardabweichung von binomial verteilten Zufallsgrößen
• Die Varianz
• Die Varianz einer diskreten Zufallsgröße
• Die Varianz von binomial verteilten Zufallsgrößen
• Die Varianz einer stetigen Zufallsgröße

Was ist eine Zufallsvariable?

Eine Zufallsvariable oder auch Zufallsgröße ist eine Zuordnung, die den Ergebnissen eines Zufallsversuches etwas zuordnet, zum Beispiel eine Zahl. Diese Zufallsvariable wird mit $X$ bezeichnet.

Man unterscheidet zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen.

• Bei diskreten Zufallsgrößen gibt es nur endlich viele Ergebnisse. Du kannst dir zum Beispiel das zehnmalige Werfen eines Würfels vorstellen. Die Zufallsgröße $X$ könnte für die Häufigkeit des Auftretens der gewürfelten Augenzahl $6$ stehen. Dann kann $X$ die Werte $0$, $1$, $2$, ..., $10$ annehmen.
• Bei stetigen Zufallsgrößen gibt es unendlich viele Ergebnisse. Hierfür kannst du dir das folgende Beispiel vorstellen. Du beobachtest an jedem Morgen, wann dein Nachbar das Haus verlässt. Dabei kann dies jede beliebige Zeit, vielleicht in einem gewissen Intervall, sein.

Der Erwartungswert

Der Erwartungswert ($E(X)$ oder auch $\mu$) einer Zufallsvariablen gibt an, welchen Wert die Zufallsgröße im Mittel annimmt. Der Erwartungswert ist ein Lageparameter. Du kennst sicher das arithmetische Mittel. Dies ist der Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße, wenn jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße

Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße $X$ ist wie folgt definiert:

$E(X)=\mu=\sum\limits_{i=1}^nx_i\cdot P(X=x_i)$.

Dabei sind $x_1$, ..., $x_n$ die möglichen Ausprägungen der Zufallsgröße und $P(X=x_i)$ ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Ausprägung $x_i$.

Der Erwartungswert von binomial verteilten Zufallsgrößen

Schaue dir das Beispiel 10-maliges Werfen eines Würfels an. $X$ sei die Zufallsgröße für die Häufigkeit des Auftretens der Augenzahl $6$. Hier liegt eine Binomialverteilung vor. Das bedeutet, dass sich der Erwartungswert wie folgt berechnen lässt:

$E(X)=\mu=n\cdot p=10\cdot \frac16=\frac{10}6=1,\bar6$.

Dabei ist $n$ die Länge der Bernoullikette oder die Häufigkeit der Durchführung eines Experimentes und $p$ die Trefferwahrscheinlichkeit.

Du siehst an diesem Beispiel bereits, dass der Erwartungswert nicht unbedingt ein Wert sein muss, welchen die Zufallsgröße annehmen kann.

Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsgröße

Im Falle einer stetigen Zufallsgröße ist der Erwartungswert definiert als ein Integral:

$E(X)=\mu=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x)dx$.

Dabei ist $f(x)$ die Dichtefunktion der stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Die Standardabweichung

Während der Erwartungswert ein Lageparameter ist, ist die Standardabweichung ($\sigma$) ein Streuungsparameter. Dieser gibt an, wie weit die tatsächlichen Ausprägungen einer Zufallsgröße um den Erwartungswert streuen, also von diesem abweichen. Bei geringer Standardabweichung kannst du davon ausgehen, dass die tatsächlichen Ausprägungen nahe bei dem Erwartungswert liegen. Umgekehrt kannst du bei hoher Standardabweichung folgern, dass die tatsächlichen Ausprägungen weiter von dem Erwartungswert entfernt liegen.

Auch hier kannst du wieder zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen unterscheiden.

Die Standardabweichung einer diskreten Zufallsgröße

Da die Standardabweichung die Abweichung von dem Erwartungswert angibt,

• bildest du für jede Ausprägung die Differenz dieser Ausprägung und des Erwartungswertes,
• quadrierst diese Differenz und
• multiplizierst das Quadrat mit der Wahrscheinlichkeit $P(X=x_i)$.
• Zuletzt addierst du diesen Term für alle Ausprägungen und ziehst die Wurzel aus dieser Summe.

$\sigma=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}=\sqrt{E((X-\mu)^2)}$

Die Standardabweichung von binomial verteilten Zufallsgrößen

Bei einer binomial verteilten Zufallsgröße lässt sich die Standardabweichung etwas einfacher berechnen:

$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\sqrt{\mu\cdot(1-p)}$.

Dies kannst du wieder für das obige Beispiel 10-maliges Werfen eines Würfels, bei dem interessiert, wie wahrscheinlich es ist, eine 6 zu würfeln, anwenden:

$\sigma=\sqrt{10 \cdot \frac16 \cdot (1 - \frac16}) = \sqrt{1,\bar 6\cdot \frac56}=\sqrt{\frac{50}{36}}\approx1,18$. ### Die Standardabweichung einer stetigen Zufallsgröße Die **Standardabweichung** einer steigen Zufallsgröße lässt sich, wie auch der Erwartungswert, mit Hilfe eines Integrals berechnen:

$\sigma=\sqrt{\int\limits_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)\^2\cdot f(x)dx}$.

Die Varianz

Die Varianz ($\text{Var}(X)$ oder auch $\sigma^2$) lässt sich ähnlich wie die Standardabweichung berechen. Jedoch wird am Ende nicht die Wurzel aus dem Produkt gezogen. Dementsprechend ist die Standardabweichung die Wurzel aus der Varianz.

Deshalb wird die Varianz auch als mittlere quadrierte Abweichung bezeichnet.

Die Varianz einer diskreten Zufallsgröße

$\text{Var}(X)=\sigma\^2=\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\mu)\^2\cdot P(X=x_i)=E((X-\mu)\^2)$

Die Varianz von binomial verteilten Zufallsgrößen

$\text{Var}(X)=\sigma\^2=n\cdot p\cdot(1-p)=\mu\cdot(1-p)$

Die Varianz einer stetigen Zufallsgröße

$\text{Var}(X)=\sigma\^2=\int\limits_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)\^2\cdot f(x)dx$