Pascalsches Dreieck – Exkurs

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Pascalsches Dreieck

Pascalsches Dreieck

Die oben abgebildete Grafik geht auf den Mathematiker Blaise Pascal zurück und bietet eine Hilfe, schnell Potenzen von Binomen der Form $(a\pm b)^{n}$ auszumultiplizieren.

Zu erkennen ist, dass sich das untere Feld aus der Summe der beiden jeweils oberen Felder errechnen lässt. Beginne in der Dreieckspitze:

• Für $n=0$ erhältst du das Binom $(a\pm b)^{0} =1$.
• In der zweiten Zeile setzt du $n=1$ und es folgt $(a\pm b)^{1} =1a\pm 1b$.
• Für die Koeffizienten der dritten Zeile ergibt sich $(a\pm b)^{2} = 1a^{2}\pm 2a^{1}b^{1}+1b^{2}$. Du erkennst hier die erste binomische Formel und zweite binomische Formel wieder.

Entsprechend übernimmst du aus der vierten Zeile die Koeffizienten, wenn du mit $3$ potenzierst:

$(a\pm b)^{3} = 1a^{3}\pm 3a{^2}b^{1}+3a^{1}b^{2}\pm 1b^{3}$.

Dieser Vorgang lässt sich in den nachfolgenden Zeilen fortführen. Durch das $\pm$-Zeichen wird deutlich, dass sich bei dem Binom $(a-b)$ die Vorzeichen $-$ und $+$ abwechseln.

Das Pascalsche Dreieck stellt ebenso die Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ dar. Mathematisch kannst du diesen Sachverhalt ausdrücken durch:

$\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} \binom{n}{k+1}$.

In der obigen Gleichung entspricht die Variable $n$ dem Zeilenindex und die Variable $k$ dem Spaltenindex. Die Dreieckspitze beginnt mit $n=0$ und $k=0$, also gilt:

$\binom{0}{0} = 1$.

Anschließend folgt für die nächsten drei Reihen des Pascalschen Dreiecks:

$\begin{array}{ccccccc} && \binom{1}{0} && \binom{1}{1} && \\ & \binom{2}{0} && \binom{2}{1} && \binom{2}{2} & \\ \binom{3}{0} && \binom{3}{1} && \binom{3}{2} && \binom{3}{3} \end{array}$