Pascalsches Dreieck

Pascalsches Dreieck Übung

• Bestimme die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten.

  Tipps

  Übersetze das Ausstrecken der Finger ins Urnenmodell und überlege, ob es sich um Ziehen mit oder ohne Zurücklegen und mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge handelt.

  Die ausgestreckten Finger entsprechen im Urnenmodell den gezogenen Kugeln.

  Den Binomialkoeffizienten $\binom{6}{2} = 15$ kann man mit der Formel

  $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

  ausrechnen oder im Pascalschen Dreieck ablesen. Dort ist es der zweite Eintrag in der sechsten Zeile.

  Lösung

  Das Urnenmodell

  Das Auswahlproblem kann man ins Urnenmodell übersetzen. Die Finger entsprechen den Kugeln in der Urne, das Ausstrecken der Finger entspricht dem Ziehen und die ausgestreckten Finger den gezogenen Kugeln. Da man einen Finger nicht mehrmals ausstrecken kann, handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Die ausgestreckten Finger sind alle gleichzeitig zu sehen und auch ihre räumliche Anordnung ist anatomisch festgelegt. Es handelt sich daher um Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge.

  Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge von $k$ aus $n$ Kugeln bzw. beim Ausstrecken von $k$ aus $n$ Fingern ist der Binomialkoeffizient:

  $\binom{n}{k}$.

  Zwei Finger von zwei Händen

  Zwei Hände haben zusammen $10$ Finger, daher ist beim Ausstrecken von zwei Fingern von zwei Händen $n=10$ und $k=2$. Einsetzen in den Binomialkoeffizienten liefert die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten:

  $\binom{10}{2} =\frac{10!}{2!(10-2)!}= \frac{10 \cdot 9}{2 \dot 1} = 45$.

  Das Ergebnis kannst Du auch am zweiten Eintrag der zehnten Zeile des Pascalschen Dreiecks ablesen.

  Drei Finger einer Hand

  Eine Hand hat fünf Finger, daher ist $n=5$. Für das Ausstrecken von $k=3$ Fingern gibt es

  $\binom{5}{3} =\frac{5!}{3!(5-3)!}= \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$

  verschiedene Möglichkeiten. Statt zu rechnen, kannst Du das Ergebnis auch am dritten Eintrag der fünften Zeile des Pascalschen Dreiecks ablesen.

• Berechne die Anzahl möglicher Kombinationen.

  Tipps

  Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten für eine Auswahl von $k$ aus $n$ ist der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$.

  Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ ist der $k$-te Eintrag in der $n$-ten Zeile des Pascalschen Zahlendreiecks.

  Du kannst den Binomialkoeffizienten auch mit Fakultäten ausrechnen. Beispielsweise ist für die Auswahl von zwei aus sechs Elementen:

  $\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6\cdot 5}{2\cdot 1} = 15$.

  Lösung

  Die Auswahlprobleme entsprechen im Urnenmodell dem Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten beim Ziehen von $k$ aus $n$ Kugeln ist der Binomialkoeffizient:

  $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

  Dieser Binomialkoeffizient ist auch der $k$-te Eintrag in der $n$-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks.

  Aus dieser Vorbemerkung ergeben sich folgende Zuordnungen:

  • Für die Auswahl von zwei aus neun Hunden gibt es $36$ Kombinationsmöglichkeiten.

  • Zur Auswahl von drei aus sechs Mitschülern bestehen $20$ verschiedene Kombinationen.

  • Aus sieben Familienmitgliedern zwei auszuwählen, ist auf $21$ verschiedene Weisen möglich.

  • Die Auswahl von vier aus sieben Katzen führt auf $35$ verschiedene Kombinationen.

  • Für die Auswahl von drei Fingern einer Hand beträgt die Anzahl an Kombinationsmöglichkeiten $10$.

• Bestimme die Werte der Binomialkoeffizienten.

  Tipps

  Beim Ziehen von vier aus sieben Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gibt es

  $\binom{7}{4} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

  verschiedene Ergebnisse.

  Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ ist der $k$-te Eintrag in der $n$-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks.

  Jeder Eintrag des Pascalschen Dreiecks ist die Summe der beiden darüberliegenden Einträge oder $1$.

  Lösung

  Den Binomialkoeffizienten

  $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

  kannst Du entweder mit den Fakultäten ausrechnen oder im Pascalschen Dreieck ablesen. Dort ist $\binom{n}{k}$ der $k$-te Eintrag der $n$-ten Zeile.

  Es ergeben sich daher folgende Zuordnungen:

  $\begin{array}{lll} \binom{10}{4} &=& 210 \\ \\ \binom{8}{4} &=& 70 \\ \\ \binom{11}{2} &=& 55 \\ \\ \binom{8}{3} &=& 56 \\ \\ \binom{12}{3} &=& 220 \end{array} $

• Charakterisiere die Binomialkoeffizienten.

  Tipps

  Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ beschreibt im Urnenmodell die Anzahl der Ergebnisse beim Ziehen von $k$ aus $n$ Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

  Der dritte Eintrag in der fünften Zeile des Pascalschen Dreiecks ist die Summe des zweiten und dritten Eintrags der vierten Zeile.

  Ziehen von $k$ aus $n$ Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge ist äquivalent zum Ziehen (oder Zurücklassen) von $(n-k)$ aus $n$ Kugeln.

  Lösung

  Der Binomialkoeffizient

  $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

  ist der $k$-te Eintrag der $n$-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks. Jeder Eintrag einer Zeile des Pascalschen Dreiecks ist die Summe der beiden darüberliegenden Einträge der vorigen Zeile (oder $1$, wenn es keine zwei solcher Einträge gibt).

  Im Urnenmodell ist der Binomialkoeffizient

  $\binom{n}{k}$

  die Anzahl verschiedener Kombinationen beim Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge von $k$ aus $n$ Kugeln. Dem Ziehen von $k$ Kugeln äquivalent ist das Zurücklassen von $n-k$ Kugeln.

  Aus diesen Überlegungen erhalten wir:

  Korrekte Formeln

  • $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$: der $k+1$-te Eintrag der Zeile $n+1$ ist die Summe der Einträge $k$ und $k+1$ der darüberliegenden $k$-ten Zeile.

  • $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$: dies ist die Definition des Binomialkoeffizienten.

  • $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$: dem Ziehen oder Auswählen von $k$ Kugeln äquivalent ist das Zurücklassen oder Auswählen von $n-k$ Kugeln in der Urne.

  • $\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$: dies ist ein Spezialfall der vorigen Formel, denn $2n-n=n$.

  Falsche Formeln

  • $\frac{n!}{k! (n+k)!}$: die Definition des Binomialkoeffizienten hat $(n-k)!$ im Nenner.

  • $\binom{n}{k} = \binom{2n}{2k}$: die Fakultäten sind falsch gekürzt. Im Zähler steht $(2n)!$, nicht $2 \cdot n!$.

  • $\binom{2n}{n} = \frac{2 \cdot n!}{n^2 !}$: hier sind die Quadrate, Multiplikation und Fakultäten vertauscht.

• Beschrifte das Pascalsche Dreieck.

  Tipps

  Das Pascalsche Dreieck ist spiegelsymmetrisch zur Mittelsenkrechten der Grundseite: in der ersten Zeile z. B. steht links und rechts dieselbe Zahl, nämlich $1$.

  Die Einträge jeder neuen Zeile berechnen sich aus der Summe der beiden darüberliegenden Einträge der vorherigen Zeile. Der erste Eintrag in der vierten Zeile z.B. ist die Summe aus dem nullten Eintrag und dem ersten Eintrag der dritten Zeile.

  Den $k$-ten Eintrag in der $n$-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks kannst Du auch mit der Formel:

  $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

  ausrechnen.

  Lösung

  Das Pascalsche Dreieck wird rekursiv aufgebaut, d. h., die Einträge jeder neuen Zeile sind bestimmt durch die Einträge der jeweils darüberliegenden Zeile. Das Dreieck beginnt in der Spitze mit $1$. Dies ist die Zeile $0$. In der ersten Zeile steht zweimal $1$.

  In jeder neuen Zeile ist jeder Eintrag die Summe der beiden darüberliegenden Einträge der jeweils vorigen Zeile oder $1$. Die Einträge $1$ entstehen immer am Rand, denn in der darüberliegenden Zeile stehen dann keine zwei Einträge.

  Für die zweite Zeile haben wir also die Einträge $1$, $2$, $1$. In der dritten Zeile steht $1$, $3$, $3$, $1$. Die $3$ ergibt sich aus der Summe der Einträge $1$ und $2$ bzw. $2$ und $1$ in der Zeile darüber. Nach diesem Prinzip kannst Du Schritt für Schritt jede Zeile des Pascalschen Dreiecks ausrechnen.

  Der Eintrag ganz links in jeder Zeile ist der $0$-te Eintrag, danach kommen in der $n$-ten Zeile von links nach rechts die Einträge mit Nummern $1$ bis $n$. Der $k$-te Eintrag in der $n$-ten Zeile ist dann der Binomialkoeffizient:

  $\binom{n}{k}$.

• Analysiere die Auswahlsituationen.

  Tipps

  Übersetze die Situationen in das Urnenmodell und überlege jeweils, ob es sich um Ziehen mit oder ohne Zurücklegen und mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge handelt.

  Lösung

  Die verschiedenen Auswahlsituationen lassen sich ins Urnenmodell übersetzen. Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ gibt die Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge von $k$ aus $n$ Kugeln an. Wir gehen die einzelnen Beispiele durch, um zu klären, ob sie im Urnenmodell diesem Fall entsprechen.

  Richtig ist die Beschreibung folgender Fälle:

  • „Pablos Mutter backt Pizza. Ihr stehen sieben verschiedene Beläge zur Auswahl. Wenn auf jeder Pizza jeder Belag höchstens einmal verwendet wird, beträgt die Anzahl verschiedener Pizzen mit jeweils drei Belägen $\binom{7}{3}$.“ Da jeder Belag nur einmal vorkommen darf, handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Die Reihenfolge der Pizzabeläge ist spätestens nach dem Backen nicht mehr unterscheidbar. Daher handelt es sich korrekt um Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge.

  • „Mit seinen Freunden spielt Pablo Karten. Aus $36$ verschiedenen Karten werden nacheinander sieben Karten gezogen. Diese sieben Karten werden nach dem Kartenwert geordnet. Die Anzahl verschiedener Ziehungen beträgt $\binom{36}{7}$.“ Das Kartenspiel besteht aus $36$ verschiedenen Karten. Jede gezogene Karte kann nicht wieder gezogen werden, daher handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Die gezogenen Karten werden nach dem Kartenwert geordnet (wie die Lottozahlen), daher handelt es sich um Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge.

  Falsch sind folgende Beschreibungen:

  • „Pablos Fahrradschloss besteht aus vier Ringen mit den Ziffern von $0$ bis $9$. Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten des Zahlenschlosses ist $\binom{10}{4}$.“ Jeder der Ringe hat $10$ Ziffern, die sich unabhängig voneinander einstellen lassen. Die Reihenfolge der Ziffern ist für die Zahlenkombination entscheidend, daher handelt es sich um Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge.

  • „Pablos Tuschkasten hat zwölf Farben. Er malt alle möglichen Regenbögen mit je fünf verschiedenen Farben. Das macht $\binom{12}{5}$ verschiedene Regenbögen.“ Da jede Farbe nur einmal vorkommen darf, handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Aber Regenbögen mit unterschiedlicher Farbreihenfolge sind verschieden. Es handelt sich also um Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge.

  • „Manchmal spielt Pablo auch Billard. Dabei gibt es $15$ Kugeln, die in $6$ Löcher gespielt werden können. Die Anzahl möglicher Kombinationen der Löcher der ersten drei eingelochten Kugeln beträgt $\binom{6}{3}$.“ Die Auswahl der eingelochten Kugeln ist ein Fall von Ziehen ohne Zurücklegen, da eine eingelochte Kugel nicht mehr zur Verfügung steht. Bei der Auswahl der Löcher allerdings handelt es sich um Ziehen mit Zurücklegen, denn jedes Loch kann mehrmals verwendet werden. Je nach Spielform mag die Reihenfolge der Löcher eine Rolle spielen oder auch nicht.