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Pascalsches Dreieck

Das pascalsche Dreieck visualisiert Binomialkoeffizienten in einer regelmäßigen Struktur. Jede Zeile hat einen Eintrag mehr, dadurch werden verschiedene mathematische Anwendungen wie binomiale Formeln und Kombinatorik veranschaulicht. Möchtest du mehr über die praktische Anwendung und Berechnung des Binomialkoeffizienten erfahren? Klicke hier für alle Details!

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Wie lautet der Binomialkoeffizient (42){4 \choose 2} im pascalschen Dreieck?

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Team Digital
Pascalsches Dreieck
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Grundlagen zum Thema Pascalsches Dreieck

Pascalsches Dreieck – Definition

Das pascalsche Dreieck ist ein Dreieck, welches die Binomialkoeffizienten (nk){n \choose k} (gesprochen „nn über kk”) graphisch darstellt. Es beginnt oben an der Spitze mit der 0.0. Zeile mit nur einem Eintrag. Mit jeder Zeile kommt ein weiterer Eintrag hinzu. Das pascalsche Dreieck lässt sich beliebig erweitern.
Mithilfe des pascalschen Dreiecks lässt sich der Binomialkoeffizient direkt ablesen. Eine weitere Anwendung findet das pascalsche Dreieck bei der Erweiterung von binomischen Formeln mit größeren Exponenten (z.B.: (a+b)3(a+b)^3).

Pascalsches Dreieck Konstruktion des pascalschen Dreiecks
Das pascalsche Dreieck lässt sich wie folgt konstruieren:
* 0.0. Zeile: Besteht nur aus dem 0.0. Eintrag mit dem Wert 11.
* 1.1. Zeile: Besteht aus dem 0.0. und dem 1.1. Eintrag mit jeweils dem Wert 11.
* 2.2. Zeile: Besteht aus dem 0.0. und dem 2.2. Eintrag mit jeweils dem Wert 11 und dem 1.1. Eintrag, welcher sich aus der Addition der darüberliegenden Werte zusammensetzt. 1+1=21 + 1=2:

  1   1 1 1 2 1\begin{array}{ccccc} ~&~&1&~&~ \\ ~&\underline{1}&~&\underline{1}&~ \\ 1&~&\underline{2}&~&1 \end{array}

  • weitere Zeilen: Mit jeder Zeile kommt ein weiterer Eintrag hinzu. Jeweils der 0.0. sowie der letzte Eintrag einer Zeile haben den Wert 11. Alle anderen Einträge lassen sich ermitteln, indem man die beiden darüberliegenden Einträge addiert. Im Folgenden ist die Konstruktion der dritten Zeile mit der Rechnung 1+2=31 +2 =3 zu sehen:

  1   1 1 1 2 11 3 3 1\begin{array}{ccccccc} &~&~&1&~&~ &\\ &~&1&~&1&~& \\ &\underline{1}&~&\underline{2}&~&1& \\ 1&~&\underline{3}&~&3&~&1 \\ \end{array}

Binomialkoeffizient am pascalschen Dreieck ablesen Pascalsches Dreieck – Binomialkoeffizient In der Kombinatorik muss bei der Bestimmung von Möglichkeiten, ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen, der Binomialkoeffizient (nk){n \choose k} berechnet werden. Dies kann man entweder mit der Formel
(nk)=n!k!(nk)!{n \choose k}= \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}
machen oder die Einträge des pascalschen Dreiecks zu Hilfe nehmen. Dabei steht der Eintrag für (nk){n \choose k} in der nn-ten Zeile bei dem kk-ten Eintrag. Es ist stets zu beachten, dass die Zählung bei 00 beginnt.

Beispiel: Binomialkoeffizient am pascalschen Dreieck ablesen

  • (30){3 \choose 0}: Der Binomialkoeffizient ist der 0.0. Eintrag der 3.3. Zeile und ist damit 11. Berechnet man diesen mit der Formel (30)=3!0!(30)!=3!13!=1{3 \choose 0}= \frac{3!}{0!\cdot (3-0)!} = \frac{3!}{1 \cdot 3!} = 1, so sieht man, dass der Eintrag des pascalschen Dreiecks identisch damit ist.
  • (42){4 \choose 2}: Der Binomialkoeffizient ist der 2.2. Eintrag der 4.4. Zeile und ist damit 66.
  • (54){5 \choose 4}: Der Binomialkoeffizient ist der 4.4. Eintrag der 5.5. Zeile und ist damit 55.

             1       1 1     1 2 1   1 3 3 1 1 4 6 4 11 5 10 10 5 1\begin{array}{ccccccccccc} &~&~&~&~&~&~&~&~ &~&\\ &~&~&~&~&1&~&~ &~&~&\\ &~&~&~&1&~&1&~&~&~& \\ &~&~&1&~&2&~&1&~&~& \\ &~&\underline{1}&~&3&~&3&~&1&~& \\ &1&~&4&~&\underline{6}&~&4&~&1& \\ 1&~&5&~ &10 &~&10&~&\underline{5}&~&1 \\ \end{array}

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Pascalsches Dreieck anwenden

Das pascalsche Dreieck wird für die Bestimmung von Binomialkoeffizienten (nk){n \choose k} benutzt.
Des Weiteren kann es hilfreich sein bei der Berechnung von Binomen höherer Potenzen (z.B.: (a+b)3(a+b)^3). Hierbei gibt der Exponent die Zeilenanzahl an. Die Anzahl der Einträge gibt die Anzahl der Summanden nach dem Auflösen der Klammer an. Die Einträge selbst geben die Koeffizienten der einzelnen Summanden an.
* 0.0. Zeile: (a+b)0=1(a+b)^0 = 1
* 1.1. Zeile: (a+b)1=1a1+1b1(a+b)^1 = 1a^1 + 1b^1
* 2.2. Zeile: (a+b)2=1a2+2a1b1+1b2(a+b)^2 = 1a^2 + 2a^1b^1 + 1b^2
* 3.3. Zeile: (a+b)3=1a3+3a2b1+3a1b2+1b3(a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b^1 + 3a^1b^2 + 1b^3 Eine weitere Anwendung liegt in der Bestimmung von Zweierpotenzen. Die Summe der einzelnen Einträge einer jeden Zeile entspricht der Zweierpotenz der jeweiligen Zeile. So lässt sich beispielsweise 242^4 bestimmen, indem alle Einträge der 4.4. Zeile aufsummiert werden:
24=1+4+6+4+1=162^4 = 1+4+6+4+1=16
24=2222=162^4 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16

          1     1 1   1 2 1 1 3 3 11 4 6 4 1\begin{array}{ccccccccc} &~&~&~&~&~&~ &~&\\ &~&~&~&1&~&~ &~&\\ &~&~&1&~&1&~&~& \\ &~&1&~&2&~&1&~& \\ &1&~&3&~&3&~&1& \\ \underline{1}&~&\underline{4}&~&\underline{6}&~&\underline{4}&~&\underline{1} \\ \end{array}

Transkript Pascalsches Dreieck

Auch Genies fangen mal klein an. Und ohne Übung kein Meister, also heißt es: üben, üben, üben! Der junge Pablo Picasso bekommt deshalb von seiner Zeichenlehrerin jede Menge Hausaufgaben. Er darf sich dabei immer eine von zwei Aufgaben aussuchen. Zur nächsten Stunde lautet die erste Aufgabe: Er soll alle möglichen Gruppenbilder von drei seiner sechs Mitschüler zeichnen. Also ein Bild von Peter, Polly und Pim. Ein Bild von Peter, Pim und Peggy. Ein Bild von Pim, Pascal und Paula und so weiter. Bis er alle Kombinationen durch hat. Oder er wählt Aufgabe 2 und malt alle möglichen Paarungen seiner sieben Familienmitglieder. Also einmal Onkel Heinz mit Tante Frieda einmal Tante Frieda mit seiner Mutter einmal seine Mutter mit seinem Bruder und so weiter. Ständig bekommt er solche Auswahl-Aufgaben: Zum Beispiel soll er ein anderes Mal alle möglichen Bilder von 4 von 7 streunenden Katzen malen also in einem Bild die schwarz getigerte, die rot getigerte, die mit den weißen Ohren und die graue in einem zweiten Bild die weiße, die graue und die zwei getigerten Katzen und so weiter bis er auch hier alle Kombinationen zusammen hat. Oder - und das ist Alternative - er malt alle möglichen zweier-Kombinationen von den neun Hunden, die immer vor der Zeichenschule herumlungern. Also ein Bild mit dem Bernhardiner und dem Mops, ein Bild mit dem Mops und dem Beagle und so weiter. Wieder ein anderes Mal wird er vor folgende Alternative gestellt: Entweder alle möglichen Kombinationen einer rechten Hand mit drei ausgestreckten Fingern zeichnen oder alle möglichen Kombinationen, wie an beiden Händen insgesamt zwei Finger ausgestreckt sein können. Pablo ist aber schlau und überlegt sich immer, welche der beiden Optionen weniger Aufwand bedeutet. Hätte er schon ein bisschen Kombinatorik in der Schule gehabt, wüsste er, dass er solche Probleme mit Binomialkoeffizienten lösen könnte. Die Aufgaben sind nämlich immer von der Art "Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge". Bei den ausgestreckten Fingern kann man ja schlecht einen Finger mehrfach ausstrecken und da alle Finger gleichzeitig zu sehen sind, ist die Reihenfolge auch egal. Irgendwie ist das doch bei allen diesen Aufgaben so! Aber Kombinatorik stand an der Zeichenschule noch nicht auf dem Stundenplan – gibt es einen schnellen Weg, um Binomialkoeffizienten auszurechnen, für den man nicht so viel rechnen muss? Den gibt es: das Pascal'sche Dreieck. Beim Pascal'schen Dreieck geht es nicht um Flächen oder Winkel! Stattdessen werden Zahlen in einer dreieckigen Form angeordnet. Ganz oben steht eine 1. Damit später alles zusammenpasst, nennen wir die oberste Zeile die nullte Zeile – und den vordersten Eintrag in jeder Zeile den nullten Eintrag. Die Zeile darunter ist dann die erste Zeile. Und in sie schreiben wir eine 1 und nochmal eine 1. Dann gehts los: in die nächste Zeile kommt zuerst eine 1 und dann die Summe der beiden Zahlen aus der Zeile darüber, also eine 2 und dann wieder eine 1. So geht es weiter: immer schreiben wir eine neue 1, dann an jeder Stelle die Summe der beiden darüberliegenden Zahlen...und am Ende wieder eine 1. So bildet sich Zeile für Zeile das Dreieck. Die nächste Zeile lautet dann 1, 3, 3, 1. Und die darauffolgende 1, 4, 6, 4, 1 und so weiter. Und der Clou an der Sache? Die Einträge des Pascal'schen Dreiecks entsprechen genau den Ergebnissen der Binomialkoeffizienten. Dabei gibt die Zeilennummer die obere Zahl des Binomialkoeffizienten vor und die Nummer des Eintrags die untere Zahl des Binomialkoeffizienten. Also ist der Binomialkoeffizient in der nullten Zeile und der nullten Spalte "Null über Null" - und das ist 1. Betrachten wir nun Zeile 1: Weil die Zeilennummer die oberen Zahlen der Binomialkoeffizienten angibt steht dort jeweils eine 1. Die Einträge geben dann die unteren Zahlen vor: Also ist in Zeile 1 der nullte Eintrag gerade "1 über 0" und der erste Eintrag "1 über 1". Die sind beide gleich 1. So geht es weiter: in Zeile n ist Eintrag Nummer k gleich "n über k". Das kann man natürlich auch über die Definition der Binomialkoeffizienten ausrechnen: "n über k" ist gleich "n Fakultät" geteilt durch "k Fakultät" mal "n minus k Fakultät". Aber merk dir immer: die Einträge im Pascal'schen Dreieck sind eben gleich der Summe aus den beiden darüberliegenden Einträgen. Also, wie war das mit den Fingern? Pablo hatte die Wahl, entweder alle möglichen Bilder zu malen, in denen 3 Finger einer Hand ausgestreckt sind oder alle mit 2 ausgestreckten Fingern von zwei Händen. Rechnen wir doch einfach mal die entsprechenden Binomialkoeffizienten aus. Für Variante 1 ist das "5 über 3" — wir wollen ja alle möglichen Kombinationen von Bildern mit 3 von 5 Fingern einer Hand. "5 über 3" ist dann gleich "5 Fakultät durch 3 Fakultät mal 2 Fakultät". Wenn wir die Fakultäten ausschreiben und dann kürzen bleibt "5 mal 2" übrig, also 10. Die zweite Variante: "10 über 2", da wir 2 Finger aus den 10 Fingern von 2 Händen ausstrecken wollen. "10 über 2" können wir genauso ausrechnen: Wir erhalten "10 Fakultät durch 2 Fakultät mal 8 Fakultät". Das ergibt "10 mal 9" Halbe also "5 mal 9" – und das ist 45. Stimmt das mit dem Pascal'schen Dreieck überein? Wir suchen den 3. Eintrag in der 5. Zeile. Und dort steht tatsächlich eine 10! Für die zweite Hausaufgabe müssen wir in Zeile 10 Eintrag 2 heraussuchen und der lautet 45! Das passt ja wirklich zusammen! Weniger zu tun hätte Pablo also, wenn er alle möglichen Zeichnungen von 3 ausgestreckten Fingern an einer Hand anfertigt. Und bei der zweiten Hausaufgabe? Das waren entweder 3 von 6 Mitschülern oder 2 von 7 Familienmitgliedern. Dann schauen wir doch mal im Pascal'schen Dreieck nach. Zeile Nummer 6, Eintrag Nummer 3 lautet 20. Und Zeile 7, Eintrag 2, 21. Also lieber die Mitschüler zeichnen! Zuletzt noch: Katzen oder Hunde? 2 aus 9 Hunden oder 4 aus 7 Katzen zu zeichnen war die Alternative. Ab ans Dreieck! Zeile 7, Eintrag 4 ist 35 und Zeile 9, Eintrag 2, 36. Und damit sollte Pablo lieber die Katzenbilder zeichnen. Ob deshalb das Internet voll davon ist? Wir fassen zusammen. Das Pascal'sche Dreieck ist eine Anordnung von Zahlen in einem dreieckigen Schema. Dabei ist jeder Eintrag gleich der Summe aus den beiden Einträgen darüber. Wenn da nichts steht, ist der Eintrag 1. Außerdem entspricht jeder Eintrag einem Binomialkoeffizienten: in Zeile n ist Eintrag k gleich "n über k". Achte darauf, dass Zeilen und Einträge im Pascal'schen Dreieck aber immer bei 0 anfangen! Mit dem Pascal'schen Dreieck kannst du also leicht die Möglichkeiten beim Ziehen von k Elementen aus n bestimmen – wenn dabei die Reihenfolge egal ist und nicht zurückgelegt wird. Pablo hat mittlerweile eine neue Hausaufgabe bekommen: Er soll alle Bilder zeichnen, in denen jeweils 4 seiner 8 Lehrer vorkommen. Viel zu aufwändig. Pablo Picasso geht dann lieber einen kreativeren Weg.

5 Kommentare
  1. 👍

    Von nemmoklliW, vor etwa 3 Jahren
  2. Ich konnte durchs video alles gut verstehen hat gut geklappt

    Von Daniela D., vor fast 4 Jahren
  3. voll gut erklärt

    Von Yiren Y., vor etwa 5 Jahren
  4. wie lol
    sau cool
    mega geil

    Von Yiren Y., vor etwa 5 Jahren
  5. gutes Video

    Von valentina r., vor mehr als 5 Jahren

Pascalsches Dreieck Übung

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