Wurzel aus zwei – Irrationalität

Wurzel aus zwei – Irrationalität Übung

• Gib wieder, warum Widerspruchsbeweise funktionieren.

  Tipps

  Der Widerspruchsbeweis basiert darauf, dass das logische Gegenteil einer Aussage durch einen Widerspruch widerlegt wird, wodurch die ursprüngliche Aussage bewiesen ist.

  Ein Widerspruch ist dann erzeugt, wenn aus der Gegenannahme logisch eine Aussage hergeleitet wird, die nicht gleichzeitig mit der Gegenannahme wahr sein kann.

  Die Abkürzung „q. e. d.“ steht für „quod erat demonstrandum“.

  Lösung

  Die Reihenfolge der Schritte zu einem erfolgreichen Widerspruchsbeweis ist immer gleich.

  Sich klarmachen, was überhaupt zu tun ist, ist immer der erste Schritt beim Lösen eines Problems. In unserem Fall heißt das:

  • Zuerst formuliert man die zu beweisende Aussage.

  Da wir die Gegenaussage widerlegen wollen, müssen wir diese jetzt aus der ursprünglichen Aussage herleiten:

  • Zu dieser Aussage formuliert man dann die Gegenaussage, also das logische Gegenteil der ursprünglichen Aussage.

  Diese Gegenaussage wollen wir nun auf einen Widerspruch führen.

  • Ausgehend von der Annahme, dass die Gegenaussage wahr ist, wird durch Rechnungen ein Widerspruch erzeugt.

  Hier liegt der schwierigste Teil des Widerspruchsbeweises, da wir vorher nicht wissen, auf welchem Weg wir zum Widerspruch gelangen. Es kann also sein, dass wir erst einmal einige Rechnungen ausprobieren müssen. In jedem Fall sind wir dann bei einem Widerspruch angelangt.

  • Wenn ein Widerspruch gefunden werden kann, bedeutet das, dass die Gegenannahme falsch ist.

  Wir folgern aus der Gegenaussage logisch eine Behauptung, die aber in keinem Fall gleichzeitig mit der Gegenaussage wahr sein kann. Damit muss jedoch die Gegenannahme falsch sein.

  • Wenn die Gegenaussage falsch ist, muss die ursprüngliche Aussage richtig sein.

  Haben wir bewiesen, dass die Gegenannahme falsch ist, muss ihr Gegenteil richtig sein. Das ist aber die ursprüngliche Aussage.

  Wir haben es demnach schon geschafft. Als Zeichen dafür, dass ein Beweis abgeschlossen ist, verwenden Mathematiker einen bestimmten Schriftzug:

  • Damit ist also die Richtigkeit der ursprünglichen Aussage bewiesen. Das war das Ziel und deshalb schreibt man:

  q. e. d.

  Das ist die lateinische Abkürzung für „quod erat demonstrandum“, was so viel heißt wie „was zu beweisen war“.

• Schildere den Widerspruchsbeweis zur Irrationalität von $\sqrt{2}$.

  Tipps

  $\sqrt{2} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ bedeutet, dass $\sqrt{2}$ im Zahlenraum der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ohne die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ liegt.

  Um eine Wurzel in einer Gleichung verschwinden zu lassen, kannst du beide Seiten quadrieren.

  Multipliziert man eine ganze Zahl mit $2$, ist das Ergebnis immer eine gerade Zahl.

  Ein Widerspruch tritt auf, wenn du durch korrekte Rechnungen ein Ergebnis erhältst, das logisch keinen Sinn ergibt.

  Lösung

  Wir beginnen mit der zu beweisenden Aussage. Diese lautet:

  $\sqrt{2} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$

  Das bedeutet, dass die Zahl $\sqrt{2}$ irrational ist.

  Das logische Gegenteil davon lautet:

  $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$

  In Worten bedeutet das: $\sqrt{2}$ ist rational.

  Eine rationale Zahl können wir als vollständig gekürzten Bruch schreiben, also

  $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, wobei $\frac{p}{q}$ vollständig gekürzt sein muss.

  Diese Gleichung stellen wir um:

  $\sqrt{2} = \frac{p}{q} \Leftrightarrow$

  $2 = \frac{p^2}{q^2} \Leftrightarrow$

  $p^2=2q^2$

  Die Gleichung haben wir hier quadriert und mit $q^2$ multipliziert.

  Wir wissen jetzt, dass $p^2$ gerade sein muss. Das erkennen wir daran, dass $p^2$ gleich zweimal eine andere Zahl ist, nämlich:

  $p^2=2q^2$

  Das bedeutet, dass auch $p$ gerade sein muss, denn nur gerade Zahlen haben gerade Quadratzahlen.

  Deshalb können wir $p$ durch eine andere Zahl $r$ ausdrücken:

  $p=2r$

  Setzen wir das in die Gleichung ein und formen um, dann erhalten wir für $q^2$:

  $q^2=2 r^2$

  (Um den Beweis voranzubringen, ergibt es Sinn, $p$ so umzuschreiben. Dieser Schritt ist nicht offensichtlich. Man muss ihn durch Ausprobieren herausfinden.)

  Aus demselben Grund wie oben muss $q$ gerade sein.

  Wir können also schreiben:

  $q=2s$

  Damit haben wir einen Widerspruch erzeugt. (Und die Gegenannahme widerlegt.) Setzen wir die beiden Zahlen ein, dann erhalten wir:

  $\sqrt{2} = \frac{p}{q}=\frac{2r}{2s}$

  Das ist kein vollständig gekürzter Bruch mehr.

  Daraus folgt, dass $\sqrt{2}$ keine rationale Zahl ist. Sie muss also irrational sein.

  q. e. d.

• Bestimme, welche Zahlen irrational sind.

  Tipps

  Die Dezimalschreibweise einer irrationalen Zahl bricht niemals ab, ist aber auch nicht periodisch.

  Lösung

  • $\sqrt{2}$, $\pi$, $\sqrt{5}$ und $-\sqrt{7}$ sind irrationale Zahlen, da ihre Dezimalschreibweise niemals abbricht, aber auch nicht periodisch ist.

  • Für $\sqrt{9}$, $-5$, $\frac{5}{2}$, $8$, $5,656$, $\frac{6}{2}$, $3,\bar{3}$ und $\frac{10}{3}$ ist dies nicht der Fall. Ihre Dezimalschreibweise hat ein Ende. Sie sind also rationale Zahlen. Für einige dieser Zahlen ist das nicht offensichtlich.

  Beispiele:

  $\sqrt{9}=3$, also ist $\sqrt{9}$ rational, obwohl es eine Wurzel ist.

  $3,\bar{3}$ kann man auch als Bruch schreiben, nämlich $3,\bar{3}=\frac{10}{3}$. Also ist auch diese Zahl rational.

• Zeige, dass $\sqrt{6}$ irrational ist.

  Tipps

  Zuerst stellt man die Aussage auf und verneint diese logisch.

  Die Rechnung führt zu einem Widerspruch.

  Die Argumentation ist analog zum Widerspruchsbeweis der Wurzel aus $2$.

  Lösung

  Die Elemente müssen in dieser Reihenfolge stehen:

  • Er stellt zuerst die Aussage auf:

  $\sqrt{6} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$

  • Und formuliert das logische Gegenteil:

  $\sqrt{6} \in \mathbb{Q}$

  • Eine rationale Zahl lässt sich schreiben als

  $\sqrt{6} = \frac{p}{q}$, wobei $\frac{p}{q}$ vollständig gekürzt sein muss.

  Er stellt die Gleichung um und erhält:

  $\sqrt{6} = \frac{p}{q} \Leftrightarrow$

  $6 = \frac{p^2}{q^2} \Leftrightarrow$

  $p^2=6q^2$

  • Boris Brecher weiß jetzt, dass $p^2$ gerade sein muss, denn es gilt:

  $p^2=6q^2 =2 \cdot 3 q^2$

  Hier wird eine Zahl ($3q^2$) mit einer geraden Zahl ($2$) multipliziert. Das Ergebnis ist immer gerade.

  Damit ist auch $p$ gerade.

  • Deshalb kann er $p$ durch eine andere Zahl $r$ ausdrücken:

  $p=2r$

  Damit folgt für $3q^2$:

  $3q^2= 2r^2$

  $3q^2$ ist also eine gerade Zahl. $3$ ist aber ungerade. Dann muss $q^2$ gerade sein, denn wenn man zwei ungerade Zahlen multipliziert, ergibt das wieder eine ungerade Zahl.

  Also kann er schreiben:

  $q=2s$

  • Das aber erzeugt einen Widerspruch! Wenn er die beiden Zahlen einsetzt, erhält er:

  $\sqrt{6} = \frac{p}{q}=\frac{2r}{2s}$

  Das ist kein vollständig gekürzter Bruch mehr.

  • Daraus folgt, dass die Wurzel aus $6$ keine rationale Zahl ist. Sie muss also irrational sein.

  q. e. d.

• Bestimme die korrekten Aussagen.

  Tipps

  Die Rechengesetze der Mathematik darf man nicht brechen.

  Eine rationale Zahl kannst du immer als Bruch schreiben.

  Alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl sind reelle Zahlen.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  • Ein Widerspruch wird durch falsch angewandte Rechengesetze erzeugt.

  Die Rechengesetze der Mathematik müssen immer korrekt angewandt werden und dürfen nicht gebrochen werden.

  • Eine reelle Zahl kann niemals irrational sein.

  Der Zahlenraum der reellen Zahlen umfasst alle Zahlen des Zahlenstrahls, also auch irrationale Zahlen.

  Diese Aussagen sind wahr:

  • Bei Widerspruchsbeweisen muss man eine Gegenannahme formulieren.

  Bei Widerspruchsbeweisen formuliert man zunächst eine Aussage, die dann logisch verneint werden muss.

  • Irrationale Zahlen kann man nicht als Bruch schreiben.

  Irrationale Zahlen sind Zahlen, die nicht als Bruch geschrieben werden können.

  • Irrationale Zahlen sind auch reelle Zahlen.

  Der Zahlenraum der reellen Zahlen umfasst alle Zahlen des Zahlenstrahls, also auch irrationale Zahlen.

• Bestimme die korrekten Aussagen.

  Tipps

  Die wichtige Eigenschaft beim Beweis der Irrationalität von $\sqrt{2}$ war, dass beide Zahlen gerade sind.

  Lösung

  Die folgenden Aussagen sind falsch:

  • Es gibt einen Widerspruchsbeweis für die Irrationalität von $\sqrt{3}$, in dem Folgendes genutzt wird: Stehen im Zähler und im Nenner eines Bruches zwei gerade Zahlen, dann kann man den Bruch kürzen.

  Im Beweis der Irrationalität von $\sqrt{3}$ würde wohl eher ein Bruch mit zwei ungeraden Zahlen auftauchen. Tatsächlich läuft der Beweis aber etwas anders.

  • Es gibt einen Widerspruchsbeweis für die Irrationalität von $\sqrt{4}$, in dem Folgendes genutzt wird: Stehen im Zähler und im Nenner zwei gerade Zahlen, dann kann man den Bruch kürzen.

  Da $\sqrt{4}$ nicht irrational ist, gibt es keinen korrekten Beweis dafür:

  $\sqrt{4}=2$

  • Bei einem Widerspruchsbeweis kann man ebenfalls annehmen, dass das Gegenteil der zu beweisenden Aussage falsch ist. So kommt man auch auf einen Widerspruch.

  Man muss immer annehmen, dass die Aussage wahr ist. Denn nur so lässt sich ein Widerspruch schlussfolgern.

  • Mit dem Widerspruchsbeweis kann man nur Aussagen über die Irrationalität von Zahlen treffen.

  Der Widerspruchsbeweis ist vielseitig anwendbar. Der Beweis der Irrationalität von Zahlen ist eine seiner Anwendungen.

  Diese Aussagen sind wahr:

  • Es gibt einen Widerspruchsbeweis für die Irrationalität von $\sqrt{10}$, in dem Folgendes genutzt wird: Stehen im Zähler und im Nenner eines Bruches zwei gerade Zahlen, dann kann man den Bruch kürzen.

  Analog zu den Beweisen zur Irrationalität von $\sqrt{2}$ und zur Irrationalität von $\sqrt{6}$ genutzt man auch bei $\sqrt{10}$ und bei allen anderen irrationalen Wurzeln von geraden Zahlen diesen Satz.

  • Im Unterschied zum Widerspruchsbeweis nutzt man beim direkten Beweis Aussagen, die als wahr bekannt sind. Man nutzt logische Schlüsse, um aus ihnen die zu beweisende Aussage direkt zu folgern.

  Das ist das Vorgehen bei einem direkten Beweis.