Vektorräume – Beispiele

Vektorräume – Beispiele Übung

• Beschreibe, wie das Kommutativgesetz sowie Assoziativgesetz der Addition im $\mathbf{R}^2$ nachgewiesen werden können.

  Tipps

  Verwende das Kommutativgesetz der Addition der reellen Zahlen: $a+b=b+a$.

  Verwende das Assoziativgesetz der Addition der reellen Zahlen: $(a+b)+c=a+(b+c)$.

  Lösung

  Alle Vektorraumeigenschaften mit der hier erklärten Addition können Koordinate für Koordinate geführt werden.

  Das Kommutativgesetz $\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$

  $\vec a+\vec b=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \end{pmatrix}$.

  Nun können in jeder Koordinate die Reihenfolge der Addition vertauscht werden:

  $\begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1+a_1 \\ b_2+a_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$.

  Auf der rechten Seite steht die Summe der beiden Vektoren $\vec b+\vec a$.

  Das Assoziativgesetz $(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$

  $(\vec a+\vec b)+\vec c=\left(\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}\right)+\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (a_1+b_1)+c_1 \\ (a_2+b_2)+c_2 \end{pmatrix}$.

  Nun kann in jeder Koordinate das Assoziativgesetz der Addition der reellen Zahlen angewendet werden:

  $\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} (a_1+b_1)+c_1 \\ (a_2+b_2)+c_2 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} a_1+(b_1+c_1) \\ a_2+(b_2+c_2) \end{pmatrix}\\\\ &=&\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}\right)\\\\ &=&\vec a+(\vec b+\vec c) \end{array}$.

  Damit ist das Assoziativgesetz nachgewiesen.

• Vervollständige den Nachweis des neutralen Elementes sowie des Assoziativgesetzes der Multiplikation im $\mathbb{R}^2$.

  Tipps

  Du kannst verwenden, dass im Bereich der reellen Zahlen

  • $1\cdot a=a$ sowie
  • $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

  gelten.

  Du führst die jeweiligen Nachweise koordinatenweise.

  Lösung

  Sowohl das neutrale Element als auch das Kommutativgesetz der Multiplikation werden für jede Koordinate geführt.

  Das neutrale Element $1\cdot \vec a=\vec a$

  $1\cdot \vec a=1\cdot\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot a_1 \\ 1\cdot a_2 \end{pmatrix}$.

  Da die $1$ das neutrale Element der Multiplikation ist, gilt:

  $\begin{pmatrix} 1\cdot a_1 \\ 1\cdot a_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}=\vec a$.

  Das Assoziativgesetz $(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$

  $(u\cdot v)\cdot\vec a=(u\cdot v)\cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (u\cdot v)\cdot a_1 \\ (u\cdot v)\cdot a_2 \end{pmatrix}$.

  Nun kann in jeder Koordinate das Assoziativgesetz der Multiplikation der reellen Zahlen angewendet werden:

  $\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix}(u\cdot v)\cdot a_1 \\ (u\cdot v)\cdot a_2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} u\cdot (v\cdot a_1) \\ u\cdot (v\cdot a_2) \end{pmatrix} \\ \\ &=& u\cdot \begin{pmatrix} v\cdot a_1 \\ v\cdot a_2 \end{pmatrix} \\ \\ &=& u\cdot \left(v\cdot\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\right)\\ \\ &=& a\cdot(v\cdot \vec a) \end{array}$

  Damit ist auch das Assoziativgesetz der Multiplikation nachgewiesen.

• Weise eines der beiden Distributivgesetze für $\mathbb{R}^2$ nach.

  Tipps

  Verwende das Distributivgesetz im Bereich der reellen Zahlen

  $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

  Du kannst den Nachweis Koordinate für Koordinate führen.

  Du kannst einen Vektor, dessen Koordinaten die Summen der Koordinaten zweier Vektoren ist auch als Summe dieser Vektoren schreiben.

  Lösung

  Es soll das Distributivgesetz 1 nachgewiesen werden:

  $(u+v)\cdot \vec a=u\cdot \vec a+v\cdot \vec a$.

  Zunächst wird die skalare Multiplikation angewendet:

  $(u+v)\cdot \vec a=(u+v)\cdot\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (u+v)\cdot a_1 \\ (u+v)\cdot a_2 \end{pmatrix}$.

  Im Bereich der reellen Zahlen gilt das Distributivgesetz: $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$. Dieses wird nun angewendet:

  $\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} (u+v)\cdot a_1 \\ (u+v)\cdot a_2 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} u\cdot a_1+v\cdot a_1 \\ u\cdot a_2+v\cdot a_2 \end{pmatrix}\\\\ &=&\begin{pmatrix} u\cdot a_1 \\ u\cdot a_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} v\cdot a_1 \\ v\cdot a_2 \end{pmatrix}\\\\ &=&u\cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}+v\cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\\\\ &=&u\cdot \vec a+v\cdot \vec a \end{array}$.

  Ebenso kann das Distributivgesetz 2 $u\cdot(\vec a+\vec b)=u\cdot \vec a+u\cdot \vec b$ nachgewiesen werden.

• Prüfe die folgenden Aussagen.

  Tipps

  Beim Distributivgesetz multiplizierst du den Faktor vor der Klammer mit jedem Term in der Klammer.

  Die resultierenden Produkte addierst oder subtrahierst du.

  Wenn eine Aussage nicht korrekt ist, genügt ein Gegenbeispiel.

  Beachte, dass die Subtraktion im Bereich der reellen Zahlen nicht kommutativ ist: $a-b\neq b-a$.

  Lösung

  Die Differenz zweier Vektoren ist nicht kommutativ. Dies kann nachgewiesen werden mit der Tatsache, dass die Subtraktion im Bereich der reellen Zahlen nicht kommutativ ist. Der Nachweis wird dann koordinatenweise geführt.

  Wenn man die nebenstehende Definition der Differenz fortführt, gilt

  $\begin{pmatrix} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1+(-b_1) \\ a_2+(-b_2) \end{pmatrix}=\vec a +(-\vec b)$.

  $-\vec b$ ist der inverse Vektor der Addition zu dem Vektor $\vec b$.

  Damit und mit den Vektorraumeigenschaften können die Distributivgesetze nachgewiesen werden:

  • $u\cdot (\vec a-\vec b)=u\cdot(\vec a+(-\vec b))=u\cdot \vec a+u\cdot (-\vec b)$
  • Damit ist $u\cdot (\vec a-\vec b)=u\cdot \vec a+(u\cdot(-1))\cdot \vec b=u\cdot \vec a-u\cdot \vec b$.

  Auch das andere Distributivgesetz kann nun nachgewiesen werden:

  $(u-v)\cdot \vec a=(u+(-v))\cdot \vec a=u\cdot \vec a+(-v)\cdot \vec b=u\cdot\vec a-v\cdot\vec a$.

• Gib das neutrale sowie inverse Element der Addition im $\mathbb{R}^2$ an.

  Tipps

  Beachte, dass der Nullvektor ein Vektor, und somit ein Element des $\mathbb{R}^2$ ist.

  Überprüfe die Vektorraumeigenschaften koordinatenweise.

  Beachte, dass die reelle Zahl $0$ das neutrale Element der Addition bei den reellen Zahlen ist.

  Lösung

  Die Addition zweier Vektoren ist koordinatenweise definiert. Das bedeutet, dass jeder Nachweis der Vektorraumeigenschaften koordinatenweise geführt werden kann.

  Das neutrale Element der Addition der reellen Zahlen ist die reelle Zahl $0$. Also ist

  $\vec 0=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

  der gesuchte Nullvektor.

  Warum ist das so? Es gilt $a_1+0=a_1$ sowie $a_2+0=a_2$.

  Ebenso ist

  $-\vec a=\begin{pmatrix} -a_1 \\ -a_2 \end{pmatrix}$

  der zu $\vec a$ inverse Vektor.

  Warum ist das so? Es gilt $a_1-a_1=0$ sowie $a_2-a_2=0$.

• Entscheide, ob das Distributivgesetz auch im $\mathbb{R}^3$ gilt.

  Tipps

  Es gilt im Bereich der reellen Zahlen das Distributivgesetz:

  $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

  Die erste Koordinate des Vektors $\vec a$ ist $a_1$, die zweite $a_2$ und die dritte $a_3$.

  Du kannst jede Rechnung koordinatenweise betrachten.

  Lösung

  Es soll das Distributivgesetz 2 nachgewiesen werden:

  $u\cdot (\vec a+\vec b)=u\cdot \vec a+u\cdot \vec b$.

  Zunächst wird die beiden Vektoren addiert:

  $u\cdot (\vec a+\vec b)=u\cdot \left(\begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2\\ a_3+b_3 \end{pmatrix}\right)$.

  Nun wird der Summenvektor skalar mit $u$ multipliziert:

  $u\cdot \left(\begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2\\ a_3+b_3 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} u\cdot(a_1+b_1) \\ u\cdot(a_2+b_2)\\ u\cdot(a_3+b_3) \end{pmatrix}$.

  Da im Bereich der reellen Zahlen das Distributivgesetz: $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ kann nun weiter gerechnet werden:

  $\begin{pmatrix} u\cdot(a_1+b_1) \\ u\cdot(a_2+b_2)\\ u\cdot(a_3+b_3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u\cdot a_1+u\cdot b_1 \\ u\cdot a_2+u\cdot b_2\\ u\cdot a_3+u\cdot b_3 \end{pmatrix}$.

  Zuletzt kann dieser Vektor wieder als Summe geschrieben werden:

  $\begin{pmatrix} u\cdot a_1+u\cdot b_1 \\ u\cdot a_2+u\cdot b_2\\ u\cdot a_3+u\cdot b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u\cdot a_1 \\ u\cdot a_2\\ u\cdot a_3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} u\cdot b_1 \\ u\cdot b_2\\ u\cdot b_3 \end{pmatrix}=u\cdot\vec a+u\cdot \vec b$.