Unbeschränktes Wachstum und beschränktes Wachstum

Unbeschränktes Wachstum und beschränktes Wachstum Übung

• Bestimme die allgemeinen Funktionsgleichungen für begrenztes und unbegrenztes exponentielles Wachstum.

  Tipps

  Bei exponentiellen Wachstumsprozessen muss die Zeit $t$ immer im Exponenten stehen.

  Bei begrenztem exponentiellen Wachstum beinhaltet die Funktionsgleichung zusätzlich eine weitere Größe, die Sättigungsgrenze $S$.

  Lösung

  Die allgemeine Funktionsgleichung für das unbegrenzte exponentielle Wachstum lautet: $N(t)= N_{0} \cdot e^{k \cdot t}$

  Die Größe $N_{0}$ steht für den Anfangsbestand des Wachstums zum Zeitpunkt $t=0$. Die Eulersche Zahl $e$ ist eine mathematische Konstante mit $e \approx 2,72$. Der Proportionalitätsfaktor $k$ beschreibt die Stärke des Wachstums und kann rechnerisch aus gegebenen Datenpaaren ermittelt werden.

  Die allgemeine Funktionsgleichung für das begrenzte exponentielle Wachstum lautet: $N(t)=S-c \cdot e ^{-k \cdot t}$

  Hier „taucht” eine weitere Größe auf, die Sättigungsgrenze $S$, die die Obergrenze des Wachstums markiert.

  Da es sich jeweils um exponentielle Wachstumsvorgänge handelt, muss die veränderliche Größe, das ist hier die Zeit $t$, immer im Exponenten stehen. Wird die Zeit $t$ in die Funktionsgleichung eingesetzt, lässt sich der zugehörige Bestand $N(t)$ rechnerisch bestimmen.

• Bestimme die die Funktionsgleichung für das unbegrenzte Wachstum einer Bakterienkultur.

  Tipps

  Die allgemeine Funktionsgleichung für das unbegrenzte exponentielle Wachstum lautet: $N(t)= N_{0} \cdot e^{k \cdot t}$

  $N_{0}$ ist gleichbedeutend mit $N(0)$: Es handelt sich also um den Bestand zum Zeitpunkt $t=0$.

  Lösung

  Die Wachstumsfunktionen $N(t)=200-100 \cdot e ^{-0,069 \cdot t}$ und $N(t)=100 - e ^{-0,069 \cdot t}$ entsprechen der allgemeinen Funktionsgleichung $N(t)=S-c \cdot e ^{-k \cdot t}$ für das begrenzte Wachstum.

  Bei begrenztem exponentiellen Wachstum beinhaltet die Funktionsgleichung nämlich eine weitere Größe: die Sättigungsgrenze $S$. Da im gegebenen Sachverhalt jedoch von „ungehindertem” Wachstum die Rede ist und kein maximaler Bestand erwähnt wird, muss von unbegrenztem Wachstum ausgegangen werden.

  In die allgemeine Funktionsgleichung für das unbegrenzte exponentielle Wachstum $N(t)= N_{0} \cdot e^{k \cdot t}$ sind nun lediglich die Größen Anfangsbestand $N_{0}$ und Proportionalitätsfaktor $k$ einzusetzen.

  Somit ergibt sich für die gesuchte Wachstumsfunktion die Gleichung $N(t)= 100 \cdot e^{0,069 \cdot t}$.

• Gib an, ob es sich um begrenztes oder unbegrenztes exponentielles Wachstum handelt.

  Tipps

  Unterscheide zunächst exponentielles Wachstum von anderen Wachstumsarten: Bei exponentiellem Wachstum erfolgt eine Zunahme in stetig größer werdenden Stufen, d.h. die Bestände „explodieren” oft förmlich im Laufe der Zeit. Dies ist oft erkennbar an Ausdrücken wie „Verdopplung” oder an prozentualen Wachstumsangaben.

  Lineares Wachstum hingegen verläuft gleichförmig.

  Ein begrenztes Wachstum kommt in der Realität häufig vor, denn Ressourcen jeglichen Art sind natürlich begrenzt. So „ebbt” ein Wachstum ab, wenn natürliche Barrieren, wie zum Beispiel Nahrungs- und Platzmangel, vorhanden sind.

  Lösung

  Wir ordnen die einzelnen Situationen ein:

  1. Bei der Kaninchenpopulation handelt es sich um ein exponentielles Wachstum, da sich der Bestand monatlich verdoppelt – aus zwei Tieren werden also vier, daraus wiederum acht u.s.w. Das Wachstum ist außerdem begrenzt: Die Sättigungsgrenze liegt bei dem Bestand, den die Insel maximal mit Futter versorgen kann.
  2. Der Baggersee wächst linear, denn er wächst wöchentlich konstant um $100~qm$. Das lineare Wachstum findet seine absolute Grenze bei zwei Quadratkilometern Fläche.
  3. Die Zahl der verkauften Kinderbücher steigt von Woche zu Woche, d.h. es erfolgt ein Zuwachs in immer höheren Stufen. Somit liegt exponentielles Wachstum vor. Die Anzahl der potentiellen Kunden bildet hier jedoch eine Obergrenze. Das Wachstum ist also hier begrenzt.
  4. Beim Wachstum des Kapitals handelt es sich wegen des Zinseszinseffekts um eine exponentielle Zunahme. Kapital kann grundsätzlich ohne Grenzen wachsen, sodass von unbegrenztem Wachstum ausgegangen werden muss.
  5. Die Anzahl der Infizierten wächst exponentiell, denn die Zahl der Neuerkrankungen wird von Tag zu Tag steigen, bis letztlich alle Bewohner des Heims erkrankt sind – zumindest im schlimmsten Fall. Das exponentielle Wachtum ist also begrenzt.
  6. Der Gehalt an Kohlendioxid wächst exponentiell. Das Volumen der Erdatmosphäre bietet jedoch ausreichend „Freiraum”, sodass von einem unbegrenzten Wachstum ausgegangen werden kann.
  7. Die Zahlung des Taschengeldes an Klaus erfolgt linear, da die wöchentlich gezahlten Beträge konstant bleiben. Dieses Wachstum ist aber durch einen maximalen Betrag begrenzt, der das Wachstum beendet.

• Arbeite aus der graphischen Darstellung eines begrenzten exponentiellen Wachstums die gesuchten Größen heraus.

  Tipps

  Die Sättigungsgrenze $S$ ist der Wert, dem sich das Wachstum im Laufe der Zeit immer mehr nährt. Sie repräsentiert den maximalen Bestand.

  Den Anfangsbestand $N_{0}$, auch $N(0)$ genannt, kannst du an der $N$-Achse ablesen.

  Den Wert für $c$ musst du mithilfe der zuvor abgelesenen Werte berechnen.

  Lösung

  Du kannst im Koordinatensystem erkennen, dass sich der Graph immer weiter an den Wert $N=6$ annähert. Diese waagerechte Linie wird auch Sättigungsgrenze genannt und wird vom Graphen niemals erreicht. Somit beträgt $S=6$.

  Den Anfangsbestand liest man an der $N$-Achse ab: $N_{0}=N(0)=1$.

  Den Wert für $c$ berechnest du nun als Differenz zwischen Sättigungsgrenze und Anfangsbestand: $c=S-N_{0}=6-1=5$.

  Den Proportionalitätsfaktor $k$ kannst du nicht so einfach ablesen oder berechnen: Hierfür müsstest du, wenn du bereits $S$ und $c$ bestimmt hast, ein weiteres Datenpaar ablesen, dieses in die Funktionsgleichung einsetzen und anschließend alles nach dem gesuchten Faktor umformen. Der Proportionalitätsfaktor $k$ sei hier aber mit $k=0,8$ gegeben.

  Die in der Abbildung dargestellte Wachstumsgleichung lautet somit komplett: $N(t)=6-5 \cdot e ^{-0,8 \cdot t}$

• Beschrifte die allgemeine Funktionsgleichung für das begrenzte exponentielle Wachstum.

  Tipps

  Der Bestand hängt im Falle eines exponentiellen Wachstums immer von der Zeit ab. Im Allgemeinen findet sich dafür bei Funktionsgleichungen der Ausdruck $f(x)$. Der Funktionswert $f(x)$ wird hier durch das Argument $x$ bestimmt.

  Der Bestand nach einer bestimmten Zeitspanne entspricht der Differenz aus Sättigungsgrenze und dem Produkt aus der um den Anfangsbestand reduzierten Sättigungsgrenze und der potenzierten Eulerschen Zahl.

  Lösung

  Die allgemeine Funktionsgleichung für das begrenzte exponentielle Wachstum lautet: $N(t)=S-c \cdot e ^{-k \cdot t}$

  Die Sättigungsgrenze $S$ markiert die Obergrenze des Wachstums, an die sich der Bestand im Laufe der Zeit $t$ annähert.

  Die Variable $c$ steht für die Differenz aus Sättigungsgrenze $S$ und Anfangsbestand $N_{0}$: $c=S-N(0)$ oder $c=S-N_{0}$

  Die Eulersche Zahl $e$ ist eine mathematische Konstante mit $e \approx 2,72$.

  Der Proportionalitätsfaktor $k$ beschreibt die Stärke des Wachstums.

  Da es sich jeweils um exponentielle Wachstumsvorgänge handelt, muss die veränderliche Größe, das ist hier die Zeit $t$, immer im Exponenten stehen. Wird die Zeit $t$ in die Funktionsgleichung eingesetzt, lässt sich der zugehörige Bestand $N(t)$ rechnerisch bestimmen.

• Bestimme die Anzahl der Kaninchen auf der Insel nach 20 Monaten, wenn von begrenztem Wachstum auszugehen ist.

  Tipps

  Die allgemeine Funktionsgleichung für das begrenzte exponentielle Wachstum lautet: $N(t)=S-c \cdot e ^{-k \cdot t}$

  Die Sättigungsgrenze $S$ markiert die Obergrenze des Wachstums, an die sich der Bestand im Laufe der Zeit $t$ annähert.

  Die Varaiable c steht für die Differenz aus Sättigungsgrenze S und Anfangsbestand $N_{0}$: $c=S-N(0)$ oder $c=S-N_{0}$

  In die Wachstumsfunktion musst du nun nur noch $t=20$ einsetzen, um den Bestand nach 20 Monaten berechnen zu können.

  Lösung

  Die allgemeine Funktionsgleichung für das begrenzte exponentielle Wachstum lautet: $N(t)=S-c \cdot e ^{-k \cdot t}$.

  Für die Sättigungsgrenze $S$ musst du 40 einsetzen, da dies die maximal erreichbare Kaninchenanzahl ist.

  Die Größe $c$ ist die Differenz zwischen Sättigungsgrenze und Anfangsbestand: $c=S-N(0)$ bzw. $c=40-8=32$.

  Der Proportionalitätsfaktor für das monatliche Wachstum beträgt $k=0,058$. In der Wachstumsfunktion steht vor $k$ immer ein negatives Vorzeichen.

  Die gesuchte Wachstumsfunktion für das begrenzte Wachstum lautet damit $N(t)=40-32 \cdot e ^{-0,058 \cdot t}$.

  Wenn du nun noch für $t=20$ einsetzt, kannst du leicht den Bestand nach 20 Monaten berechnen: $N(20)=40-32 \cdot e ^{-0,058 \cdot 20} \approx 30$.