Umkehrung der zentrischen Streckung – Streckzentrum und Streckfaktor bestimmen

Umkehrung der zentrischen Streckung – Streckzentrum und Streckfaktor bestimmen Übung

• Beschreibe das Vorgehen beim Bestimmen des Streckzentrums.

  Tipps

  Das Streckzentrum $Z$ sowie der Ursprungspunkt $A$ und sein Bildpunkt $A'$ müssen auf einer Geraden liegen.

  Das Ziel ist es zu zeigen, dass sich die Geraden durch die Ursprungspunkte und ihre zugehörigen Bildpunkte im Streckzentrum schneiden.

  Lösung

  Das Streckzentrum $Z$ können wir folgendermaßen bestimmen:

  • Zuerst zeichnen wir eine Gerade durch den Ursprungspunkt $A$ und seinen Bildpunkt $A'$.

  Das Streckzentrum $Z$ sowie der Ursprungspunkt $A$ und sein Bildpunkt $A'$ müssen auf einer Geraden liegen.

  • Dann zeichnen wir eine zweite Gerade durch $C$ und $C'$.

  Genauso liegen $Z$, $C$ und $C'$ auf einer anderen Geraden.

  • Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt.

  Dort, wo sich die beiden Geraden schneiden, liegt das Streckzentrum. Allerdings können beim Zeichnen immer Fehler passieren. Deshalb ist es sicherer, noch eine weitere Gerade zu zeichnen, die das Streckzentrum bestätigt.

  • Zur Sicherheit zeichnen wir eine dritte Gerade durch $B$ und $B'$.

  • Schneiden sich alle drei Geraden in demselben Punkt, können wir sicher sein, dass hier das Streckzentrum liegt.

• Berechne den Streckfaktor.

  Tipps

  Liegen Ursprungsfigur und Bildfigur auf unterschiedlichen Seiten des Streckzentrums, ist der Streckfaktor negativ.

  Beim Durchführen einer Streckung multiplizierst du den Abstand zwischen Ursprungspunkt und Streckzentrum $\overline{AZ}$ mit dem Streckfaktor $m$, um den Abstand zwischen Bildpunkt und Streckzentrum $\overline{A'Z}$ zu erhalten. Gilt also $m>1$, dann gilt:

  $\overline{AZ}<\overline{A'Z}$

  Lösung

  Den Streckfaktor kannst du so bestimmen:

  • Da Ursprungs- und Bildfigur auf der gleichen Seite des Streckzentrums liegen, muss der Streckfaktor positiv sein, also:

  $m>0$

  • Da die Bildfigur kleiner als die Ursprungsfigur ist, muss der Streckfaktor kleiner als Eins sein, also gilt:

  $0<{m<1}$

  Beim Durchführen einer Streckung multiplizierst du den Abstand zwischen Ursprungspunkt und Streckzentrum $\overline{AZ}$ mit dem Streckfaktor $m$, um den Abstand zwischen Bildpunkt und Streckzentrum $\overline{A'Z}$ zu erhalten. Gilt also $m>1$, dann gilt:

  $\overline{AZ}<\overline{A'Z}$

  • Den Betrag des Streckfaktors kannst du bestimmen, indem du die Entfernung eines beliebigen Ursprungspunkts und seines Bildpunkts zum Streckzentrum misst. Hier gilt:

  $\overline{AZ}=1 000~\text{m}$

  $\overline{A'Z}=500~\text{m}$

  • Den Streckfaktor $m$ bestimmst du jetzt, indem du die Strecke $\overline{A'Z}$ durch $\overline{AZ}$ teilst:

  $m=\dfrac{\overline{A'Z}}{\overline{AZ}}=\dfrac{00~\text{m}}{1 000~\text{m}}=\dfrac{1}{2}$

  Beim Durchführen einer Streckung rechnest du $\overline{A'Z}= m \cdot \overline{AZ}$. Da du hier den Streckfaktor $m$ berechnen willst, wurde die Gleichung umgestellt.

• Bestimme die korrekten Aussagen zu dieser Streckung.

  Tipps

  Den Betrag des Streckfaktors kannst du bestimmen, indem du die Entfernung eines beliebigen Bildpunktes zum Streckzentrum durch die Entfernung seines Ursprungspunktes zum Streckzentrum teilst.

  Beispiel:

  $\vert m \vert =\dfrac{\overline{A'Z}}{\overline{AZ}}$

  Alle Geraden durch die Ursprungspunkte und ihre zugehörigen Bildpunkte schneiden sich in demselben Punkt.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  • Das Streckzentrum liegt bei $X$. Daraus folgt, dass der Streckfaktor positiv sein muss.

  Zeichnest du Geraden durch die Ursprungspunkte und die zugehörigen Bildpunkte, treffen sich diese im Punkt $Y$. Also liegt hier das Streckzentrum.

  • Der Streckfaktor beträgt $~m=-\frac{2}{3}$.

  • Der Streckfaktor beträgt $~m=\frac{2}{3}$.

  Der Betrag des Streckfaktors berechnet sich durch $\vert m \vert =\dfrac{\overline{A'Z}}{\overline{AZ}}=\dfrac{3}{2}$. Das Minuszeichen ist korrekt, da das Streckzentrum zwischen den Figuren liegt.

  • Verbindet man $A$ und $A'$ durch eine Gerade, verläuft diese durch den Punkt $X$. Daraus folgt, dass hier das Streckzentrum liegt.

  Auch wenn die Gerade durch $A$ und $A'$ durch den Punkt $X$ geht, folgt daraus nicht, dass hier das Streckzentrum liegt: Dafür müssen alle Geraden durch die Ursprungspunkte und ihre zugehörigen Bildpunkte sich im selben Punkt schneiden.

  Diese Aussagen sind korrekt:

  • Weil das Streckzentrum zwischen den Figuren liegt, hat die Bildfigur wie bei einer Punktspiegelung die Orientierung gewechselt.

  • Ist der Streckfaktor negativ, muss das Streckzentrum zwischen den beiden Figuren liegen.

  • Der Streckfaktor beträgt $~m=-\frac{3}{2}$.

• Ermittle die Streckfaktoren.

  Tipps

  Stehen Ursprungs- und Bildfigur auf einer Seite des Streckzentrums, dann haben beide Figuren die gleiche Ausrichtung und der Streckfaktor ist positiv.

  Für $\overline{A'Z}=5~\text{m}$ und $\overline{AZ}=7~\text{m}$ erhältst du folgenden Betrag für den Streckfaktor:

  $\vert m \vert =\dfrac{5}{7}$

  Lösung

  Die Streckfaktoren kannst du mit den folgenden Regeln bestimmen:

  Stehen Ursprungs- und Bildfigur auf einer Seite des Streckzentrums, dann haben beide Figuren die gleiche Ausrichtung und der Streckfaktor ist positiv.

  Liegt jedoch das Streckzentrum zwischen Ursprungs- und Bildfigur, dann haben die Figuren eine umgekehrte Ausrichtung und der Streckfaktor ist negativ.

  Den Betrag des Streckfaktors kannst du bestimmen, indem du die Entfernung eines beliebigen Bildpunktes zum Streckzentrum durch die Entfernung seines Ursprungspunktes zum Streckzentrum teilst.

  Beispiel:

  $\vert m \vert =\dfrac{\overline{A'Z}}{\overline{AZ}}$

  Damit ergibt sich:

  • Liegt das Streckzentrum zwischen den Punkten $B$ und $B'$ und ist $\overline{A'Z}=6~\text{m}$ und $\overline{AZ}=8~\text{m}$, erhältst du einen Streckfaktor von $m=-\frac{3}{4}$.

  • Steht die Bildfigur auf dem Kopf und sind als Längen $\overline{B'Z}=2~\text{m}$ und $\overline{BZ}=5~\text{m}$ gegeben, ergibt sich $m=-\frac{2}{5}$.

  • Haben Ursprungs- und Bildfigur die gleiche Orientierung und gilt $\overline{CZ}=2~\text{m}$ und $\overline{C'Z}=5~\text{m}$, folgt $m=\frac{5}{2}$.

  • Liegen Ursprungs- und Bildfigur links vom Streckzentrum und ist $\overline{AZ}=4~\text{m}$ und $\overline{A'Z}=3~\text{m}$, erhältst du $m=\frac{3}{4}$.

• Beschrifte die Zeichnung.

  Tipps

  Die Bildfigur besteht aus Bildpunkten. Die Bildpunkte werden immer mit einem dem Ursprungspunkt entsprechenden Großbuchstaben und einem Strich bezeichnet.

  Alle Geraden durch Ursprungspunkte und ihre zugehörigen Bildpunkte schneiden sich im Streckzentrum.

  Lösung

  So wird die Zeichnung beschriftet.

  Die Ursprungsfigur besteht aus den Urspungspunkten, z. B. $A$.

  Die Bildfigur besteht aus den Bildpunkten, z. B. $A'$.

  Im Streckzentrum schneiden sich alle Geraden durch die Bild- und Ursprungspunkte.

• Leite die richtigen Aussagen ab.

  Tipps

  Nach einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m$ ergibt sich für alle Längen der Bildfigur

  $a'= \vert m \vert a$

  Lösung

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Wird das Quadrat an $X$ mit einem Streckfaktor von $m=-2$ gestreckt, hat die resultierende Bildfigur einen Flächeninhalt von $30~\text{cm}^2$.

  Der Flächeninhalt eines Quadrats berechnet sich durch $A=a^2$. Nach einer zentrischen Streckung ergibt sich für alle Längen der Bildfigur:

  $a'= \vert m \vert a$

  Daraus folgt mit $\vert m \vert =2$ und $a=3~\text{cm}$ für den Flächeninhalt der Bildfigur:

  $A'=(a')^2=m^2 \cdot a^2=36~\text{cm}^2$

  • Das Verhältnis der Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ beträgt $\dfrac{ \overline{AC}}{ \overline{AB} }=\sqrt{2}$. Streckt man die Figur an $Y$ mit einem Streckfaktor von $m=\sqrt{2}$ beträgt dieses Verhältnis an der Bildfigur: $\dfrac{ \overline{A'C'}}{ \overline{A'B'} }=2$.

  Auch hier ist $a'= \vert m \vert a$ hilfreich. Es folgt:

  $\dfrac{ \overline{A'C'}}{ \overline{A'B'} }=\dfrac{ \sqrt{2} \overline{AC}}{ \sqrt{2} \overline{AB} }=\dfrac{ \overline{AC}}{ \overline{AB} }=\sqrt{2}$

  Folgende Aussagen sind korrekt:

  • Wird das Quadrat an $Y$ mit einem Streckfaktor von $m=-2$ gestreckt, hat die resultierende Bildfigur einen Flächeninhalt von $36~\text{cm}^2$.

  • Nach einer Streckung an einem beliebigen Punkt mit Streckfaktor $m=\frac{2}{3}$ beträgt eine beliebige Länge der Bildfigur das $\frac{2}{3}$-fache der entsprechenden Länge an der Ursprungsfigur.

  • Wird eine Streckung mit $m=\frac{1}{2}$ durchgeführt, wird die Bildfigur immer kleiner als die Ursprungsfigur, und zwar unabhängig davon, ob an $X$ oder $Y$ gestreckt wird.

  Hier ist nur wichtig, dass $0<{m<1}$ gilt. Das bedeutet, dass die Bildfigur kleiner als die Ursprungsfigur ist.

  • Nach einer Streckung mit $m=-\frac{1}{2}$ an $X$ ebenso wie nach einer Streckung mit $m=-\frac{3}{2}$ an $Y$ liegt das Streckzentrum zwischen Ursprungs- und Bildfigur.

  Ist der Streckfaktor negativ, also $m<0$, dann liegt das Streckzentrum immer zwischen Ursprungs- und Bildfigur.