Umfangswinkelsatz und Mittelpunktswinkelsatz – Anwendung

Umfangswinkelsatz und Mittelpunktswinkelsatz – Anwendung Übung

• Gib den Peripherie-Zentriwinkelsatz sowie den Peripheriewinkelsatz an.

  Tipps

  Wenn du den Punkt, in welchem $\beta$ liegt, auf dem Kreisrand verschiebst, bleibt trotzdem die gegenüberliegende Seite gleich lang.

  $\alpha$ ist der Zentriwinkel.

  Lösung

  Der Peripherie-Zentriwinkelsatz besagt, dass jeder Zentriwinkel über einem Kreisbogen doppelt so groß ist wie jeder dazugehörige Peripheriewinkel. Also ist $\alpha=2\cdot \beta$.

  Daraus kann sofort abgeleitet werden, dass jeder beliebige zugehörige Peripheriewinkel ebenfalls halb so groß ist wie der Zentriwinkel, also sind alle Peripheriewinkel über dem gleichen Kreisbogen gleich groß.

• Berechne die Größe der Winkel der Krone.

  Tipps

  Der Zentriwinkel wird auch als Mittelpunktwinkel bezeichnet.

  Der Peripheriewinkel wird auch als Umfangswinkel bezeichnet. Er liegt auf dem Kreisrand.

  Der Peripherie-Zentriwinkelsatz besagt, dass der Zentriwinkel doppelt so groß ist wie jeder zugehörige Peripheriewinkel.

  Lösung

  Da die Abstände aller Punkte zu dem Punkt $M$ gleich groß sind, liegen alle diese Punkte auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $7~cm$.

  Dies ist in dem Bild zu erkennen.

  Der Winkel $\alpha$ ist der Zentriwinkel und die Winkel $\gamma$, $\delta$ und $\epsilon$ sind dazugehörige Peripheriewinkel und somit gleich groß.

  Nach dem Peripherie-Zentriwinkelsatz ist zum Beispiel:

  $\alpha=2\cdot \delta$.

  MIt $\alpha=80^\circ$ kann mittels Division durch $2$ dann $\delta=40^\circ$ hergeleitet werden.

  Es sind somit alle Peripheriewinkel gleich groß, nämlich $\gamma = \delta = \epsilon = 40^\circ$.

• Ermittle die fehlenden Winkel.

  Tipps

  Nach dem Peripheriewinkelsatz sind alle Peripheriewinkel zum gleichen Kreisbogen identisch.

  Nach dem Peripherie-Zentriwinkelsatz ist der Zentriwinkel über einem Kreisbogen doppelt so groß wie jeder zugehörige Peripheriewinkel.

  Mache dir in dem obigen Bild klar, welcher Winkel ein Zentriwinkel und welcher ein Peripheriewinkel ist.

  Lösung

  $\alpha$ ist ein Zentriwinkel und $\beta$ sowie $\gamma$ zugehörige Peripheriewinkel. Damit gilt

  (1) nach dem Peripheriewinkelsatz: $\beta=\gamma$ und

  (2) nach dem Peripherie-Zentriwinkelsatz

  • $\alpha=2\beta$ sowie
  • $\alpha=2\gamma$.

  Wenn also $\alpha=120^\circ$ gegeben ist, sind $\beta=\gamma=120^\circ:2=60^\circ$.

  Bei gegebenem $\beta=40^\circ$: Damit ist auch $\gamma=40^\circ$ und $\alpha=2\cdot 40^\circ=80^\circ$.

  Bei gegebenem $\gamma=52^\circ$ ist ebenfalls $\beta=52^\circ$ und $\alpha=2\cdot 52^\circ=104^\circ$.

• Erläutere, wie die Winkel $\delta$ und $\epsilon$ ermittelt werden können.

  Tipps

  Du kannst die Größe der Winkel berechnen, indem du einen Peripheriewinkel findest, welchen du berechnen kannst.

  Verwende den Peripheriewinkelsatz.

  In einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang.

  Lösung

  Man kann die Winkel

  • ausschließlich über Peripheriewinkel oder
  • über den Zentriwinkel berechnen.

  (Peripheriewinkel) In dem Bild teilen die gestrichelten Diagonalen das Quadrat in zwei rechwinklige und gleichschenklige Dreiecke. Der jeweilige Peripheriewinkel beträgt $45^\circ$. Da nach dem Peripheriewinkelsatz alle Peripheriewinkel zu dem gleichen Kreisbogen gleich groß sind, gilt $\delta=\epsilon=45^\circ$.

  (Zentriwinkel) In dem Bild ist der Zentriwinkel $\alpha$ erkennbar. Die Diagonalen in einem Quadrat schneiden sich in einem rechten Winkel. Das heißt $\alpha=90^\circ$. Nach dem Peripherie-Zentriwinkelsatz gilt dann $\gamma=\delta=90^\circ:2=45^\circ$.

• Definiere Zentriwinkel und Peripheriewinkel.

  Tipps

  $\alpha$ ist ein Zentriwinkel.

  $\beta$ ist ein Peripheriewinkel.

  Der Begriff „Peripherie“ wird für die Umgebung oder das Umfeld verwendet, im Gegensatz zum Zentrum.

  Dies kann man sich am Kreis gut klarmachen:

  • was ist das Zentrum und
  • was ist dann die Peripherie?

  Lösung

  Was ist ein Zentriwinkel?

  Ein Zentriwinkel, auch Mittelpunktswinkel genannt, ist ein Winkel, der von zwei Kreisradien eingeschlossen wird.

  Was ist ein Peripheriewinkel?

  Ein Peripheriewinkel, welcher auch Umfangswinkel heißt, ist ein Winkel, der, von zwei Sehnen eingeschlossen, auf dem Kreisbogen liegt.

• Weise den Satz des Thales nach.

  Tipps

  Der Kreisbogen ist hier $\overline{AB}$. Wie sieht der Zentriwinkel aus?

  $\gamma$ und $\delta$ sind Winkel auf dem Rand des Halbkreises.

  Lösung

  Der Satz des Thales ist ein Spezialfall des Peripherie- und Peripheriezentriwinkelsatzes:

  • Der Zentriwinkel liegt im Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$. Es handelt sich um einen gestreckten Winkel, also $\alpha=180^\circ$.
  • Zum einen sind alle Peripheriewinkel nach dem Peripheriewinkelsatz zu dem gleichen Kreisbogen $\overline{AB}$ gleich groß und
  • zum anderen ist jeder Peripheriewinkel halb so groß wie der Zentriwinkel. Dies ist die Aussage des Peripherie-Zentriwinkelsatzes. Daraus folgt, zum Beispiel für $\gamma=180^\circ:2=90^\circ$.

  Damit ist die Aussage des Satzes von Thales bewiesen.