Trigonometrische Gleichungen

Trigonometrische Gleichungen Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu trigonometrischen Funktionen.

  Tipps

  Trigonometrische Funktionen wiederholen sich periodisch. Das heißt, bewegst du dich entlang der $x$-Achse, wiederholen sich die Werte der Funktion in immer gleichen Abständen.

  Nach den Potenzgesetzen gilt: $ \cos^{-1}= \frac{1}{\cos}$

  Das DEG auf deinem Taschenrechner steht für degree (Grad) und das RAD für radians (Bogenmaß).

  Lösung

  Diese Aussagen sind korrekt:

  „Die Lösungen von trigonometrischen Gleichungen wiederholen sich periodisch.“

  • Trigonometrische Funktionen wiederholen sich periodisch. Das heißt, wenn du dich entlang der $x$-Achse bewegst, wiederholen sich die Werte der Funktion in immer gleichen Abständen. Aus diesem Grund gibt es zu jedem Funktionswert unendlich viele $x$-Werte, die sich periodisch wiederholen. Diese $x$-Werte entsprechen den Lösungen der zu diesem Funktionswert zugehörigen trigonometrischen Gleichung.

  „Trigonometrische Gleichungen haben unendlich viele Lösungen.“

  • Auf dem Bild siehst du die Periodizität der Sinus-Funktion (hellblau) und der Cosinus-Funktion (dunkelblau). Die rosafarbenen Punkte markieren die Lösungen für $sin(x)=0,5$ und $cos(x)=0,5$.

  „Um eine trigonometrische Gleichung zu lösen, muss die zugehörige Umkehroperation durchgeführt werden.“

  • Wendest du auf die Gleichung $\cos(x) = \frac{1}{2}$ die Umkehrfunktion des Cosinus an, dann erhältst du: $x=\arccos( \frac{1}{2})$. Dies kannst du mit dem Taschenrechner berechnen.

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Umkehrfunktionen wie der $\arccos$ sind auf den Tasten des Taschenrechners immer korrekt dargestellt.“

  • Der $\arccos$ wird auf dem Taschenrechner oft als $\cos^{-1}$ dargestellt. Das ist irreführend, denn nach den Potenzgesetzen gilt: $ \cos^{-1}= \frac{1}{\cos}$

  „Es macht keinen Unterschied, ob ein Taschenrechner im „degree“ oder „radian“ Modus eingestellt ist.“

  • Diese Einstellung macht bei trigonometrischen Gleichungen einen großen Unterschied. Du solltest sehr genau darauf achten, welche Einstellung vorgenommen ist. Wenn du mit Grad rechnest, solltest du den Modus degree (DEG) nutzen.

• Gib die Lösungen der trigonometrischen Gleichungen an.

  Tipps

  Der erste Schritt beim Lösen von trigonometrischen Gleichungen ist die Anwendung der Umkehrfunktion und das Bestimmen der ersten Lösung mit dem Taschenrechner.

  Nachdem du die erste Lösung bestimmt hast, musst du dir überlegen, wie sich diese wiederholen. Da trigonometrische Funktionen die Periode $360^{\circ}$ besitzen, wiederholen sich alle Lösungen nach Vielfachen von $360^{\circ}$.

  Die Symmetrie zur $y$-Achse löst das $\pm$ Zeichen in der Lösung aus. Bedenke auch, dass niemals zwei Rechenzeichen direkt hintereinander stehen.

  Die Gerade $x=90^\circ$ ist eine Parallele der $y$-Achse.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Die Gleichung $\cos(x) = \frac{1}{2}$ kannst du lösen, indem du die Umkehrfunktion des Cosinus auf die Gleichung anwendest. Dann erhältst du: $x=\arccos( \frac{1}{2})$. Dies kannst du mit dem Taschenrechner berechnen: $x=60^{\circ}$.“

  • Der erste Schritt beim Lösen von trigonometrischen Gleichungen ist die Anwendung der Umkehrfunktion und das Bestimmen der ersten Lösung mit dem Taschenrechner.

  „Dieser gibt dir allerdings nicht alle Lösungen an. Weitere Lösungen erhältst du, indem du dich immer wieder um $360^{\circ}$ auf der $x$-Achse nach links oder rechts bewegst. Außerdem kannst du alle Lösungen auch an der $y$-Achse spiegeln. So erhältst du alle Lösungen der Gleichung mit:

  $x= \pm 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}$.“

  • Nachdem du die erste Lösung bestimmt hast, musst du dir überlegen, wie sich diese wiederholt. Da trigonometrische Funktionen die Periode $360^{\circ}$ besitzen, wiederholen sich alle Lösungen nach Vielfachen von $360^{\circ}$. Außerdem ist die Cosinusfunktion symmetrisch zur $y$-Achse, was das $\pm$ Zeichen in der Lösung auslöst.

  „Die Gleichung $\sin(x) = \frac{1}{2}$ kannst du lösen, indem du die Umkehrfunktion des Sinus auf die Gleichung anwendest. Dann erhältst du: $x=\arcsin( \frac{1}{2})$. Dies kannst du mit dem Taschenrechner berechnen: $x=30^{\circ}$.

  Durch periodische Verschiebung auf der $x$-Achse und Spiegelung der Lösungen an der Geraden $x=90^{\circ}$, einer Parallelen der $y$-Achse, erhältst du folgende Lösungen:

  $x=90^{\circ} \pm 60^{\circ}+ k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}$.“

  • Die verschiedenen Lösungen der Sinusfunktion kannst du analog zur Cosinusfunktion bestimmen.

• Ermittle die Lösungen der trigonometrischen Gleichungen.

  Tipps

  Möchtest du die Gleichung $\sin x =1$ lösen, so musst du jeden $x$-Wert finden, bei dem die Sinusfunktion den $y$-Wert $1$ hat.

  Du kannst dir im Koordinatensystem die Gerade $y=-0,5$ vorstellen und überprüfen, welche der dort gekennzeichneten Punkte auf dieser Geraden liegen. Alle diese Punkte erfüllen die Gleichung $\sin x=-0,5$.

  Nicht alle Punkte können einer Gleichung zugeordnet werden.

  Lösung

  Möchten wir die Gleichung $\sin x =1$ lösen, so müssen wir jeden $x$-Wert finden, bei dem die Sinusfunktion den $y$-Wert $1$ hat.

  Das bedeutet in unserer Aufgabe, dass wir uns im Koordinatensystem einfach die Gerade $y=1$ einzeichnen und die zutreffenden Punkte ablesen könnten.

  So erhalten wir die folgenden Zuordnungen:

  Gleichung $~\sin x=1$

  • $x=90^\circ$
  • $x=-270^\circ$

  Alle Lösungen dieser Gleichung kannst du bspw. wie folgt angeben: $~\mathbb{L}=\{x\ \vert \ 90^\circ +k\cdot 360^\circ, k\in \mathbb{Z}\}$

  Gleichung $~\sin x=0,5$

  • $x=150^\circ$
  • $x=510^\circ$

  Alle Lösungen dieser Gleichung kannst du bspw. wie folgt angeben: $~\mathbb{L}=\{x\ \vert \ 90^\circ \pm 60^\circ + k\cdot 360^\circ, k\in \mathbb{Z}\}$

  Gleichung $\sin x= 0$

  • $x=360^\circ$
  • $x=-360^\circ$

  Alle Lösungen dieser Gleichung kannst du bspw. wie folgt angeben: $~\mathbb{L}=\{x\ \vert \ k\cdot 180^\circ, k\in \mathbb{Z}\}$

  Gleichung $\sin x= -0,5$

  • $x=-390^\circ$

  Alle Lösungen dieser Gleichung kannst du bspw. wie folgt angeben: $~\mathbb{L}=\{x\ \vert \ -90^\circ \pm 60^\circ + k\cdot 360^\circ, k\in \mathbb{Z}\}$

• Erschließe alle Lösungen der trigonometrischen Gleichungen.

  Tipps

  Die Lösungsmenge gibt alle Lösungen einer Gleichung an. Hier siehst du einige Beispiele, die in der Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x\ \vert \ 180^\circ +k\cdot 360^\circ, k\in\mathbb{Z}\}$ enthalten sind:

  $\begin{array}{lll} k = 1 & \rightarrow & x=180^\circ +1\cdot 360^\circ=540^\circ \\ k = 2 & \rightarrow & x=180^\circ +2\cdot 360^\circ=900^\circ \\ k = -1 & \rightarrow & x=180^\circ -1\cdot 360^\circ=-180^\circ \\ k = -2 & \rightarrow &x=180^\circ -2\cdot 360^\circ=-540^\circ \end{array}$

  Beachte, dass vor einigen Gradangaben in den Lösungsmengen ein $\pm$ steht.

  Lösung

  Die Lösungsmenge gibt alle Lösungen einer Gleichung an.

  Beispiel 1

  Die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x\ \vert \ 180^\circ +k\cdot 360^\circ, k\in\mathbb{Z}\}$ enthält zum Beispiel folgende Lösungen:

  $\begin{array}{lll} k = 1 & \rightarrow & x=180^\circ +1\cdot 360^\circ=540^\circ \\ k = 2 & \rightarrow & x=180^\circ +2\cdot 360^\circ=900^\circ \\ k = -1 & \rightarrow & x=180^\circ -1\cdot 360^\circ=-180^\circ \\ k = -2 & \rightarrow &x=180^\circ -2\cdot 360^\circ=-540^\circ \end{array}$

  Überall dort verläuft die Kosinusfunktion durch $-1$.

  Wir haben hier also die Lösungsmenge der Gleichung $\cos x=-1$.

  Beispiel 2

  Die Gleichung $\sin x=-0,5$ hat zum Beispiel die Lösungen $x=-30^\circ$ und $x=210^\circ$.

  Diese Lösungen sind in folgender Lösungsmenge enthalten:

  $\mathbb{L}=\{x \ \vert \ 270^\circ \pm 60 +k\cdot 360^\circ, k\in\mathbb{Z}\}$

  Beispiel 3

  Die Sinusfunktion verläuft zum Beispiel bei $x=90^\circ$ und $x=-270^\circ$ durch $y=1$.

  Damit hat die Gleichung $\sin x=1$ folgende Lösungsmenge:

  $\mathbb{L}=\{x \ \vert \ 90^\circ +k\cdot 360^\circ, k\in\mathbb{Z}\}$

  Beispiel 4

  Die Lösungsmenge der Gleichung $\cos x=-0,5$ ist $\mathbb{L}=\{x\vert 180^\circ\pm 60^\circ +k\cdot 360^\circ, k\in\mathbb{Z}\}$.

  Diese enthält zum Beispiel folgende Lösungen:

  $\begin{array}{lll} k = 1 & \rightarrow & x=180^\circ + 60^\circ + 360^\circ=600 \\ k = 1 & \rightarrow & x=180^\circ - 60^\circ +360^\circ=480 \\ k = -1 & \rightarrow & x=180^\circ + 60^\circ - 360^\circ=-120 \\ k = -1 & \rightarrow &x=180^\circ - 60^\circ - 360^\circ=-240 \end{array}$

  Eine andere Möglichkeit, diese Lösungsmenge anzugeben, ist: $\mathbb{L}=\{x\vert \pm 120^\circ +k\cdot 360^\circ, k\in\mathbb{Z}\}$. Für die Angabe der Lösungsmengen trigonometrischer Gleichungen gibt es immer mehrere Varianten.

  Übrig:

  Zur Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x \ \vert \ \pm 90^\circ +k\cdot 360^\circ, k\in\mathbb{Z}\}$ gehört die Gleichung $\cos x=0$.

• Gib die Lösungen der Gleichung an.

  Tipps

  Lösungen der Gleichung $\sin(x) = \frac{1}{2}$ können durch $x=90^{\circ} \pm 60^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}$ mit $k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden.

  Eine Lösung ist beispielsweise für $k=1$:

  $x=90^{\circ} - 60^{\circ}+1 \cdot 360^{\circ}= 390^{\circ}$

  Lösung

  Lösungen der Gleichung $\sin(x) = \frac{1}{2}$ können durch $x=90^{\circ} \pm 60^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}$ mit $k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden. Um herauszufinden, welche Lösungen das sind, kannst du also verschiedene Werte für $k$ einsetzen und überprüfen, ob die angegebenen Werte darunter sind. Also folgende angegebenen Werte erfüllen die Gleichung nicht:

  • $x=60^{\circ}$, $x=-450^{\circ}$, $x=-30^{\circ}$

  Folgende Werte erfüllen die Gleichung:

  • $x=30^{\circ}$ (erfüllt für $k=0$: $x=90^{\circ} - 60^{\circ}+0 \cdot 360^{\circ}$)
  • $x=-210^{\circ}$ (erfüllt für $k=-1$: $x=90^{\circ} + 60^{\circ}+(-1) \cdot 360^{\circ}$)
  • $x=150^{\circ}$ (erfüllt für $k=0$: $x=90^{\circ} + 60^{\circ}+0 \cdot 360^{\circ}$)
  • $x=-330^{\circ}$ (erfüllt für $k=-1$: $x=90^{\circ} - 60^{\circ}+(-1) \cdot 360^{\circ}$)

• Leite die gesuchten Zusammenhänge her.

  Tipps

  Den Graphen der Funktion $-\sin x$ erhältst du, indem du den Graphen zu $\sin x$ an der $x$-Achse spiegelst.

  Den Graphen zu der Funktion $\sin(x+180^\circ)$ erhältst du, indem du den Graphen zu $\sin x$ um $180^\circ$ entlang der $x$-Achse nach links verschiebst.

  Lösung

  Verschieben wir den Graphen zu der Funktion $\sin x$ um $360^\circ$ nach links oder rechts, so erhalten wir immer wieder den Graphen der Sinusfunktion. Es gilt also:

  $\sin x=\sin (x+360^\circ)$

  Den Graphen zu der Funktion $\sin(x+90^\circ)$ erhalten wir, indem wir den Graphen zu $\sin x$ um $90^\circ$ entlang der $x$-Achse nach links verschieben. Der Graph, den wir dann erhalten, entspricht dem Graphen der Kosinusfunktion $\cos x$. Es gilt also:

  $\cos x=\sin (x+90^\circ)$

  Wenn man den Graphen der Sinusfunktion $\sin x$ um $180^\circ$ entlang der $x$-Achse nach links verschiebt, erhält man einen Graphen, der durch Spiegelung der Sinusfunktion an der $x$-Achse entsteht. Es gilt also:

  $-\sin x=\sin (x+180^\circ)$