Stichproben – Einführung

Stichproben – Einführung Übung

• Gib an, wie viel Prozent der Schüler zwischen $0$ und $8$ SMS pro Woche verschicken.

  Tipps

  Die Gesamtheit ist die Menge aller Personen, für die eine statistische Erhebung durchgeführt werden soll.

  Die Stichprobe ist eine repräsentative Teilmenge der Gesamtheit.

  Wenn $23$ von $60$ Schülern betrachtet werden, so entspricht dies $\frac{23}{60}=0,38\bar3\approx 38~\%$.

  Lösung

  Wozu braucht man Stichproben?

  Es wird die Gesamtheit aller Schüler der neunten Klassen in Deutschland betrachtet. Es werden als Stichprobe die Klassen 9a und 9b, insgesamt 60 Schüler, betrachtet.

  Die Frage lautete: Wie viele SMS versendet ein Schüler pro Woche?

  Das Ergebnis ist in der nebenstehenden Tabelle zu erkennen.

  Daraus kann man ablesen, dass $38~\%$ der Schüler, die in Deutschland in die neunte Klasse gehen, pro Woche zwischen $0$ und $8$ SMS versenden. Man schließt hierbei von einer Stichprobe auf die Gesamtheit.

• Beschreibe, welche Informationen man noch aus einer Stichprobe erhalten kann.

  Tipps

  Subtrahiere für die Spannweite von dem Maximalwert den Minimalwert.

  Der Minimalwert ist in diesem Fall die schnellste Zeit.

  Der Median ist die Mitte der Liste:

  • Bei einer ungeraden Anzahl der Daten liegen ebenso viele Daten darüber wie darunter.
  • Bei einer geraden Anzahl der Daten werden zwei Werte addiert und durch $2$ dividiert.

  Lösung

  Welche weiteren Informationen kann man aus einer Stichprobe ziehen?

  Fridtjof trainiert für ein $50$-Meter-Wettrennen. Die Werte des heutigen Tages sind der nebenstehenden Tabelle zu entnehmen.

  • Der kleinste Wert, $8,4~s$, ist das Minimum.
  • Der größte Wert, $8,9~s$, ist das Maximum.
  • Der Wert, der in der Mitte oder dem Zentrum der geordneten Liste liegt, ist der Median. Hier ist dies $8,6~s$.
  • Die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert, $8,9~s-8,4~s=0,5~s$, ist die Spannweite.

• Untersuche den Datensatz auf Minimum, Maximum, Median und Spannweite.

  Tipps

  Der Datensatz ist geordnet: Er beginnt mit dem kleinsten Wert und endet mit dem größten.

  Der Median heißt auch Zentralwert.

  Die Spannweite gib an, wie weit sich der Datensatz erstreckt. Dies ist ein positiver Wert.

  Lösung

  Wenn ein Datensatz geordnet ist, können diesem weitere Informationen entnommen werden:

  • Das Minimum ist hier $2$.
  • Das Maximum ist hier $22$.
  • Die Spannweite ist die Differenz aus Maximum und Minimum, also $22-2=20$.
  • Der Median ist der mittlere Wert des geordneten Datensatzes $8$.

• Bestimme Maximum, Minimum sowie Median der Stichprobe.

  Tipps

  Sortiere zunächst die Daten.

  Die kleinste (größte) Zahl ist das Minimum (Maximum).

  Der Median ist der Wert genau in der Mitte der sortierten Daten.

  Lösung

  Um weitere Informationen aus Daten zu erhalten, müssen diese erst einmal der Größe nach geordnet werden: Den geordneten Datensatz kann man hier sehen:

  • Das Minimum ist $4$.
  • Das Maximum $30$.
  • Der Median, also der Wert in der Mitte der geordneten Liste, ist $14$.

• Ergänze die Erklärung zu Stichproben.

  Tipps

  Wenn man zum Beispiel wissen will, wie viele Personen in Berlin Vegetarier sind, würde man nicht alle Menschen in Berlin befragen. Dies wäre zu aufwändig.

  Die Gesamtzahl der Menschen in Berlin beträgt $3,5$ Millionen; eine Stichprobe könnte zum Beispiel aus $1000$ von diesen Menschen bestehen.

  Es ist nur sinnvoll, eine solche Stichprobe zu erheben, wenn die Ergebnisse der Befragung auch das wiedergeben, was in ganz Berlin zu erwarten sein wird.

  So ist es zum Beispiel nicht sinnvoll, ausschließlich Menschen zwischen vierzehn und zwanzig Jahren zu befragen.

  Lösung

  Was sind Stichproben?

  Wenn es zum Beispiel um die Frage geht, was die Deutschen über ein bestimmtes Thema denken, werden statistische Erhebungen erhoben.

  Die Menge aller Personen, hier der Einwohner von Deutschland, nennt man Gesamtheit.

  Da es zu aufwändig wäre, alle zu befragen, wird nur ein Teil ausgewählt, welcher befragt wird. Diese Menge nennt man Stichprobe.

  Eine Stichprobe ist eine ausgewählte Teilmenge der Gesamtheit.

  Eine Stichprobe muss repräsentativ sein, das heißt, sie muss die Gesamtheit gut widerspiegeln, damit man von Stichprobe auch wieder auf die Gesamtheit schließen kann.

• Berechne den Median des Datensatzes.

  Tipps

  Oberhalb und unterhalb des Medians befinden sich gleich viele Elemente des Datensatzes.

  Bei einer geraden Anzahl an Elementen liegt der Median genau zwischen zwei gegebenen Daten.

  Der Median ist hier eine natürliche Zahl.

  Lösung

  Der Median, auch Zentralwert, eines geordneten Datensatzes ist der mittlere Wert dieses Datensatzes.

  Bei einer ungeraden Anzahl an Elementen ist dies der Wert genau in der Mitte; darüber befinden sich ebenso viele Elemente wie darunter.

  Doch wie kann bei einem Datensatz mit gerader Anzahl an Elementen der Median berechnet werden?

  Am Beispiel des oben zu sehenden Datensatzes geht man wie folgt vor: Die Mitte dieses Datensatzes liegt genau zwischen der Anzahl der Bücher, die Viktoria liest, $6$, und der, die Hans liest, $8$. Die beiden Werte werden addiert und die Summe durch $2$ dividiert.

  $\frac{6+8}2=\frac{14}2=7$.

  $7$ ist der gesuchte Median.