Schnittwinkel im Raum

Schnittwinkel im Raum Übung

• Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden $g$ und $h$.

  Tipps

  Beachte: Der Richtungsvektor ist daran zu erkennen, dass er mit dem Parameter multipliziert wird.

  Du berechnest das Skalarprodukt zweier Vektoren, indem du

  • die Koordinaten multiplizierst und
  • die so erhaltenen Produkte addierst.

  Du berechnest den Betrag oder die Länge eines Vektors, indem du

  • jede einzelne Koordinate quadrierst,
  • die Quadrate addierst und
  • aus der Summe die Wurzel ziehst.

  Achte darauf, den Taschenrechner auf DEG (für das Winkelmaß) einzustellen.

  Lösung

  Diese Formel benötigt man zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren $\vec u$ und $\vec v$.

  Es ist

  $\begin{align} |\vec u\cdot \vec v| & =\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\4 \end{pmatrix}\right| \\ & =1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 4 \\ & = 4 \end{align}$

  Nun müssen noch die Längen der Richtungsvektoren berechnet werden:

  $\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$

  $\left|\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 4 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$

  Nun können die berechneten Werte in der Formel eingesetzt werden:

  $\cos(\gamma)=\frac{4}{\sqrt2\cdot \sqrt{17}}$.

  Zuletzt wird der Cosinus umgekehrt:

  $\gamma=\cos^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt2\cdot \sqrt{17}}\right)\approx 46,7^\circ$.

• Beschreibe, wie der Schnittwinkel zwischen einer Ebene und einer Geraden berechnet wird.

  Tipps

  Hier siehst du, wie das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet wird.

  So wird der Betrag eines Vektors berechnet.

  Beachte, dass du deinen Taschenrechner auf DEG einstellen musst.

  Achte darauf, dass das Quadrat einer negativen Zahl eine positive Zahl ist.

  Lösung

  Wir verwenden diese Formel zur Berechnung des Schnittwinkels:

  $\sin(\gamma)=\frac{|\vec u \cdot \vec n|}{|\vec u| \cdot |\vec n|}$

  Wir berechnen zuerst das Skalarprodukt aus Richtungs- und Normalenvektor und dann die einzelnen Beträge für diese beiden Vektoren:

  $\vec u=\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec n=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\-1 \end{pmatrix}$

  Damit ist

  • $|\vec u\cdot \vec n|=3$,
  • $|\vec u|=\sqrt{11}$ und
  • $|\vec n|=\sqrt 3$.

  Nun ist $\sin(\gamma)=\frac{3}{\sqrt{11}\cdot \sqrt{3}}$. Durch den Arcussinus können wir nach $\gamma$ umstellen:

  $\gamma=\sin^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{11}\cdot \sqrt{3}}\right)\approx 31,5^\circ$.

• Ermittle den Winkel zwischen den beiden Ebenen.

  Tipps

  Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf dieser Ebene.

  Damit ist das Skalarprodukt aus einem Vektor in der Ebene und dem Normalenvektor gleich $0$.

  Multipliziere die beiden Normalenvektoren koordinatenweise und addiere die Produkte. So erhältst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

  Quadriere jede Koordinate eines Vektors, addiere die Quadrate und ziehe die Wurzel aus der Summe: So erhältst du die Länge (Betrag) eines Vektors.

  Lösung

  $\vec m$ und $\vec n$ sind die beiden Normalenvektoren der Ebenen:

  $\vec m=\begin{pmatrix} 3 \\ 3\\-4 \end{pmatrix}$ und $\vec n=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\-1 \end{pmatrix}$.

  Damit ist

  • $|\vec m\cdot \vec n|=10$,
  • $|\vec m|=\sqrt{34}$ und
  • $|\vec n|=\sqrt 3$.

  Beim Skalarprodukt werden die Vektoren koordinatenweise multipliziert und die Produkte zuletzt addiert. Die Länge (Betrag) eines Vektors erhältst du durch $|\vec m| = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$.

  Nun kann die Formel angewendet werden:

  $\cos(\gamma)=\frac{10}{\sqrt{34}\cdot\sqrt3}$

  und damit $\gamma=\cos^{-1}\left(\frac{10}{\sqrt{34}\cdot\sqrt3}\right)\approx8^\circ$.

• Prüfe die Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen.

  Tipps

  Wenn zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen $\vec u\perp\vec v$, dann gilt $\vec u\cdot \vec v=0$.

  Wenn zwei Geraden identisch sind, gilt, dass die Richtungsvektoren kollinear sind. Das bedeutet

  $\vec u=k\cdot \vec v$.

  Wenn $\vec u=k\cdot \vec v$ gilt, dann kannst du daraus folgern

  $\begin{array}{rcl} \frac{|\vec u\cdot \vec v|}{|\vec u|\cdot |\vec v|}&=&\frac{|k\cdot \vec v\cdot \vec v|}{|k\cdot \vec v|\cdot |\vec v|}\\ &=&\frac{|k|\cdot |\vec v|^2}{|k|\cdot|\vec v|^2}\\ &=&1 \end{array}$

  Lösung

  Wenn zwei Geraden (oder Ebenen) identisch sind, dann gilt für die Richtungsvektoren (Normalenvektoren), dass diese kollinear sind.

  Das bedeutet $\vec u=k\cdot \vec v$.

  Damit ist

  $\begin{array}{rcl} \frac{|\vec u\cdot \vec v|}{|\vec u|\cdot |\vec v|}&=&\frac{|k\cdot \vec v\cdot \vec v|}{|k\cdot \vec v|\cdot |\vec v|}\\ &=&\frac{|k|\cdot |\vec v|^2}{|k|\cdot|\vec v|^2}\\ &=&1 \end{array}$

  Beide Male wird der Cosinus verwendet: $\cos^{-1}(1)=0^\circ$.

  Das bedeutet, dass der eingeschlossene Winkel $0^\circ$ oder $180^\circ$ beträgt.

  Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich $0$ ist, sind die Vektoren orthogonal. Das bedeutet, dass zwei Geraden, deren Richtungsvektoren orthogonal sind, ebenfalls orthogonal sind, also den Winkel $90^\circ$ einschließen.

  Es ist $\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\-1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}=0$.

  Eine Gerade liegt in einer Ebene, wenn der eingeschlossene Winkel $0^\circ$ oder $180^\circ$ beträgt. Zusätzlich muss (mindestens!) ein Punkt der Geraden auf der Ebene liegen (Auf diesen Nachweis wird hier verzichtet.)

  Es ist $\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\-1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}=0$.

  Damit ist $\gamma=\sin^{-1}(0)=0^\circ$.

  Wenn bei dem Schnittwinkel Gerade - Ebene der Cosinus verwendet wird, erhält man einen Winkel, der den tatsächlich gesuchten Schnittwinkel zu $90^\circ$ ergänzt.

• Gib an, was bei der Berechnung von Schnittwinkeln im Raum zu beachten ist.

  Tipps

  Der Winkel zwischen zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ist wie folgt definiert:

  $cos(\alpha)=\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}$.

  Ein solcher Winkel kann auch stumpf sein.

  Durch die Betragsstriche wird sichergestellt, dass der Winkel, welcher mit

  $cos(\alpha)=\frac{|\vec a \cdot \vec b|}{|\vec a| \cdot |\vec b|}$

  berechnet werden kann, ein spitzer Winkel ist.

  Der Normalenvektor steht senkrecht zur Ebene. Dadurch ist der von dem Normalenvektor einer Ebene und dem Richtungsvektor einer Geraden eingeschlossene Winkel nicht der Winkel zwischen der Geraden und der Ebene.

  Lösung

  Der Schnittwinkel im Raum wird immer recht ähnlich berechnet: Auf der jeweils rechten Seite der folgenden Formeln stehen immer der Betrag eines Skalarproduktes zweier Vektoren dividiert durch das Produkt der Beträge dieser Vektoren. Die verwendete trigonometrische Funktion ändert sich.

  Gerade - Gerade

  Gegeben seien zwei Geraden mit den Richtungsvektoren $\vec u$ sowie $\vec v$, dann ist der von diesen Geraden eingeschlossene Winkel $\gamma$ gegeben durch

  $\cos(\gamma)=\frac{|\vec u \cdot \vec v|}{|\vec u| \cdot |\vec v|}$.

  Gerade - Ebene

  Zu der Geraden sei der Richtungsvektor $\vec u$ und zu der Ebene der Normalenvektor $\vec n$ bekannt, dann gilt

  $\sin(\gamma)=\frac{|\vec u \cdot \vec n|}{|\vec u| \cdot |\vec n|}$.

  Wichtig ist hier: Es wird der Sinus verwendet.

  Ebene - Ebene

  Gegeben seien zwei Ebenen mit den Normalenvektoren $\vec m$ sowie $\vec n$. Dann lässt sich der von diesen Ebenen eingeschlossene Winkel berechnen mit

  $\cos(\gamma)=\frac{|\vec m \cdot \vec n|}{|\vec m| \cdot |\vec n|}$.

  Merke: Wenn die Elemente gleich sind (Gerade - Gerade oder Ebene - Ebene) verwendet man den Cosinus. Sind die Elemente verschieden (Gerade - Ebene) verwendet man den Sinus.

• Bestimme jeweils den Schnittwinkel.

  Tipps

  Beachte, dass du bei

  • Gerade - Gerade den Cosinus,
  • Gerade - Ebene den Sinus und
  • Ebene - Ebene den Cosinus verwendest.

  Hier siehst du zum Beispiel die Formel für den Winkel zwischen zwei Ebenen, wobei $\vec m$ und $\vec n$ die Normalenvektoren der Ebenen sind.

  Bei zwei Geraden nimmst du die Richtungsvektoren der Geraden.

  Dies ist die Formel für die Berechnung des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene: $\vec u$ ist der Richtungsvektor der Geraden und $\vec n$ der Normalenvektor der Ebene.

  Lösung

  Bei der Winkelberechnung ist zu beachten, dass bei

  • Gerade - Gerade der Cosinus,
  • Gerade - Ebene der Sinus und
  • Ebene - Ebene der Cosinus

  verwendet wird. Betrachten wir die verschiedenen Fälle:

  • Gerade - Gerade: $\cos(\gamma)=\frac{0}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{10}}$ und damit $\gamma=\cos^{-1}\left(0\right)=90^\circ$.
  • Gerade - Ebene: $\sin(\gamma)=\frac{2}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{6}}$ und damit $\gamma=\sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{6}}\right)\approx75,7^\circ$.
  • Ebene - Ebene: $\cos(\gamma)=\frac{2}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{6}}$ und damit $\gamma=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{6}}\right)\approx14,3^\circ$.