Satz von Rolle

Satz von Rolle Übung

• Gib die Voraussetzungen an die Funktion $f(x)$ und das Intervall $I=[a;b]$ sowie die Aussage des Satzes von Rolle an.

  Tipps

  Beachte, dass ...

  • zu dem Intervall $[a;b]$ die Intervallgrenzen dazugehören.
  • zu dem Intervall $(a;b)$ die Intervallgrenzen nicht dazugehören.

  Diese Funktion hat mehrere Stellen mit waagerechter Tangente.

  Wenn eine Funktion $f(x)$ nur auf dem Intervall $[a;b]$ definiert ist, kann die Ableitung an den Rändern unter Umständen nicht berechnet werden.

  Lösung

  Für den Satz von Rolle benötigt man zunächst einmal mehrere Voraussetzungen:

  1. Es muss $f(a)=f(b)$ gelten.
  2. Die Funktion $f(x)$ muss stetig auf $I=[a;b]$ sein.
  3. Für die Differenzierbarkeit genügt das offene Intervall $(a;b)$. Die Funktion muss also differenzierbar auf $(a;b)$ sein.

  Dann besagt der Satz von Rolle, dass es mindestens eine Stelle (es können auch mehrere sein) auf $I=[a;b]$ gibt, sodass an den Graphen an dieser Stelle mit $f'(x_0)=0$ eine waagerechte Tangente angelegt werden kann.

• Ermittle, welche Bedingungen für den Satz von Rolle erfüllt sind und welche nicht.

  Tipps

  Schaue dir die Betragsfunktion an. Diese ist zwar stetig, allerdings nicht differenzierbar in $x_0=0$. Warum?

  Der linksseitige Grenzwert der 1. Ableitung ist $-1$ und der rechtsseitige $1$. Diese Grenzwerte stimmen nicht überein. Damit kann $f(x)$ in $x_0=0$ nicht differenzierbar sein.

  Stetigkeit bedeutet, dass du den Graphen einer Funktion zeichnen kannst, ohne den Stift absetzen und wieder neu aufsetzen zu müssen.

  Wenn eine Funktion an einer Stelle nicht stetig ist, dann ist sie dort sicher auch nicht differenzierbar.

  Bei einem abgeschlossenen Intervall $[a;b]$ sind die beiden Randpunkte $a$ und $b$ Teil des Intervalls.

  Bei einem offenen Intervall $(a;b)$ sind die beiden Randpunkte $a$ und $b$ nicht Teil des Intervalls.

  Lösung

  Bei allen drei Beispielen gilt $f(a)=f(b)$. Dies ist an den eingezeichneten Punkten zu sehen. Und trotzdem gilt für keine Funktion, dass eine Stelle $x_0$ zwischen $a$ und $b$ existiert, so dass $f'(x_0)=0$ ist. Warum ist das so?

  Bei dem oberen Graphen gibt es eine Sprungstelle zwischen $a$ und $b$. Die Funktion ist dann sicher nicht stetig auf ganz $(a;b)$ und damit auch nicht differenzierbar.

  Der mittlere Graph hat zwar keine Sprungstelle innerhalb des Intervalls, aber eine am Rand. Der Graph ist zwar auf dem offenen Intervall $(a;b)$ stetig, allerdings nicht auf dem abgeschlossenen $[a;b]$. Diese Funktion ist allerdings auf $(a;b)$ differenzierbar.

  Der untere Graph ist auf dem gesamten geschlossenen Intervall $[a;b]$ zwar stetig, allerdings nicht differenzierbar auf $(a;b)$. Die Funktion hat einen „Knick“. Das bedeutet: Links von dieser Stelle ist die Steigung negativ (konstant) und rechts positiv (konstant). Schließlich stimmen sicher der links- und rechtsseitige Grenzwert der Ableitungen nicht überein. Somit ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.

• Entscheide, welche der Funktionen, die wir auf dem Intervall $I=[-2;2]$ betrachten, mehr als eine Stelle mit $f'(x_0)=0$ haben.

  Tipps

  Der Satz von Rolle besagt, dass unter den Voraussetzungen

  • $f(a)=f(b)$
  • $f(x)$ auf $[a;b]$ stetig und
  • f(x) auf $(a;b)$ differenzierbar

  mindestens eine Stelle existiert mit $f'(x_0)=0$.

  Da du weißt, dass $f(-2)=f(2)$ ist und weiterhin alle Funktionen stetig und differenzierbar sind, musst du noch die Gleichung $f'(x)=0$ lösen. Bilde also jeweils die Ableitung der Funktion.

  Beachte: Die Ableitung einer konstanten Funktion ist $0$.

  Lösung

  Schauen wir uns die Funktionen einmal genauer an:

  • $f(x)=5$ ist eine konstante Funktion. Das bedeutet, dass $f'(x)=0$ für alle $x$ ist. Hier gibt es sogar unendlich viele solche Stellen.
  • Für $f(x)=x^2$ ist $f'(x)=2x$. Somit führt $f'(x)=0$ zu $x_0=0$. Es gibt keine weiteren Nullstellen. Hier existiert also genau eine solche Stelle.
  • Die Ableitung der Funktion $f(x)=x^4$ ist gegeben durch $f'(x)=4x^3$. Auch die Gleichung $4x^3=0$ führt nur zu einer Lösung $x_0=0$.
  • $f(x)=2x^4-x^2$ hat die Ableitung $8x^3-2x$. Die Gleichung $8x^3-2x=0$ kann durch Ausklammern gelöst werden: $2x(4x^2-1)=0$. Entweder ist $2x=0$, also $x_0=0$. Oder es muss $4x^2-1=0$ gelten. Hier wird zunächst $1$ auf beiden Seiten der Gleichung addiert und dann durch $4$ dividiert zu $x^2=\frac14$. Zuletzt wird die Wurzel gezogen: $x_1=-0,5$ oder $x_2=0,5$. Alle drei Lösungen liegen in dem Intervall $I=[-2;2]$.
  • Es wird wieder zunächst die 1. Ableitung für $f(x)=x^4+x^2$ berechnet: $f'(x)=4x^3+2x$. Nun wird in der Gleichung $4x^3+2x=0$ wieder ausgeklammert $x(4x^2+2)=0$. Da $4x^2+2>0$ immer gilt, gibt es nur eine Lösung dieser Gleichung: $x_0=0$.

• Verwende die Aussage des Satzes von Rolle für die Funktion $f(x)=2x^2+4x+6$.

  Tipps

  Ersetze in der Funktionsgleichung die Variable $x$ durch den jeweiligen Wert.

  Dies siehst du hier an dem Beispiel $x=2$.

  • Die erste Ableitung von $x^2$ ist $2x$.
  • Die Faktorregel: Die Ableitung von $k\cdot f(x)$ ist $k\cdot f'(x)$.

  Löse die (lineare) Gleichung $f'(x)=0$.

  Lösung

  Da die Stetigkeit und Differenzierbarkeit bereits vorgegeben sind, ist nur noch zu prüfen, ob die Funktionswerte an den Intervallgrenzen übereinstimmen. Zunächst untersuchen wir $f(-3)$:

  $\begin{align} f(-3) & =2\cdot (-3)^2+4\cdot (-3)+6\\ & =18-12+6\\ & =12 \end{align}$

  Dann betrachten wir noch $f(1)$:

  $\begin{align} f(1) & =2\cdot 1^2+4\cdot 1+6\\ & =2+4+6\\ & =12 \end{align}$

  Die Funktionsterme sind also gleich.

  Nun muss nur noch geprüft werden, ob (mindestens) ein $x_0$ in diesem Intervall existiert, für das $f'(x_0)=0$ ist.

  Die Ableitung von $f(x)$ ist $f'(x)=4x+4$. Damit kann die Gleichung $f'(x)=4x+4=0$ gelöst werden:

  • Zunächst wird auf beiden Seiten $4$ subtrahiert zu $4x=-4$.
  • Dann wird durch $4$ dividiert: $x=\frac{-4}4=-1$.

  Die gesuchte Stelle ist $x_0=-1$; sie liegt tatsächlich auch in dem Intervall $I=[-3;1]$.

• Ergänze die Erklärung zu dem Satz von Rolle.

  Tipps

  Die erste Ableitung an einer Stelle $x_0$ steht für die Steigung einer Tangente $y=mx+b$.

  Eine Gerade, welche parallel zu der x-Achse verläuft, hat die Steigung $0$.

  Nimm dir ein Seil und halte es zwischen deinen Händen. Deine Hände sollen auf der gleichen Höhe sein.

  Spanne zuerst das Seil und lasse es dann locker. Die Hände müssen auf der gleichen Höhe bleiben.

  Dies veranschaulicht den Satz von Rolle.

  Lösung

  Der Satz von Rolle besagt: Wenn auf einem Intervall $I=[a;b]$ mit $f(a)=f(b)$ die Funktion $f$ stetig ist und differenzierbar auf $(a;b)$, dann gibt es mindestens eine Stelle $x_0$ auf diesem Intervall, sodass dort eine waagerechte Tangente vorliegt.

  Das bedeutet $f'(x_0)=0$.

  Dies kann man sich zum Beispiel klarmachen, wenn man in seinen Händen (auf gleicher Höhe, dies entspricht $f(a)=f(b)$) ein Seil hält, welches nach unten durchhängt. Es entsteht eine Kurve mit einer tiefsten Stelle. An dieser Stelle kann eine Tangente angelegt werden, welche waagerecht oder - mit anderen Worten - parallel zur x-Achse verläuft.

• Prüfe die folgenden Aussagen für die beschriebene Funktion $f(x)$.

  Tipps

  Wenn eine Aussage nicht korrekt ist, genügt ein Gegenbeispiel, um dies auch zu beweisen.

  Verwende die Aussage des Satzes von Rolle:

  Wenn bei einer stetigen und differenzierbaren Funktion $f(a)=f(b)$ gilt, muss es zwischen $a$ und $b$ mindestens eine Stelle $x_0$ geben, für die $f'(x_0)=0$ gilt.

  Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung.

  An einer Wendestelle gilt $f''(x)=0$.

  Lösung

  Untersuchen wir die Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt:

  1. Wenn $f(x)$ zwei Nullstellen $x_1$ und $x_2$ besitzt, dann gilt $f(x_1)=f(x_2)$. Dies ist eine der Voraussetzungen des Satzes von Rolle. Es muss also mindestens eine Stelle $x_0$ mit $x_1\le x_0\le x_2$ geben, so dass $f'(x_0)=0$ ist. Das bedeutet, dass eine waagerechte Tangente vorliegt. Hier könnte ein Extremum vorliegen. Dass tatsächlich eines vorliegt, ist dadurch klar, dass unter der Voraussetzung, dass $f(x)$ nicht konstant ist, die Funktionswerte zwischen den Nullstellen entweder größer oder kleiner (oder gegebenenfalls auch beides!) als $0$ sein müssen. Daraus wiederum folgt, dass mindestens ein Extremum vorliegen muss. Diese Aussage ist richtig.
  2. Zwischen zwei Extremstellen muss allerdings keine Nullstelle liegen. Zum Beispiel hat die Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)+3$ auf dem Intervall $I=[0;2\pi]$ zwei Extrema, einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt. Allerdings hat die Funktion sicherlich keine Nullstelle, da $f(x)\ge 2$ für alle $x$ gilt. Diese Aussage ist falsch.
  3. Wendestellen sind Nullstellen der zweiten Ableitungen. Wenn die Funktion zwei Extremstellen ($x_1$ und $x_2$) besitzt, dann ist dort die 1. Ableitung jeweils $0$. Es gilt also $f'(x_1)=f'(x_2)=0$. Nach dem Satz von Rolle muss es somit mindestens eine Stelle $x_0$ geben mit $x_1\le x_0\le x_2$ für die gilt $f''(x_0)=0$ ist, da die 2. Ableitung die Ableitung der 1. Ableitung ist. Ebenso wie bei der Extremstelle zwischen zwei Nullstellen kann man argumentieren, dass auch tatsächlich eine Wendestelle vorliegt. Die entsprechende Aussage ist korrekt.
  4. Gegenbeispiel: Bei der Funktion $f(x)=x^2-4$ gibt es zwei Nullstellen $x_1=-2$ und $x_2=2$. Der Graph der Funktion ist eine Parabel. Diese hat keine Wendestellen. Somit ist diese Aussage falsch.