Regelmäßige Vielecke konstruieren

Regelmäßige Vielecke konstruieren Übung

• Stelle die Formel für die Berechnung des Innenwinkels $\alpha$ eines regelmäßigen Vielecks auf.

  Tipps

  Um ein regelmäßiges Vieleck zu zeichnen, zerlegt man einen Kreis in gleich große Stücke. Wie groß ist der Vollwinkel in einem Kreis?

  Der Vollwinkel eines Kreises beträgt $360°$.

  Möchte man ein regelmäßiges n-Eck zeichnen, so muss man zunächst einen Kreis in $n$ gleich große Stücke unterteilen.

  $n$ ist dabei also die Anzahl der Ecken.

  Lösung

  Um den Innenwinkel $\alpha$ eines regelmäßigen Vieleckes auszurechnen, muss man den Vollwinkel eines Kreises, $360°$, durch die Anzahl der Ecken teilen.

  Als Formel:

  $\alpha = \large{\frac{360°}{\text{Anzahl der Ecken}}}$

• Erstelle die Konstruktionsanleitung eines regelmäßigen Sechsecks.

  Tipps

  Versuche, aus den einzelnen Sätzen Hinweise zu finden, welcher Schritt vor dem anderen kommt.

  Bevor man die Ecken auf dem Kreis markieren kann, sollte man wissen, in welchem Abstand sie voneinander liegen.

  Lösung

  1. Zeichne einen Kreis und markiere den Mittelpunkt.
  2. Teile den Vollwinkel des Kreises durch die Anzahl der Ecken, also $\large{\frac{360°}{6}} = 60°$.
  3. Zeichne vom Mittelpunkt des Kreises eine Hilfslinie zum Rand und markiere im Abstand von $60°$, also dem Innenwinkel des Sechsecks, jeweils einen Punkt auf der Kreislinie.
  4. Wiederhole den Vorgang so lange, bis du zur ersten Hilfslinie gelangst.
  5. Verbinde alle benachbarten Punkte und radiere Rundungen und Hilfslinien weg.

• Entscheide, welche Aussagen über den Innenwinkel $\alpha$ eines regelmäßigen Vielecks wahr sind.

  Tipps

  Wie zeichnet man ein regelmäßiges Vieleck und wann kommt der Innenwinkel ins Spiel und wo liegt dieser?

  Der Innenwinkel befindet sich beim Zeichnen eines regelmäßigen Vielecks zwischen den Hilflinien zweier benachbarter Punkte.

  Lösung

  Aussage 1: $\alpha$ ist der Winkel zwischen zwei Seiten eines regelmäßigen Vielecks. Falsch

  Als Gegenbeispiel betrachte ein gleichseitiges Dreieck. Die Innenwinkelsumme beträgt $180°$ , sodass jeder Winkel $60°$ groß ist. Nach der Aussage müsste jeder Winkel aber $\alpha = \large{\frac{360°}{\text{Anzahl der Ecken}}}= \large{\frac{360°}{3}} = 120°$ groß sein. Das ist ein Widerspruch. Die Aussage ist also falsch.

  Aussage 2: Der Innenwinkel berechnet sich durch die Formel $\alpha = \large{\frac{\text{Anzahl der Ecken}} {360°}}$. Falsch

  Die korrekte Formel lautet: $\alpha = \large{\frac{360°}{\text{Anzahl der Ecken}}}$

  Aussage 3: $\alpha$ ist der Winkel zwischen zwei Diagonalen nebeneinanderliegender Punkte. Wahr

  Wenn man ein regelmäßiges Vieleck konstruiert, dann zeichnet man zuerst einen Kreis. Die Diagonalen des späteren Vielecks entsprechen im Grunde dem Durchmesser des Kreises. Der Winkel, den der Schnittpunkt der Diagonalen (der Mittelpunkt) benachbarter Punkte einschließt, ist dann der Innenwinkel oder auch Mittelpunktswinkel genannt.

  Aussage 4: $\alpha$ ist bei allen regelmäßigen Vielecken, außer bei regelmäßigen Siebzehnecken, gleich groß. Falsch

  Der Innenwinkel ist bei allen regelmäßigen Vielecken gleich groß.

  Aussage 5: Der Innenwinkel $\alpha$ wird auch Mittelpunktswinkel genannt. Wahr

• Konstruiere ein regelmäßiges Neuneck.

  Tipps

  Wie lautet die Formel zur Berechnung des Innenwinkels?

  $\text{Innenwinkel} = \Large{\frac{360°}{\text{Anzahl der Ecken}}}$

  Mithilfe eines Kreises beginnt man die Konstruktion eines regelmäßigen Vielecks.

  Lösung

  Um ein regelmäßiges Neuneck zu konstruieren, zeichnet man zuerst einen Kreis. Dann markiert man den Mittelpunkt.

  Um den Innenwinkel (Dieser kann auch als Mittelpunktswinkel bezeichnet werden) zu berechnen, muss man den Vollwinkel, also $360°$ durch die Anzahl der Ecken teilen.

  Hier ist das $360° ~:$ 9 $=$ 40°.

  Zeichne nun vom Mittelpunkt zum Rand des Kreises eine Hilfslinie und markiere den Punkt auf den Kreisrand. Zeichne nun im Abstand von 40° eine weitere Hilfslinie ein. Führe den Vorgang sooft durch, bis du wieder zum ersten Punkt gelangst. Auf dem Kreisrand sind nun neun Punkte markiert.

  Verbinde alle Punkte, die nebeneinander liegen und entferne die Hilfslinien und den Kreis. Schon hast du ein regelmäßiges Neuneck gezeichnet.

• Bestimme, welche Figuren regelmäßige Vielecke sind.

  Tipps

  Welche Eigenschaften haben regelmäßige Vielecke?

  Bei regelmäßigen Vielecken sind alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß.

  Lösung

  (Bilder von links nach rechts, von oben nach unten betrachtet)

  Bild $1$: Kreis

  Ein Kreis ist zwar eine geometrische Figur, aber kein Vieleck.

  Bild $2$: Zehneck

  Das Zehneck ist regelmäßig, da alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind.

  Der Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks ist der Winkel zwischen zwei Seiten, der sich im Inneren des Vielecks befindet.

  Bild $3$: Dreieck 1

  Dieses Dreieck ist regelmäßig, da alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind.

  Bild $4$: Dreieck 2

  Dieses Dreieck ist nicht regelmäßig, sondern rechtwinklig. Da nach der Innenwinkelsumme für gleichseitige Dreieck $\alpha = \beta = \gamma = 60°$ gilt, aber ein Winkel $90°$ beträgt, kann es nicht regelmäßig sein.

  Bild $5$: Rechteck

  In einem Rechteck sind zwar alle Innenwinkel gleich groß (nämlich $90°$), aber die Seiten dieses Rechtecks sind nicht gleich lang.

  Ein regelmäßiges Rechteck nennt man Quadrat.

  Bild $6$: Fünfeck

  Das Fünfeck ist regelmäßig, da alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind.

• Ermittle den Innenwinkel $\alpha$ der regelmäßigen Vielecke.

  Tipps

  Überlege, was der Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks ist und wie man ihn berechnet.

  Die Formel für den Innenwinkel $\alpha$ lautet:

  $\alpha = \frac{360°}{\text{Anzahl der Ecken}}$.

  Zähle die Ecken der regelmäßigen Vielecke.

  Lösung

  Die Formel für den Innenwinkel $\alpha$ lautet: $\alpha = \frac{360°}{\text{Anzahl der Ecken}}$. Man sollte also zuerst die Ecken der regelmäßigen Vielecke zählen, um dann mithilfe der Formel den Innenwinkel auszurechnen.

  Vieleck 1: regelmäßiges Fünfeck

  $\alpha = \frac{360°}{\text{Anzahl der Ecken}} = \frac{360°}{5} = 72°$

  Vieleck 2: regelmäßiges Dreieck

  $\alpha = \frac{180°}{\text{Anzahl der Ecken}}= \frac{180°}{3} = 60°$

  Vieleck 3: regelmäßiges Viereck (Quadrat)

  $\alpha = \frac{360°}{\text{Anzahl der Ecken}} = \frac{360°}{4} = 90°$

  Vieleck 4: regelmäßiges Zwölfeck

  $\alpha = \frac{360°}{\text{Anzahl der Ecken}} = \frac{360°}{12} = 30°$