Quadratwurzeln von Quotienten

Quadratwurzeln von Quotienten Übung

• Berechne die Reisedauer des neuen Wegs.

  Tipps

  Bevor man mit den gegebenen Werten rechnet, stellt man eine Gleichung mit Variablen auf, an deren Stellen dann die dazugehörigen Werte eingesetzt werden können.

  Lösung

  Der Satz des Pythagoras besagt:

  $a^2+b^2=c^2$

  Das bedeutet im Umkehrschluss auch:

  $c^2=a^2+b^2$

  Um jetzt $c$ zu berechnen, ziehen wir die Wurzel:

  $\sqrt{c^2}=\sqrt{a^2+b^2}$

  Diese Gleichung vereinfachen wir. Nun setzen wir die oben genannten Werte ein. Damit ergibt sich:

  $c=\sqrt{(\frac23)^2+(\frac13)^2}$

  Das wird weiter vereinfacht:

  $c=\sqrt{\frac49 + \frac19}=\sqrt{\frac59}$

  Danach wenden wir die Quotientenregel an:

  $\sqrt{\frac59}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt5}{3}$

  $\frac{\sqrt5}{3} \approx 0,75 = \frac34$

  Wenn Wendelin also Weg $c$ wählen würde, bräuchte er nur circa $\frac34$ Tage.

• Ergänze die Berechnungen der Wurzelterme.

  Tipps

  Wenn $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ gilt, dann gilt auch $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

  Vergleiche mit folgender Rechnung:

  $\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}}=\frac53$

  Lösung

  Das Wurzelgesetz für Quotienten besagt: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
  Das bedeutet gleichzeitig auch: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

  Demnach sehen die Rechnungen folgendermaßen aus.

  $\begin{array}{ll} &\frac{\sqrt{90}}{\sqrt{10}} &\vert\ \text{Wurzelgesetz} \\ =&\sqrt{\frac{90}{10}} &\vert\ \text{vereinfachen} \\ =&\sqrt{9} &\vert\ \text{Wurzel ziehen} \\ =&3 & \end{array}$

  Das Ergebnis ist also $3$.

  $\begin{array}{ll} &\sqrt{\frac{49}{9}} &\vert\ \text{Wurzelgesetz} \\ = &\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} &\vert\ \text{Wurzel ziehen} \\ = &\frac73 & \end{array}$

  Hier erhalten wir das Ergebnis $\frac73$.

  $\begin{array}{ll} &\frac{-6\sqrt{20}}{2\sqrt{5}} &\vert\ \text{Koeffizienten von Wurzel trennen} \\ = &\frac{-6}{2}\cdot\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} &\vert\ \text{Wurzelgesetz} \\ = &-3\cdot\sqrt{\frac{20}{5}} &\vert\ \text{vereinfachen} \\ = &-3\cdot\sqrt{4} &\vert\ \text{Wurzel ziehen} \\ = &-3\cdot2 & \\ = &-6 & \end{array}$

  Dieser kompliziert aussehende Wurzelbruch hat also den schlichten Wert $-6$.

• Bestimme das Ergebnis zum gegebenen Quadratwurzelterm.

  Tipps

  Vergleiche mit folgender Rechnung:

  $\frac{10\sqrt{120}}{-5\sqrt{30}}=\frac{10}{-5}\cdot\frac{\sqrt{120}}{\sqrt{30}}=\frac{10}{-5}\cdot\sqrt{\frac{120}{30}}=-2\cdot\sqrt{4}=-2\cdot2=-4$

  So wird das Wurzelgesetz für Quotienten angewendet:

  $\sqrt{\frac{27}{81}}=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{81}}$

  Lösung

  Wenn das Wurzelgesetz $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ gilt, dann gilt auch $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

  Diesem Gesetz nach werden die Wurzelterme wie folgt ausgerechnet:

  Erster Term

  $\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{32}{2}}=\sqrt{16}=4$

  Zweiter Term

  $\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}=\frac85$

  Dritter Term

  $\frac{-8\sqrt{60}}{-2\sqrt{15}}=\frac{-8}{-2}\cdot\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{15}}=\frac{-8}{-2}\cdot\sqrt{\frac{60}{15}}=4\cdot\sqrt{4}=4\cdot2=8$

  Vierter Term

  $\sqrt{\frac{121}{144}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{144}}=\frac{11}{12}$

• Ermittle die Länge der gesuchten Strecke.

  Tipps

  $c$ ist hier die gesuchte Strecke. Sie soll als Bruchteil der gesamten Strecke angegeben werden.

  $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ und $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

  Lösung

  Zur Berechnung muss der Pilot den Satz des Pythagoras verwenden. Er lautet wie folgt:

  $c^2=a^2+b^2$

  Aus dieser Formel zieht er nun die Wurzel. Das sieht so aus:

  $\sqrt{c^2}=\sqrt{a^2+b^2}$

  Der Pilot betrachtet anschließend erst einmal nur die rechte Seite der Gleichung. Er setzt die Werte für $a$ und $b$ ein. Dabei müssen unter dem Wurzelzeichen folgende Ausdrücke stehen:

  $(\frac{1}{16})^2+(\frac{3}{16})^2$

  Die ganze Gleichung sähe hier so aus:

  $c=\sqrt{(\frac{1}{16})^2+(\frac{3}{16})^2}$

  Der Pilot fasst weiter zusammen. Auf der rechten Seite der Gleichung unter dem Wurzelzeichen steht jetzt:

  $\frac{9}{256}+\frac{1}{256}$

  $=\frac{10}{256}$

  An diesem Punkt wendet er noch schnell das Wurzelgesetz für Quotienten an, um einfacher rechnen zu können. Dabei dividiert er folgende Werte in einem Bruch:

  $c=\sqrt{10}\div\sqrt{256}$

  So sähe dieser Schritt mit der ganzen Gleichung aus:

  $c=\sqrt{\frac{9}{256}+\frac{1}{256}}=\sqrt{\frac{10}{256}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{256}}$

  Fast geschafft! Der Pilot zieht die Wurzel, wo es möglich ist, und rundet sein Ergebnis:

  $c=\frac{\sqrt{10}}{16}\approx0,2$

  Für die Strecke von Straßburg direkt nach Hamburg braucht das Flugzeug also circa $\frac15$ des Treibstoffs. Knapp, aber reicht!

• Gib das Wurzelgesetz für Quotienten wieder.

  Tipps

  Ein Quotient ist das Ergebnis der Division zweier Zahlen.

  Lösung

  Das Wurzelgesetz für Quotienten besagt:

  Die Wurzel eines Quotienten ist gleich der Wurzel des Zählers geteilt durch die Wurzel des Nenners.

  Dies gilt für alle positiven reellen Zahlen $a$ und $b$, solange gilt $\mathbf{b\neq0}$.

• Untersuche, welches Ergebnis zu welchem Wurzelterm gehört.

  Tipps

  Sieh dir dieses Beispiel an:

  $\sqrt{9}=\sqrt[2]{9}=\sqrt[2]{3^2}=3$

  $\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$

  Vergleiche mit folgendem Beispiel:

  $4^3 = 64 \Longleftrightarrow \sqrt[3]{64} = 4$

  Lösung

  So werden die Terme mithilfe des Wurzelgesetzes für Quotienten berechnet:

  Erster Term

  $\sqrt[3]{\frac{343}{125}}=\frac{\sqrt[3]{343}}{\sqrt[3]{125}}=\frac{\sqrt[3]{7^3}}{\sqrt[3]{5^3}}=\frac75$

  Zweiter Term

  $\frac{-12\sqrt{288}}{-4\sqrt{8}}=\frac{-12}{-4}\cdot\frac{\sqrt{288}}{\sqrt{8}}=3\cdot\sqrt{\frac{288}{8}}=3\cdot\sqrt{36}=3\cdot6=18$

  Dritter Term

  $\frac{\sqrt[3]{108}}{\sqrt[3]{4}}=\sqrt[3]{\frac{108}{4}}=\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3$

  Vierter Term

  $\frac{40\sqrt[3]{189}}{20\sqrt[3]{7}}=\frac{40}{20}\cdot\frac{\sqrt[3]{189}}{\sqrt[3]{7}}=2\cdot\sqrt[3]{\frac{189}{7}}=2\cdot\sqrt[3]{27}=2\cdot\sqrt[3]{3^3}=2\cdot3=6$