Potenzfunktionen – Parabeln und ihre Eigenschaften

Potenzfunktionen – Parabeln und ihre Eigenschaften Übung

• Bestimme die Eigenschaften der Parabeln.

  Tipps

  Jede Potenzfunktion ist auf $\mathbb D = \mathbb R$ definiert.

  Bei dem Term $x^3$ ist $3$ der Exponent und $x$ die Basis.

  Eine Potenzfunktion mit geradem Exponenten nimmt keine negativen Funktionswerte an.

  Lösung

  In der Aufgabe betrachten wir Potenzfunktionen der Form:

  • $f(x) = x^n$

  mit einer natürlichen Zahl $n$ im Exponenten.

  Der Definitionsbereich dieser Funktionen ist $\mathbb D = \mathbb R$, denn du kannst jede reelle Zahl in die Variable $x$ einsetzen.

  Der Wertebereich $\mathbb W$ ist abhängig von dem Exponenten $n$. Für ein gerades $n$ ergeben sich nur nichtnegative Funktionswerte. Denn jede gerade Potenz einer Zahl ist positiv. Daher ist hier: $\mathbb W = \mathbb{R}^+_0$.

  Setzt du eine Zahl $x$ und ihre Gegenzahl $-x$ in die Funktion $f(x) =x^n$ mit geradem $n$ ein, so erhältst du jeweils den gleichen Wert. Der Funktionsgraph ist daher achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

  Der genaue Verlauf des Graphen hängt ab vom Exponenten $n$ der Funktion $f(x) = x^n$. Je größer $n$ ist, desto steiler steigt der Graph bei $x>1$ an.

  Alle Funktionen $f(x) = x^n$ mit geradem $n$ haben drei Punkte gemeinsam. Dies sind die Punkte:

  • $(0|0)$, denn $f(0) = 0^n =0$ sowie $(1|1)$ und $(-1|1)$. Denn hier ist $f(1) = 1^n = 1 = (-1)^n= f(-1)$.

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Punktsymmetrisch zu $(0|0)$ ist eine Funktion $f$ genau dann, wenn gilt:

  $f(-x) = -f(x)$

  Jede gerade Potenz einer Zahl ist positiv.

  Der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ ist symmetrisch zur $y$-Achse.

  Lösung

  Folgende Sätze sind korrekt:

  • „Der Wertebereich einer Parabelfunktion mit ungeradem Exponenten ... ist $\mathbb R$.“ Setzt du positive Zahlen für $x$ ein, so erhältst du positive Funktionswerte, für negative $x$ ergeben sich negative Funktionswerte.

  • „Der Wertebereich einer Parabelfunktion mit ungeradem Exponenten ... ist $\mathbb R^+_0$.“ Denn jede gerade Potenz einer Zahl $\neq 0$ ist positiv. Daher nimmt jede Potenzfunktion der Form $f(x) = x^n$ mit geradem $n$ keine negativen Werte an.

  • „Jede Parabelfunktion mit ungeradem Exponenten ... ist punktsymmetrisch zu $(0|0)$.“ Denn für jede solche Funktion ist $f(-x) = (-x)^n = -x^n = -f(x)$.

  • „Jede Parabelfunktion mit geradem Exponenten ... ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.“ Denn für diese Funktionen gilt stets: $f(-x) = (-x)^n = x^n = f(x)$.

  • „Der Punkt $(-1|-1)$ ... liegt auf jeder Parabel mit ungeradem Exponenten.“ Für jede Parabelfunktion $f(x) = x^n$ mit ungeradem $n$ gilt nämlich: $f(-1) = (-1)^n = -1$.

• Vergleiche die abgebildeten Funktionsgraphen.

  Tipps

  Die Graphen von Potenzfunktionen $f(x) = x^n$ mit geradem $n>1$ sind symmetrisch zur $y$-Achse.

  Je größer der Exponent einer Potenzfunktion $f(x) = x^n$ mit geradem $n>1$ ist, desto steiler ist der Verlauf für $|x|>1$ und desto flacher für $|x|<1$.

  Lösung

  Potenzfunktionen der Form $f(x) = x^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ und $n>1$ kann man als verallgemeinerte Parabeln bezeichnen. Der Verlauf des Funktionsgraphen hängt vom Exponenten ab.

  Die Graphen von Potenzfunktionen $f(x) = x^n$ mit geradem $n$ sind symmetrisch zur $y$-Achse und nehmen keine negativen Funktionswerte an. Jede nicht negative Zahl $y \in \R^+_0$ kommt im Wertebereich $\mathbb W$ jeder solchen Funktion vor.

  Demnach haben folgende Funktionen einen geraden Exponenten $n$:

  • $f_{\text{gelb}}$
  • $f_{\text{blau}}$

  Bei ungeradem Exponenten $n$ kann $f(x) = x^n$ jede reelle Zahl als Funktionswert annehmen. Der Graph jeder solchen Funktion ist punktsymmetrisch zu $(0|0)$.

  Wir erhalten die folgenden beiden Funktionen mit ungeradem Exponenten $n$:

  • $f_{\text{rot}}$
  • $f_{\text{gr}\ddot{\text{u}}\text{n}}$

  Die Größe des Exponenten gibt Auskunft über den Verlauf des Funktionsgraphen: Je größer der Exponent, desto steiler ist der Verlauf für $|x|>1$ und desto flacher für $|x|<1$.

  Also treffen noch folgende Aussagen zu:

  • $n_{\text{blau}} < n_{\text{rot}}$
  • $n_{\text{rot}} > n_{\text{gr}\ddot{\text{u}}\text{n}}$
  • für alle $x>1$ gilt: $~f_\text{rot}(x) > f_\text{gelb}(x)$

• Erschließe die Eigenschaften der jeweiligen Funktionsgraphen.

  Tipps

  Multiplizierst du eine Potenzfunktion $f(x) = x^n$ mit einem Koeffizienten $>1$, so verläuft der Graph steiler als der von $f(x) = x^n$ und geht nicht durch $(1|1)$.

  Hier siehst du den Funktionsgraphen von $f(x) = -3x^3$.

  Lösung

  Eine Potenzfunktion der Form $f(x) = x^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ und $n\geq 1$ hat folgende Eigenschaften:

  • Je größer $n$ ist, desto steiler ist der Verlauf für $|x|>1$.
  • Für gerade $n$ ist der Funktionsgraph achsensymmetrisch zur $y$-Achse, für ungerade $n$ punktsymmetrisch zu $(0|0)$.

  Liegt eine Potenzfunktion in der Form $f(x) = a\cdot x^n$ vor, so hat der Koeffizient $a$ folgenden Einfluss:

  • Ist $a$ negativ, so wird die Parabel an der $x$-Achse gespiegelt.
  • Ist $|a|>1$, so steigt und fällt die Parabel steiler.
  • Ist $0<|a|<1$, so steigt und fällt die Parabel flacher.

  Damit können wir die folgenden Eigenschaften festhalten:

  Beispiel 1: $~f(x)=2x^3$

  • Der Funktionsgraph zu $f$ ist eine Parabel 3. Ordnung.
  • Der Graph liegt im 1. und 3. Quadranten (da $a>0$) und verläuft durch den Koordinatenursprung.
  • Der Graph steigt im Bereich $x>0$ steiler an (da $|a|=2>1$) als der Graph zu $k(x)=x^3$.

  Beispiel 2: $g(x)=0,5x^4$

  • Der Funktionsgraph zu $g$ ist eine Parabel 4. Ordnung.
  • Der Graph liegt im 1. und 2. Quadranten (da $a>0$) und verläuft durch den Koordinatenursprung.
  • Der Graph steigt im Bereich $x>0$ steiler an (da $|a|=5>1$) als der Graph zu $l(x)=x^4$.

  Beispiel 3: $h(x)=-0,5x^2$

  • Der Funktionsgraph zu $h$ ist eine Parabel 2. Ordnung.
  • Der Graph liegt im 3. und 4. Quadranten (da $a<0$) und verläuft durch den Koordinatenursprung.
  • Der Graph steigt im Bereich $x<0$ flacher an (da $|a|=0,5<1$) als der Graph zu $m(x)=-x^2$.

• Bestimme die Eigenschaften der Normalparabel.

  Tipps

  Setze $x=0$ in die Funktion $f(x) = x^2$ ein und berechne den Funktionswert $f(0)$.

  Bei jeder Funktion $f$ ist der Funktionswert $f(x)$ durch den Wert der Variablen $x$ eindeutig bestimmt.

  Der Graph der Funktion $f(x) = x^3$ steigt überall an, aber der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ nicht.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Der Funktionsgraph der Funktion der Form $f(x) = x^2$ ist eine Parabel.“ Man nennt diese Parabel auch die Normalparabel, weil der Koeffizient von $x^2$ auf $1$ normiert ist. Der Graph der Funktion $f(x) = 3 \cdot x^2$ ist auch eine Parabel, aber keine Normalparabel.

  • „Der Punkt $(0|0)$ gehört zum Graphen der Funktion $f(x)= x^2$.“ Setzt du $x=0$ in die Funktion ein, so erhältst du den Funktionswert $f(0) = 0^2 =0$.

  • „Zu jedem Wert der Variablen $x$ gehört genau ein Funktionswert der Funktion $f(x) = x^2$.“ Dies ist bei jeder Funktion der Fall: Setzt du einen konkreten Wert in die Variable $x$ ein, so erhältst du den eindeutig bestimmten Funktionswert $f(x)$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Jeder Funktionswert der Funktion $f(x) = x^2$ ist doppelt so groß wie der zugehörige Wert der Variablen $x$.“ Setzt du z. B. $x=3$ ein, so erhältst du $f(3) = 3^2 = 9$ und $9$ ist nicht das Doppelte von $3$.

  • „Zu jedem Funktionswert der Funktion $f(x) = x^2$ gehört genau ein Wert $x$.“ Setzt du $x=-1$ ein, so erhältst du denselben Funktionswert wie bei $x=1$, denn $f(-1) = (-1)^2 = 1= 1^2 = f(1)$. Du erhältst also zwei mögliche Werte für $x$.

  • „Je größer die Werte der Variablen $x$ sind, desto steiler steigt der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ an.“ Dies gilt nur für Werte der Variablen $x$, die größer als $0$ sind. Für Werte $x<0$ gilt: Je größer $x$ ist, desto flacher verläuft der Graph der Funktion $f(x) = x^2$.

• Bestimme die Punkte des Funktionsgraphen.

  Tipps

  Die Graphen von Potenzfunktionen mit auschließlich geraden Exponenten sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

  Lösung

  Du kannst die Punkte der Funktionsgraphen bestimmen, indem du die einfach zu berechnenden Werte $x= 0$ sowie $x= \pm 1,\pm 2,\pm 3$ etc. in die Funktionsterme einsetzt. Auf diese Weise erhältst du die Punkte $(x|f(x))$ auf dem Funktionsgraphen.

  Zur Kontrolle kannst du auch den Verlauf der Graphen beachten: Der Funktionsgraph einer Potenzfunktion mit ausschließlich geraden Exponenten ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Das gilt auch dann, wenn verschiedene Potenzen (aber alle mit geraden Exponenten) vorkommen und einige Koeffizienten negativ sind. Sind dagegen alle Exponenten ungerade, so ist der Graph in jedem Falle punktsymmetrisch zu $(0|0)$.