Partielle Integration

Partielle Integration

Aus der Differenzialrechnung kennst du bereits die Produktregel zur Berechnung der Ableitung einer Produktfunktion. In der Integralrechnung gibt es eine dazu analoge Rechenregel – die partielle Integration.

Partielle Integration – Formel

Die Formel zur partiellen Integration sieht in ihrer allgemeinen Form folgendermaßen aus:

Partielle Integration – Bestimmtes Integral

Die Formel lässt sich auch auf bestimmte Integrale anwenden:

Wenn wir eine Funktion $f(x)$ gegeben haben, die integriert werden soll, so müssen wir diese als Produkt von zwei Funktionen $u(x)$ und $v^{\prime}(x)$ darstellen können, um die Formel für die partielle Integration anwenden zu können. Es soll also gelten:

$f(x) = u(x) \cdot v^{\prime}(x)$

Vielleicht kommt dir auf den ersten Blick merkwürdig vor, dass die Funktion $v^{\prime}(x)$ bereits als Ableitung in der Formel steht. Allerdings können wir (fast) jede Funktion als die Ableitung einer anderen Funktion auffassen.

Eine Funktion $f(x) = e^x \cdot 2x$ wäre ein typisches Beispiel für eine Funktion, die wir als Produkt zweier Funktionen $u(x)$ und $v^{\prime}(x)$ auffassen können. Das könnten wir folgendermaßen formulieren:

$f(x) = e^x \cdot 2x = u(x) \cdot v^{\prime}(x)$
$u(x) = e^x$
$v^{\prime}(x) = 2x$

Partielle Integration – Herleitung

Wir wollen uns noch anschauen, wie wir die Regel der partiellen Integration aus der Produktregel der Differenzialrechnung herleiten können. Dazu schreiben wir die Produktregel zunächst einmal auf:

Wir können den ersten Term der rechten Seite durch Subtraktion auf die linke Seite bringen:

$( u(x) \cdot v(x) )^{\prime} - u^{\prime}(x) \cdot v(x) = u(x) \cdot v^{\prime}(x) $

Wir bilden auf beiden Seiten das Integral:

$\int ( ( u(x) \cdot v(x) )^{\prime} - u^{\prime}(x) \cdot v(x) ) \text{d}x= \int u(x) \cdot v^{\prime}(x) \text{d} x$

Nach der Summenregel der Integrationsrechnung können wir die linke Seite in zwei Integrale aufteilen:

$\int ( u(x) \cdot v(x) )^{\prime} \text{d}x - \int u^{\prime}(x) \cdot v(x) \text{d}x= \int u(x) \cdot v^{\prime}(x) \text{d} x$

Im ersten Term auf der linken Seite können wir Integral und Ableitung wegfallen lassen, da sich beide gegenseitig aufheben. Zur Verdeutlichung: In diesem Term bilden wir zunächst die Ableitung einer Funktion und integrieren sie im Anschluss. Das Integral (oder die Stammfunktion) einer Ausgangsfunktion ist aber gerade diejenige Funktion, deren Ableitung die Ausgangsfunktion ist.

Also erhalten wir:

Das ist gerade die Formel der partiellen Integration (mit vertauschten Seiten). Andersherum kannst du dir auch folgende Kurzschreibweise merken:

$\int (uv') dx= uv-\int (u'v)dx$

Die Formel bzw. Regel der partiellen Integration wird auch Produktintegration genannt.

Partielle Integration – Anwendung

Wann ist es sinnvoll, die Produktintegration, also die Regel der partiellen Integration, anzuwenden?
Wir wenden die partielle Integration an, um eine Funktion zu integrieren, die sich aus zwei oder mehreren Faktoren zusammensetzt. Beispiele für solche Funktionen sind:

• $f(x)=x \cdot e^x$
• $g(x)=\sin(x) \cdot \cos(x)$
• $h(x)=x \cdot \ln(x)$

Allerdings steht in der Formel der partiellen Integration, die wir oben eingeführt haben, ja auf beiden Seiten ein Integral. Worin soll also der Vorteil liegen? Wir wollten es doch leichter haben und nicht schwerer!

Für eine sinnvolle Anwendung der partiellen Integration ist Folgendes zu beachten:

Wir müssen bei der Integration einer Produktfunktion genau überlegen, welcher der beiden Faktoren die Rolle von $v^{\prime}(x)$ spielen soll. Denn von dieser Funktion müssen wir die Stammfunktion kennen. Die andere Funktion spielt dann die Rolle von $u(x)$.

Im Folgenden sehen wir uns ein paar konkrete Beispiele an.

Partielle Integration – Beispiele

Als Beispiel betrachten wir die Funktion $f(x) = x^{3} \cdot x^{2}$. Für diese Funktion wäre die partielle Integration zwar nicht notwendig, aber so können wir das Prinzip der partiellen Integration verstehen und im Anschluss überprüfen.

Wir müssen zunächst festlegen, welchen der Faktoren wir mit $u(x)$ und welchen wir mit $v^{\prime}(x)$ identifizieren. Die Funktion $u(x)$ werden wir im Verlauf der Rechnung ableiten, die Funktion $v^{\prime}(x)$ integrieren müssen. Wir wählen in diesem Fall folgendermaßen aus:

Die Ableitung beziehungsweise Stammfunktion haben wir nach den Potenzregeln der Differenzial- beziehungsweise Integralrechnung gebildet. Die so erhaltenen Funktionen müssen wir nun lediglich in die Rechenvorschrift der partiellen Integration einsetzen.

Im letzten Term können wir $\frac{1}{3}$ und $3$ kürzen und den ersten Term der rechten Seite vereinfachen:

$ \int x^{3} \cdot x^{2} \text{d}x = \frac{1}{3}x^{6} - \int x^{2} \cdot x^{3} \text{d}x $

Der letzte Term ist damit dasselbe Integral wie auf der linken Seite. Wir können ihn also durch Addition auf die linke Seite bringen. So erhalten wir:

$2 \cdot \int x^{3} \cdot x^{2} \text{d}x = \frac{1}{3}x^{6}$

Jetzt teilen wir auf beiden Seiten durch $2$ und erhalten die Stammfunktion:

$\int x^{3} \cdot x^{2} \text{d}x = \frac{1}{6}x^{6}$

Zur Probe können wir das Integral auch auf herkömmlichem Wege mit der Potenzregel der Integration berechnen:

$\int x^{3} \cdot x^{2} \text{d}x = \int x^{5} = \frac{1}{6} x^{6}$

Das Ergebnis der partiellen Integration ist also korrekt.

Partielle Integration – e-Funktion

Als Nächstes betrachten wir ein Produkt, bei dem ein Faktor die e-Funktion ist.

$f(x) = e^{x} \cdot 3x^{2}$

Wir ordnen wieder $u(x)$ und $v^{\prime}(x)$ geschickt zu. Es soll gelten:

Eingesetzt in die Formel der partiellen Integration ergibt sich:

$\int 3x^{2} \cdot e^{x} ~\text{d}x = 3x^{2} \cdot e^{x} - \int 6x \cdot e^{x} ~\text{d}x = 3x^{2} \cdot e^{x} - 6x \cdot e^x + 6e^x$

Hier haben wir die partielle Integration zweimal hintereinander angewendet.

Dabei ist es grundsätzlich eine gute Idee, der $e$-Funktion immer die Rolle von $v^{\prime}(x)$ zuzuordnen, da wir deren Stammfunktion sehr einfach bilden können. (Die Stammfunktion von $e^{x}$ ist einfach $e^{x}$.)
Polynome wie $3x^{2}$ werden hingegen in der Rolle von $u(x)$ stets einfacher, da wir diese ja im Zuge der Rechenvorschrift ableiten.

Partielle Integration – Aufgaben

Im Folgenden kannst du anhand einiger Aufgaben üben, welche der beiden Faktoren der zu integrierenden Produktfunktion die Rolle von $v^{\prime}(x)$ spielen sollte und wie die partielle Integration schließlich angewendet wird.

Ausblick – das lernst du nach Partielle Integration

Tauche tiefer ein in die Mathematik und entdecke weitere Techniken, die das Integrieren erleichtern. Die lineare Substitution und die Partialbruchzerlegung führen dich weiter auf deinem Weg zum Integrationsprofi. Lass dich faszinieren und entdecke die spannende Welt der Integrale!

Häufig gestellte Fragen zum Thema Partielle Integration