Parameter der Exponentialfunktion

Parameter der Exponentialfunktion Übung

• Skizziere den Graphen der Exponentialfunktion $g(x) = 2^x + 2$.

  Tipps

  Die allgemeine Exponentialfunktion lautet:

  $f(x) = b \cdot a^{x+c} + d$

  Vergleiche die beiden gegebenen Funktionen und überlege, welcher Parameter geändert wurde.

  Um eine Exponentialfunktion in $x$-Richtung zu verschieben, musst du zu der Variablen $x$ im Exponenten einen Parameter addieren.

  Lösung

  Die allgemeine Exponentialfunktion lautet

  $f(x) = b \cdot a^{x+c} + d$

  Dabei haben die verschiedenen Parameter unterschiedliche Auswirkungen auf den Funktionsgraphen:

  • $b$ ist der Streckfaktor. Damit wird der Graph gestreckt oder gestaucht. Für $b < 0$ ändert sich zudem das Monotonieverhalten der Funktion.
  • $c$ gibt die Verschiebung in Richtung der $x$-Achse an.
  • $d$ gibt die Verschiebung in Richtung der $y$-Achse an.

  
  

  In unserem Beispiel hat die Exponentialfunktion die Basis $2$, also $a = 2$.

  Um den richtigen Funktionsgraphen zu finden, betrachten wir zuerst die unveränderte Exponentialfunktion, von der wir ausgehen:

  $f(x) = 2^x$

  Die gegebene Funktion lautet $g(x) = 2^x + 2$. Hier wurde der Summand $2$ zur Funktion $f$ addiert. Dabei handelt es sich um den Parameter $d$. Es gilt: $d = 2 > 0 ~\Rightarrow~$ Der Graph von $f$ wird um $2$ Einheiten nach oben verschoben.

  Die ursprüngliche Exponentialfunktion $f$ schneidet die $y$-Achse in $y = 1$. Wenn wir den Graphen nun um $2$ Einheiten nach oben verschieben, muss $g$ die $y$-Achse bei $y = 3$ schneiden.

  Wir können somit alle Graphen eliminieren, die die $y$-Achse nicht bei $y = 3$ schneiden.

  Zudem sehen wir, dass die Asymptote des Graphen bei $y = 2$ liegt.

• Beschreibe die Parameter der Exponentialfunktion.

  Tipps

  Im Gegensatz zur Variablen $x$ sind die Parameter einer Funktion konstant und verändern sich nicht.

  Beispiel: Der Graph von
  $g(x) = 2^{x} - 6$ ist gegenüber vom Graphen
  $f(x) = 2^x$ um $6$ Einheiten nach unten verschoben.

  Lösung

  In der Exponentialfunktion der Form $f(x) = b \cdot a^{x+c}+d$ kommen fünf verschiedene Buchstaben vor, die unterschiedliche Auswirkungen auf die Funktion haben.
  Der Buchstabe $x$ steht sowohl links zwischen den Klammern als auch in dem Funktionsterm rechts. Daran erkennst du, dass $x$ die veränderliche Größe der Funktion ist, für die du verschiedene Werte einsetzen kannst. Diese Größe wird daher als veränderliche Variable (oder auch kurz als Variable) bezeichnet.
  Die Größen $a$, $b$, $c$ und $d$ werden nicht verändert, sie sind feste Parameter der Exponentialfunktion. Die Größen $a$, $b$, $c$ und $d$ beeinflussen den Verlauf des Funktionsgraphen. Das bedeutet: ändern wir einen dieser Größen, so ändert sich die gesamte Funktion und wir erhalten eine andere Funktion.

  Die Parameter $\color{#99CC00}{c}$ und $\color{#99CC00}{d}$ führen zu Verschiebungen des Funktionsgraphen in Richtung der $x$- und $y$-Achsen.
  Die Addition im Exponenten führt zu einer Verschiebung in $x$-Richtung. Genauer gesagt: der Funktionsgraph von ${g(x) = a^{x+c}}$ ist für $c > 0$ gegenüber dem Graphen von $f(x) = a^x$ auf der $x$-Achse um $c$ Einheiten nach links verschoben.
  Die Addition des Parameters $d$ zu dem Funktionsterm $f(x) = a^x$ entspricht für $d > 0$ einer Verschiebung in Richtung der $y$-Achse um $d$ Einheiten nach oben.

• Ermittle die Funktionsgleichungen der Exponentialfunktionen anhand der Graphen.

  Tipps

  Eine Verschiebung in $x$-Richtung erreichst du durch Addition oder Subtraktion einer Konstanten zum Exponenten.

  Setze zum Beispiel die Werte $x=0$ und $x=1$ ein, um den Verlauf des Funktionsgraphen zu beurteilen.

  Vergleiche die Funktionsverläufe mit dem Graphen von $f(x) = 2^x$, um die Werte der Parameter zu erschließen.

  Lösung

  Alle hier gezeigten Exponentialfunktionen haben dieselbe Basis. Die Parameter lassen sich also nur an dem genauen Funktionsverlauf im Vergleich zu dem von $f(x) = 2^x$ ablesen:

  • Der erste Funktionsgraph verläuft streng monoton fallend, der passende Funktionsterm ist daher $\color{99CC00}{f(x) = (-1) \cdot 2^x-2}$. Die Veränderung der Monotonie können wir an dem Faktor $-1$ fest machen. Der Graph wurde außerdem um $2$ Einheiten nach rechts verschoben.

  • Der zweite Funktionsgraph verläuft steiler, der passende Funktionsterm ist daher $\color{99CC00}{f(x) = 3 \cdot 2^x-1}$. Der Vorfaktor $b=3$ streckt den Graphen. Außerdem wurde der Graph um eine Einheit nach unten verschoben.

  • Der zweite Funktionsgraph hat die Asymptote $y = 2$, er ist also um $2$ Einheiten nach oben verschoben. Der passende Funktionsterm lautet $\color{99CC00}{f(x) = 2^x+2}$.

  • Der vierte Graph schneidet als einziger die $x$-Achse. Er gehört zu der Funktion $\color{99CC00}{f(x) = 2^{x-2}-2}$. Der Parameter $-2$ ganz rechts führt zu einer Verschiebung des Funktionsgraphen um $2$ Einheiten nach unten. Erst dadurch sind Nullstellen möglich, da der ursprüngliche Graph der Funktion $f(x) = 2^x$ die $x$-Achse nicht schneidet. Außerdem ist die Funktion aufgrund der $-2$ im Exponenten um $2$ Einheiten nach rechts verschoben.

  • Der Verlauf des letzten Funktionsgraphen ist im Vergleich zu $f(x) = 2^x$ in $x$-Richtung um eine Einheit nach links verschoben. Der passende Funktionsterm lautet daher $\color{99CC00}{f(x) = 2^{x+1}}$.

• Entscheide, welche Eigenschaften auf den Graphen der Funktion zutreffen.

  Tipps

  Skizziere den Graphen der Funktion, indem du die Parameter im Funktionsterm nacheinander auf den Graphen der Basisfunktion $2^x$ anwendest.

  Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse kann durch Einsetzen von $x = 0$ in den Funktionsterm berechnet werden.

  Lösung

  Die gegebene Funktionsgleichung ${f(x) = 0,\!5 \cdot 2^{x+4} - 5}$ hat die Basis $2$. Wir gehen also vom Graphen der Funktion $g(x) = 2^x$ aus und betrachten nacheinander die Auswirkungen der Parameter auf den Verlauf des Funktionsgraphen.

  • $d = -5$

  $\Rightarrow~$ Der Graph ist um $5$ Einheiten entlang der $y$-Achse nach unten verschoben. Die Asymptote liegt damit bei ${y = -5}$
  Die Aussage „Der Graph hat die Asymptote $y = 5$“ ist somit falsch.

  • $c = 4$

  $\Rightarrow~$ Der Graph ist um $4$ Einheiten entlang der $x$-Achse nach links verschoben.

  • $b = 0,\!5$

  $\Rightarrow~$ Der Graph wird gestaucht, da $\vert b \vert \lt 1$. Das Monotonieverhalten ist unverändert, da $b \gt 0$.
  Die Aussage „Der Graph wird gestreckt, da $0,\!5 \gt 0$.“ ist somit falsch.
  Die Aussage „Der Graph ist streng monoton steigend.“ ist hingegen richtig.

  Wir können den Graphen wie in der Darstellung skizzieren, um die verbleibenden Aussagen zu beurteilen:

  Die Aussage „Der Graph hat keine Nullstelle.“ ist falsch.
  Dies ergibt sich auch, da der Graph nach unten verschoben ist und streng monoton steigt.

  Die Aussage „Der Graph schneidet die $y$-Achse bei $3$.“ ist richtig.
  Wir können den Schnittpunkt auch mit $f(0) = 0,\!5 \cdot 2^{0+4} - 5 = 0,\!5 \cdot 16 - 5 = 3$ berechnen.

• Benenne die Größen im Funktionsterm der Exponentialfunktion.

  Tipps

  Faktoren sind Zahlen, die multipliziert werden.

  Die Potenz $m^n$ besteht aus der Basis $m$ und dem Exponenten $n$.

  Die Variable einer Funktion ist diejenige Größe, für die du verschiedene Werte einsetzen kannst.

  Lösung

  Die Exponentialfunktion $f(x) = b \cdot a^{x+c}+d$ besteht aus verschiedenen Bestandteilen:

  • $f$ bezeichnet die Funktion
  • $x$ ist die Variable, also die veränderliche Größe, die in die Funktion $f$ eingesetzt wird.
  • $a$ ist die Basis der Potenz.
  • $x + c$ ist der Exponent der Potenz. Sie gibt an, wie oft die Basis $a$ multipliziert werden soll.
  • $b$ ist der Faktor, mit dem die Potenz $a^{x+c}$ multipliziert wird.
  • $d$ ist der Summand, der zum Term $b\cdot a^{x+c}$ addiert wird.

  
  

  Beispiel: Bei der Funktion

  $f(x) = 3 \cdot 4^{x} + 5$

  haben wir folgende Bestandteile:

  • $f$ als die Funktionsbezeichnung,
  • $x$ als die Variable,
  • $3$ als den Faktor,
  • $4$ als die Basis,
  • $x$ als Exponent der Basis $4$ (Achtung: Hier ist $c = 0$)
  • und $5$ als Summand.

• Leite die Parameter der Exponentialfunktionen aus den Funktionsgraphen ab.

  Tipps

  Überlege, ob der Graph über oder unter der $x$-Achse liegt, um die Verschiebung auf der $y$-Achse zu ermitteln.

  Um die Verschiebung auf der $x$-Achse zu ermitteln, kannst du dich an der Position des Schnittpunkts mit der $y$-Achse der unterschobenen Funktion orientieren.

  Beispiel: Der Graph von $f(x) = 2^{x+1}$ wurde um eine Einheit nach links verschoben. Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse der unverschobenen Funktion liegt bei $y = 1$. Von diesem Punkt kannst du so weit nach links gehen, bis du den Graph triffst, um den Wert $c = 1$ zu bekommen.

  Lösung

  Die allgemeine Exponentialfunktion lautet

  $f(x) = b \cdot a^{x+c} + d$

  Wir betrachten im folgenden Exponentialfunktionen mit der Basis $a = 2$ und dem Vorfaktor $b = 1$, also:

  $f(x) = 2^{x+c}+d$

  Um die Werte der Parameter zu bestimmen, müssen wir die Graphen mit dem Graphen von $g(x) = 2^x$ oben vergleichen, da $a = 2$ ist. Da der Faktor $b = 1$ ist, gibt es weder eine Streckung, noch eine Stauchung. Wir müssen also die Verschiebungen in Richtung der Koordinatenachsen ermitteln.

  Dazu nutzen wir die Position der waagerechten Asymptote. Diese liegt für $g(x) = 2^x$ bei $y = 0$, da sich die Funktionswerte für $x \to -\infty$ der $0$ nähern. Außerdem können wir die Verschiebung des Schnittpunktes mit der $y$-Achse untersuchen. Dieser liegt für $g(x) = 2^x$ bei $(0 \vert 1)$.

  Funktionsgraph 1:

  Dieser Graph befindet sich unterhalb der $x$-Achse und wurde daher nach unten verschoben. Es muss also $d < 0$ gelten. Wenn wir die Asymptote des Graphen betrachten, liegt diese bei $y = -2$. Der Graph wurde also um $2$ Einheiten nach unten verschoben und es gilt: $d = \color{#99CC00}{-2}$.

  Der gegebene Graph schneidet die $y$-Achse bei $y = -1{,}5$. Da wir wissen, dass der Graph um $2$ Einheiten nach unten verschoben wurde, müsste der Schnittpunkt mit der $y$-Achse bei $y = -1 = 1 - 2$ liegen, falls der Graph nicht auf der $x$-Achse verschoben wäre. Wenn wir den Funktionsgraphen von $h(x) = 2^x - 2$ um eine Einheit nach rechts verschieben, erhalten wir die gesuchte Funktion. Das heißt, es gilt: $c = \color{#99CC00}{-1}$.

  Die Funktionsgleichung lautet:
  $f(x) = 2^{x-1} - 2$

  Hinweis: Hier hilft es zu schauen, ob der Schnittpunkt des neuen Graphen mit der $y$-Achse unter- oder oberhalb des Schnittpunkts des Graphen von $h(x) = 2^x - 2$ liegt. In diesem Fall liegt er drunter und damit können wir auf eine Verschiebung nach rechts schließen. Wir gehen auf der Höhe $y = -1$ soweit nach rechts, bis wir den Graphen treffen, um den Wert von $c$ zu finden.

  Funktionsgraph 2:

  Dieser Graph hat für $x \to -\infty$ eine Asymptote bei $y = 1$. Das heißt, der Graph wurde um eine Einheit nach oben verschoben, also: $d = \color{#99CC00}{1}$.

  Nach dem Verschieben sehen wir, dass der Graph die $y$-Achse bei $y = 2 = 1 + 1$ schneidet. Es liegt also keine Verschiebung entlang der $x$-Achse vor. Damit gilt: $c = \color{#99CC00}{0}$.

  Die Funktionsgleichung lautet:
  $f(x) = 2^{x} + 1$

  Funktionsgraph 3:

  Der Graph hat eine Asymptote bei $y = 3$. Er wurde also um $3$ Einheiten nach oben verschoben. Damit ergibt sich: $d = \color{#99CC00}{3}$.

  Nach dem Verschieben sollte der Graph die $y$-Achse bei $y = 4$ schneiden, falls dieser nicht auf der $x$-Achse verschoben ist. Wir sehen aber, dass der Schnittpunkt mit der $y$-Achse unter $4$ liegt. Der Graph wurde also nach rechts verschoben. Wir können den Wert von $c$ ermitteln, indem wir bei $y = 4$ soweit nach rechts gehen, bis wir den Graphen treffen. Das ist bei $x = 3$. Der gegebene Graph wurde also um $3$ Einheiten nach rechts verschoben. Wir erhalten: $c = \color{#99CC00}{-3}$.

  Die Funktionsgleichung lautet:
  $f(x) = 2^{x-3} + 3$