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Parallelverschiebung von Figuren

Lerne die Parallelverschiebung von Figuren mit Zirkel und Lineal! Verstehe, wie man jeden Punkt einer Figur parallel und in derselben Richtung verschiebt. Schritt-für-Schritt-Anleitung mit Lot und Geraden. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.

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Was ist eine Parallelverschiebung von Figuren?

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Parallelverschiebung von Figuren
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Grundlagen zum Thema Parallelverschiebung von Figuren

Parallelverschiebung mit Zirkel und Lineal

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In diesem Text wird die Parallelverschiebung von Figuren einfach erklärt. Bei einer Parallelverschiebung wird jeder Punkt einer Figur um dieselbe Länge in dieselbe Richtung verschoben. Wie man das Ganze durch das Arbeiten mit dem Zirkel und mit einem Lineal macht, schauen wir uns in diesem Text gemeinsam an.

Parallelverschiebung – Definition

Wir möchten das folgende Dreieck ABCABC verschieben. Die Richtung und Länge der Verschiebung ist durch den Verschiebungspfeil gegeben.

Verschiebungspfeil zur Parallelverschiebung

Die Figur wird entlang der Richtung des Verschiebungspfeils verschoben. Zudem wird sie genau so weit verschoben, wie der Verschiebungspfeil lang ist. Das sind die zwei wichtigen Eigenschaften der Parallelverschiebung. Schauen wir uns im Folgenden die Erklärung zur Parallelverschiebung an.

Wie macht man eine Parallelverschiebung?

Es kann helfen, den Verschiebungspfeil durch eine Gerade zu verlängern. Diese Gerade bezeichnen wir im Folgenden mit gg. Die Verschiebung führen wir nun Punkt für Punkt durch. Dabei beginnen wir mit Punkt AA. Zunächst muss ein Lot auf die Gerade gg durch den Punkt AA gefällt werden. Das Lot auf gg ist eine zu gg senkrechte Gerade. Um das Lot zu fällen, gehen wir folgendermaßen vor:

  • Mit dem Zirkel in AA einstechen
  • Kreisbogen zeichnen, der gg an zwei Stellen schneidet
  • In einen der Schnittpunkte mit dem Zirkel einstechen. Einen Kreisbogen mit einem etwas größeren Radius zeichnen
  • In den anderen Schnittpunkt einstechen. Mit demselben Radius einen weiteren Kreisbogen zeichnen, der den vorher gezeichneten schneidet
  • Den Schnittpunkt mit PP bezeichnen
  • Zeichnen einer Geraden hh durch PP und AA. Diese steht nun senkrecht zu gg.
  • Somit wurde das Lot auf die Gerade gg gefällt.

Lot auf Gerade durch Punkt fällen

Ohne die Verlängerung des Verschiebungspfeils hätten wir das Lot nicht fällen können. Dieser erste Schritt ist also sehr wichtig.

Nun muss ein Lot auf die Gerade hh durch den Punkt AA gefällt werden. Das geht so:

  • Mit dem Zirkel in AA einstechen
  • Kreisbogen um AA zeichnen, der hh an zwei Stellen schneidet
  • Mit einem größeren Radius jeweils einen Kreisbogen um die beiden Schnittpunkte auf der Geraden hh zeichnen. Beide Kreisbogen müssen denselben Radius haben.
  • Diese Kreisbögen schneiden sich zweimal.
  • Eine Gerade ii zeichnen, die durch die beiden Schnittpunkte und AA verläuft
  • Die Gerade ii steht nun senkrecht zu hh und ist parallel zu gg.

Lot zum Lot durch Punkt fällen

Jetzt können wir die Länge des Verschiebungspfeils auf der Geraden ii abtragen und erhalten so den Punkt AA^{\prime}. Dazu müssen wir:

  • In einen Eckpunkt des Verschiebungspfeils mit dem Zirkel einstechen
  • Einstellen des Zirkels auf die exakte Länge des Pfeils
  • Mit dem so eingestellten Zirkel in AA einstechen und einen Kreisbogen um AA zeichnen, der ii in Richtung des Verschiebungspfeils schneidet
  • Der entstandene Schnittpunkt wird AA^{\prime} genannt.
  • AA^{\prime} ist nun die Verschiebung des Punkts AA parallel zur Geraden gg und somit entlang des Verschiebungspfeils.
  • AA und AA^{\prime} haben beide denselben Abstand zur Geraden gg.

Bildpunkt abtragen zur Parallelverschiebung

Für Punkt BB gehen wir nach demselben Prinzip vor. Zunächst wird das Lot durch BB auf gg gefällt. Danach konstruieren wir eine senkrechte Gerade zum Lot durch den Punkt BB.

Punkt verschieben zur Parallelverschiebung

Die Länge des Verschiebungspfeils wird nun auf dieser Geraden abgetragen. Der Schnittpunkt wird BB^{\prime} genannt. Der Punkt BB^{\prime} ist somit die parallele Verschiebung des Punkts BB entlang der Geraden gg.

Den gleichen Vorgang wiederholen wir nun auch für den Punkt CC. Wir erhalten den Punkt CC^{\prime}. Nun müssen die drei entstandenen Punkte nur noch zum Dreieck ABCA^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} verbunden werden.

Parallelverschiebung – verschobene Figur

Dieses Dreieck ist damit die parallele Verschiebung des Dreiecks ABCABC entlang und parallel zur Geraden gg. Die Dreiecke ABCABC und ABCA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} sind kongruent zueinander. Das heißt, sie sind deckungsgleich. Mit diesem Prinzip lässt sich jede beliebige Figur in eine bestimmte Richtung verschieben.

Zusammenfassung – Parallelverschiebung in Mathe

Die folgenden Stichpunkte fassen die einzelnen Schritte der Parallelverschiebung von Figuren noch einmal zusammen. Möchte man eine Figur entlang und parallel zu einem Verschiebungspfeil verschieben, so geht man in folgenden Schritten vor:

  • Zeichnen einer Geraden durch den Verschiebungspfeil
  • Lot durch einen Eckpunkt der Figur auf die Gerade fällen
  • Senkrecht zum Lot eine weitere Gerade durch den entsprechenden Punkt konstruieren
  • Auf der Geraden mit dem Zirkel die Länge des Verschiebungspfeils abtragen
  • Man erhält den parallel verschobenen Bildpunkt zum Ursprungspunkt.
  • Nach demselben Prinzip wird mit allen Punkten verfahren.
  • Somit erhält man eine parallel in Richtung des Verschiebungspfeils verschobene Figur.

Nun haben wir anhand des Beispiels alles gelernt, um Parallelverschiebungen von Figuren mithilfe von Zirkel und Lineal durchzuführen. Weitere Aufgaben zur Parallelverschiebung von Figuren findest du hier auf der Seite unter Arbeitsblättern und Übungen.

Transkript Parallelverschiebung von Figuren

In diesem Video beschäftigen wir uns mit Parallelverschiebungen von Figuren. Bei einer Parallelverschiebung wird jeder Punkt einer Figur um dieselbe Länge in dieselbe Richtung verschoben. Und wie man das Ganze mit Zirkel und Lineal macht, schauen wir uns heute an. Wir möchten das Dreieck ABC verschieben. Der Verschiebungspfeil gibt uns hier die Richtung und Länge der Verschiebung an. Um besser arbeiten zu können, zeichnen wir eine Gerade g durch den Verschiebungspfeil. Wozu das nützlich ist, sehen wir gleich. Die Verschiebung führen wir Punkt für Punkt durch. Wir beginnen dabei mit dem Punkt A. Zunächst müssen wir das Lot auf die Gerade g durch den Punkt A fällen. Das Lot ist hier dann eine senkrechte Gerade zu g. Um das Lot durch A zu fällen, stechen wir mit dem Zirkel in A ein und zeichnen einen Kreisbogen, der g an zwei Stellen schneidet. Nun stechen wir in einen der beiden Schnittpunkte ein und zeichnen ebenfalls einen Kreisbogen. Der Einfachheit halber sollte der Radius etwas vergrößert werden. Mit demselben Radius stechen wir nun auch in den anderen Schnittpunkt ein und zeichnen ebenfalls einen Kreisbogen. Wie wir sehen, schneiden sich die beiden Kreisbögen in einem Punkt, den wir mit P bezeichnen. Lass uns weitermachen. Zeichnen wir nun eine Gerade h durch P und A, steht diese senkrecht zu g. Somit haben wir das Lot auf die Gerade g gefällt. Jetzt sehen wir auch, warum wir diese zuvor durch den Verschiebungspfeil gezeichnet haben. Ohne die Gerade hätten wir kein Lot fällen können. Das sieht doch schon sehr gut aus. Anschließend müssen wir das Lot auf die Gerade h durch den Punkt A fällen. Dazu stechen wir mit dem Zirkel in A ein und zeichnen einen Kreisbogen um A, der h an zwei Stellen schneidet. Mit einem größeren Radius zeichnen wir nun jeweils einen Kreisbogen um die beiden Schnittpunkte auf der Geraden h. Beide Kreisbögen müssen dabei denselben Radius haben. Diese Kreisbögen schneiden sich zweimal. Anschließend zeichnen wir eine Gerade i, die durch die beiden Schnittpunkte und somit auch durch A verläuft. i steht nun senkrecht zu h und ist parallel zu g. Abschließend stechen wir mit dem Zirkel in einen Eckpunkt des Verschiebungspfeils und stellen ihn exakt auf dessen Länge ein. Mit dem so eingestellten Zirkel stechen wir nun in A ein und zeichnen einen Kreisbogen um A, der i in Richtung des Verschiebungspfeils schneidet. Den so entstandenen Schnittpunkt nennen wir 'A Strich'. A Strich' ist nun die Verschiebung des Punktes A parallel zur Geraden g und somit entlang des Verschiebungspfeils. A und 'A Strich' haben beide denselben Abstand zur Geraden g. Prima! Nach demselben Prinzip verfahren wir nun auch mit dem Punkt B. Wir fällen das Lot durch B auf g. Nun konstruieren wir eine weitere senkrechte Gerade zum Lot durch B. Auf dieser Geraden tragen wir mit dem Zirkel die Länge des Verschiebungspfeils ab. Den Schnittpunkt nennen wir 'B Strich'. Auch 'B Strich' ist somit die parallele Verschiebung des Punktes B entlang der Geraden g. Perfekt! Diesen Vorgang wiederholen wir auch für den Punkt C. Wir erhalten somit den Punkt 'C Strich'. Zum Schluss verbinden wir alle Punkte zum Dreieck 'A Strich, B Strich, C Strich' miteinander. Dieses Dreieck ist damit die parallele Verschiebung des Dreiecks ABC entlang und parallel zur Geraden g. Genau das wollten wir ja auch erreichen, sehr gut! Die Dreiecke sind somit auch kongruent zueinander. Das heißt deckungsgleich. Mit diesem Prinzip lässt sich nahezu jede beliebige Figur in eine bestimmte Richtung verschieben. Das gilt zum Beispiel auch für diesen Pfeil. Fassen wir das zusammen. Möchten wir eine Figur entlang und parallel zu einem Verschiebungspfeil verschieben, zeichnen wir zunächst eine Gerade durch den Pfeil. Anschließend fällen wir das Lot durch einen Eckpunkt der Figur auf die Gerade. Senkrecht zum Lot konstruieren wir eine weitere Gerade durch den entsprechenden Punkt. Auf dieser Geraden tragen wir mit dem Zirkel die Länge des Verschiebungspfeils ab. Somit erhalten wir den parallel verschobenen Bildpunkt zum ursprünglichen Punkt. Nach demselben Schema verfahren wir auch mit allen anderen Punkten. Wir erhalten so eine parallel in Richtung des Verschiebungspfeils verschobene Figur. Jetzt haben wir alles gelernt, um Parallelverschiebungen von Figuren mit Zirkel und Lineal durchzuführen. Probier es doch mal aus!

9 Kommentare
  1. Schade das da keine Geschichte drin ist

    Von Konstantin, vor etwa einem Monat
  2. Sehr ernst erklärt

    Von Levi, vor 4 Monaten
  3. ich finde es ist etwas schwierig erklärt...

    Von Ömer, vor mehr als 2 Jahren
  4. gut

    Von Martin, vor fast 3 Jahren
  5. gut dankë

    Von Gabriel Stipic , vor etwa 3 Jahren
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Parallelverschiebung von Figuren Übung

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