Parabelscharen

Parabelscharen Übung

• Benenne die einzelnen Schritte zur Bestimmung einer Ortskurve der Extrema.

  Tipps

  Es ist nicht sinnvoll, einen Extrempunkt zu berechnen, wenn man nicht vorher geprüft hat, ob wirklich ein Extrempunkt vorliegt.

  Die ersten Schritte sind die, die du bereits vom Ermitteln von Extrempunkten kennst.

  Bei Parabelscharen hängen die Koordinaten gegebenenfalls von dem Scharparameter ab.

  Lösung

  Wenn zum Beispiel $a$ und $c$ fest sind und der Parameter $b$ veränderlich, dann kommt man zu Extrema, die von dem Parameter $b$ abhängen. Diese Extrema liegen auf einer Kurve, der sogenannten Ortskurve der Extrema.

  Es sind die folgenden Schritte durchzuführen, um eine solche Ortskurve zu bestimmen. (Übrigens: Diese Schritte sind unabhängig von der Funktionsklasse. Das bedeutet, dass sie nicht nur auf quadratische Funktionen anwendbar sind.)

  1. Für die Extrema benötigt man die 1. und 2. Ableitung.
  2. Es muss die Gleichung $f'(x)=0$ gelöst werden. Dies ist die notwendige Bedingung.
  3. Mit der zweiten Ableitung wird geprüft, ob es sich tatsächlich um eine Extremstelle handelt.
  4. Durch Einsetzen des x-Wertes aus Schritt 2 in die Funktionsgleichung erhält man die y-Koordinate des Extremums. Dies ist bei einer Parabel der Scheitelpunkt.
  5. Der x-Wert wird nach dem Parameter $b$ umgestellt.
  6. Dieser Parameter wird in der y-Koordinate eingesetzt.

• Bestimme die Ortskurve der Extrema für die Funktion $i(x)=x^2+bx+1$.

  Tipps

  Dies sind die einzelnen Schritte:

  1. 1. und 2. Ableitung bestimmen.
  2. 1. Ableitung gleich $0$ lösen.
  3. Mit der zweiten Ableitung wird geprüft, ob es sich tatsächlich um eine Extremstelle handelt.
  4. Einsetzen des x-Wertes aus Schritt 2 in die Funktionsgleichung. Dies führt zu der y-Koordinate des Scheitelpunktes.
  5. Der x-Wert wird nach dem Parameter $b$ umgestellt.
  6. Dieser Parameter wird in die y-Koordinate eingesetzt.

  Verwende die Potenzregel zum Ableiten der Funktion.

  Zum Beispiel sind die ersten beiden Ableitungen von $f(x)=ax^2+bx+c$ gegeben durch

  • $f'(x)=2ax+b$ sowie
  • $f''(x)=2a$.

  Da der Graph eine Parabel ist, ist das hinreichende Kriterium auf jeden Fall erfüllt.

  Lösung

  Um die Ortskurve der Extrema (Scheitelpunkte) zu bestimmen, muss zunächst die Funktion auf Extrema untersucht werden.

  Hierfür werden die ersten beiden Ableitungen benötigt:

  • $i'(x)=2x+b$ sowie
  • $i''(x)=2$

  Es muss für Extrema gelten, dass die erste Ableitung $0$ ist: $i'(x)=0$. Dies führt zu der Gleichung $2x+b=0$. Subtraktion von $b$ und anschließendes Dividieren durch $2$ führt zu

  $x=-\frac b2$.

  Ob wirklich ein Extremum vorliegt, kann man durch Einsetzen dieses x-Wertes in die 2. Ableitung prüfen:

  $i''\left(-\frac b2\right)=2\neq 0$.

  Es liegt also ein Extremum (hier: Scheitelpunkt) vor. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, ist es ein Tiefpunkt. Um die y-Koordinate des Scheitelpunktes zu erhalten, wird $x=-\frac b2$ in die Funktionsgleichung eingesetzt:

  $i\left(-\frac b2\right)=\left(-\frac b2\right)^2+b\left(-\frac b2\right)+1=\frac{b^2}{4}-\frac{b^2}2+1=-\frac{b^2}4+1$.

  Es hängen also sowohl die x- als auch die y-Koordinate des Scheitelpunktes von dem Parameter $b$ ab.

  Nun wird die x-Koordinate nach diesem Parameter umgestellt

  $\begin{array}{rclll} x&=&-\frac b2&|&\cdot (-2)\\ -2x&=&b \end{array}$

  Zuletzt wird dieses $b$ in die y-Koordinate des Scheitelpunktes eingesetzt und man erhält

  $y(x)=-\frac{(-2x)^2}4+1=-\frac{4x^2}4+1=-x^2+1$.

  Dies ist die gesuchte Ortskurve der Scheitelpunkte.

• Bestimme die Scheitelpunkte der Funktionen.

  Tipps

  Die x-Koordinate ist immer die Hälfte des Faktors vor dem $x$ mit umgekehrtem Vorzeichen, dividiert durch $a$, den Faktor vor dem $x^2$.

  Die y-Koordinate des Scheitelpunktes erhältst du, indem du die x-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzt.

  Natürlich kannst du auch die Gleichung $f'(x)=0$ lösen. Dies führt zu der gleichen x-Koordinate.

  Ist die Funktion in der Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ gegeben, dann ist der Scheitelpunkt $S(d|e)$.

  Lösung

  Die obere der beiden Funktionsgleichungen ist eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Darstellung, die untere die Scheitelpunktform.

  In beiden sind Parameter vorhanden. Diese Parameter haben einen Einfluss auf die Lage des Funktionsgraphen, der Parabel.

  Der tiefste oder höchste Punkt einer Parabel (je nach Öffnung) ist der Scheitelpunkt. Das heißt, dass man an diesem Punkt die Lage fest machen kann.

  Bei der Scheitelpunktform kann man den Scheitelpunkt $S(d|e)$ direkt ablesen. Bei der allgemeinen Darstellung ist

  • die x-Koordinate des Scheitelpunktes gegeben durch $x=-\frac b{2a}$ und
  • die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen der x-Koordinate in die Funktionsgleichung.

  Der Scheitelpunkt ist der Extrempunkt der Parabel. Das bedeutet, dass $f'(x)=0$ sein muss. Es ist $f'(x)=2ax+b$. Subtraktion von $b$ und Division durch $2a$ führt zu $x=-\frac b{2a}$.

  Schauen wir uns die verschiedenen Funktionsgleichungen genauer an:

  • Der Scheitelpunkt der Funktion $f(x)=2(x-2)^2+3$ ist $S(2|3)$.
  • $g(x)=x^2+4x+c$: Hier ist $g'(x)=2x+4$ und $g''(x)=2$. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist $x=-2$. Diese wird in $g(x)$ eingesetzt und man erhält $g(-2)=(-2)^2+4(-2)+c=4-8+c=-4+c$.
  • $h(x)=-x^2+2x-1=-(x^2-2x+1)=-(x+1)^2$. Dies ist die 1. binomische Formel. Damit ist $S(-1|0)$.
  • $k(x)=\frac12x^2+bx$ hat die ersten beiden Ableitungen $k'(x)=x+b$ sowie $k''(x)=1\neq 0$. Es muss $k'(x)=0$ gelten. Dies führt zu $x=-b$. Wenn man dieses $x$ in die Funktionsgleichung einsetzt, erhält man $k(-b)=\frac12(-b)^2+b(- b)=\frac12 b^2-b^2=-\frac12 b^2$. Damit ist der Scheitelpunkt $S\left(-b|-\frac2 b^2\right)$.

• Leite die Ortskurve der Scheitelpunkte her.

  Tipps

  Wenn der Scheitelpunkt bereits bekannt ist, kann man die Ortkurve ausschließlich mit diesem Punkt bestimmen.

  Die Ortskurve gibt einen Zusammenhang zwischen der y-Koordinate des Scheitelpunktes sowie dessen x-Koordinate wieder.

  Die Ortskurve, auf der diese Punkte liegen, lässt sich wie folgt bestimmen:

  1. $x=2b$ $\Leftrightarrow$ $b=\frac x2$
  2. $y(x)=4\cdot \frac x2+1=2x+1$

  Lösung

  Die Funktion $k(x)=\frac12x^2+bx$ hat die hier zu sehenden Scheitelpunkte in Abhängigkeit des Parameters $b$.

  Zunächst wird die x-Koordinate nach $b$ umgeformt. Hierfür wird die Gleichung $x=-b$ mit $-1$ multipliziert: Dies führt zu $b=-x$.

  Dieses $b$ wird in die y-Koordinate eingesetzt:

  $y(x)=-\frac{(-x)^2}2=-\frac{x^2}2$.

  Dies ist die gesuchte Ortskurve.

  Wenn man diese Kurve in ein x-y-Koordinatensystem einzeichnet, erkennt man, dass alle Scheitelpunkte der Parabelschar auf dieser Kurve liegen. Umgekehrt kann man zu einer beliebigen Funktion der Parabelschar mit Hilfe der Ortskurve den Scheitelpunkt angeben.

• Beschreibe die Bedeutung des Parameters $c$ auf die Parabeln der Funktion: $f(x)=x^2+x+c$.

  Tipps

  Wenn du die Nullstellen einer Funktion berechnen musst, löst du die Gleichung $f(x)=0$.

  Wenn du wissen willst, wo die Funktion die y-Achse schneidet, setzt du $x=0$ in die Funktionsgleichung ein.

  Dies ist der Graph der Funktion $f(x)=x^2-2$.

  Wenn eine Funktion der Form $f(x)=ax^2+bx+c$ den hier abgebildeten Funktionsgraphen beschreibt, so ist $c=2$.

  Erstelle eine Wertetabelle für verschiedene $c$. Was fällt dir auf?

  Lösung

  Bei dieser Funktion ist $a=b=1$ und $c$ veränderbar. Welchen Einfluss hat $c$ auf die Parabel?

  Wenn man $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzt, erhält man

  $f(0)=0^2+0+c=c$.

  Das bedeutet, dass die Parabel bei $c$ die y-Achse schneidet. Denn da, wo der Schnittpunkt mit der y-Achse stattfindet, muss $x=0$ gelten.

  Weiter kann man daraus herleiten, dass positive $c$ zu einer Verschiebung der Parabel nach oben führen. Negative $c$ führen zu einer Verschiebung nach unten.

• Bestimme die Scheitelpunkte der Parabelschar sowie deren Ortskurve.

  Tipps

  Forme die x-Koordinate des Scheitelpunktes nach $b$ um.

  Dies führt zu $b=\frac x2$.

  Setze dieses $b$ in die y-Koordinate des Scheitelpunktes ein.

  Lösung

  Es soll die Ortskurve der Extrema (hier: Scheitelpunkte) bestimmt werden. Hierfür werden zunächst die ersten beiden Ableitungen der Funktion benötigt:

  • $f'(x)=-\frac12x+b=-0,5x+b$
  • $f''(x)=-\frac12$

  Man löst die Gleichung $f'(x)=0$

  $\begin{array}{rclll} -\frac12x+b&=&0&|&+\frac12x\\ b&=&\frac12x&|&\cdot 2\\ 2b&=&x \end{array}$

  Dieses $x=2b$ wird in die Funktionsgleichung eingesetzt:

  $y=f(2b)=-\frac14(2b)^2+b(2b)+1=-b^2+2b^2+1=b^2+1$.

  Der Scheitelpunkt lautet also $S(2b|b^2+1)$.

  Die x-Koordinate wird nach dem Parameter umgeformt: Hierfür wird durch $2$ dividiert. Dies führt zu $b=\frac x2$.

  Dieses $b$ wird in die y-Koordinate eingesetzt:

  $y(x)=\left(\frac x2\right)^2+1=\frac{x^2}4+1=0,25 x^2+1$.

  Dies die gesuchte Gleichung der Ortskurve.