Oktaeder – Volumen und Oberfläche

Oberfläche und Volumen des Oktaeders – Erklärung

Ein Oktaeder ist ein geometrischer Körper mit $8$ (griechisch: oktá) dreieckigen Flächen, $6$ Eckpunkten und $12$ Kanten. Im folgenden Text geht es um das regelmäßige Oktaeder. Dieses ist ein platonischer Körper.

• Der Oberflächeninhalt des Oktaeders entspricht dem Flächeninhalt von $8$ gleichseitigen Dreiecken, den Oberflächen des Oktaeders.
• Das Volumen des Oktaeders entspricht dem Volumen zweier kongruenter quadratischer Pyramiden zusammengenommen. Die Grundflächen der Pyramiden liegen aneinander, wodurch sich ein Oktaeder bildet.

Berechnung der Oberfläche des Oktaeders

Du kannst die Oberfläche eines Oktaeders mit folgender Formel berechnen:

$O_{\text{Oktaeder}} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot a^2$

Dafür musst du die Seitenlänge $a$ des Oktaeders kennen.

Durch die Herleitung der Oberflächenformel des Oktaeders wird verständlich, warum die Formel funktioniert und was sie mit dem Flächeninhalt der $8$ gleichseitigen Dreiecke zu tun hat.

Herleitung der Oberflächenformel des Oktaeders

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks ist:

Dreieck $A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$

Die Grundseite $g$ des Dreiecks entspricht dabei der Seitenlänge $a$ des Oktaeders. Damit du die Oberfläche des Oktaeders nur mit dieser Größe ausrechnen kannst und nicht noch zusätzlich die Höhe $h$ benötigst, kannst du die Formel umformen. Dafür nutzen wir das in Orange eingezeichnete Dreieck in der folgenden Abbildung und den Satz des Pythagoras

$\begin{array}{rccll} &a^2&=& h^2 +(\frac{a}{2})^{2} &~\vert - (\frac{a}{2})^{2} \\ \\ \Leftrightarrow & h^2&=&a^2 - (\frac{a}{2})^{2} &~ \\ \\ \Leftrightarrow & h^2&=&\frac{3}{4}a^{2} &~ \vert~ \sqrt{~} \\ \\ \Leftrightarrow & \sqrt{h^{2}} & = & \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} \sqrt{a^{2}} \\ \\ \Leftrightarrow & h &=&\frac{\sqrt{3}}{2}a & \\ \\ \end{array}$

Anschließend kannst du den für $h$ gefundenen Term in die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks einsetzen:

$A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} g \cdot h=\frac{1}{2} a \cdot h=\frac{1}{2} a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

So kommst du dann auf den Oberflächeninhalt des Oktaeders, der sich aus $8$ dieser Dreiecke zusammensetzt:

$O_{\text{Oktaeder}} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}=2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{1}a^{2}=2 \cdot \sqrt{3} \cdot a^{2}$

Oberfläche des Oktaeders – Beispiel

Aufgabe

Berechne die Oberfläche eines Oktaeders mit einer Kantenlänge $a = 5\,\text{cm}$.

Rechnung

$O_{\text{Oktaeder}} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot a^2$

$= 2 \cdot (5\,\text{cm})^2 \cdot \sqrt{3}$

$= 50\,\text{cm}^{2} \cdot \sqrt{3}$

$\approx 86{,}60\,\text{cm}^{2}$

Antwort

Die Oberfläche des Oktaeders beträgt ungefähr $86{,}60\,\text{cm}^{2}$.

Berechnung des Volumens des Oktaeders

Das Volumen eines Oktaeders entspricht dem Volumen zweier kongruenter quadratischer Pyramiden, deren Volumen du mit dieser Formel berechnen kannst:

$V_{Py} = \frac{1}{3} \cdot A_g \cdot h$

Die Formel zur Berechnung des Volumens lässt sich ähnlich wie die Oberflächenformel herleiten und so umformen, dass du nur den Wert der Kantenlänge $a$ benötigst:

$V_{\text{Oktaeder}} = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3$

Oberfläche und Volumen des Oktaeders – Zusammenfassung