Oberfläche und Mantelfläche von Kegeln – Übung

Oberfläche und Mantelfläche von Kegeln – Übung Übung

• Berechne die Mantelfläche der Eistüte.

  Tipps

  Der Satz des Pythagoras sagt aus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Seite gegenüber dem rechten Winkel (hier s) zum Quadrat die Summe der beiden anderen Seiten zum Quadrat ist. In einer Formel ausgedrückt, heißt dies: $s^2 = r^2 + h^2$.

  Die Mantelfläche errechnet sich durch die Formel $A_M = \pi \cdot r \cdot s$.

  $s$ steht dabei für die Mantellinie.

  Lösung

  Einige Größen der Eistüte kennen wir schon. Wir wissen, das $r = 4~cm$ und $h = 15~cm$ gilt. Da die Eistüte die Form der Mantelfläche eines Kegels hat, müssen wir die Formel zur Berechnung der Mantelfläche heranziehen. Diese lautet: $A_M = π \cdot r \cdot s$.

  $s$ ist uns noch unbekannt, aber wir können $s$ durch eine Formel berechnen.

  Der Satz des Pythagoras sagt aus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Seite gegenüber dem rechten Winkel zum Quadrat die Summe der beiden anderen Seiten zum Quadrat ist. Im Kegel sehen wir ein rechtwinkliges Dreieck. Gegenüber vom rechten Winkel befindet sich die Seite $s$, welche die Hypotenuse des Dreiecks ist. Die Seiten $r$ und $h$ sind die Katheten. Laut dem Satz des Pythagoras gilt: $s^2 = r^2 + h^2$ Wenn wir diese Formel nach $s$ auflösen, ziehen wir die Wurzel und erhalten: $s = \sqrt{r^2 +h^2}$. Wir können also in unserer Formel $A_M$ das $s$ durch $\sqrt{r^2 +h^2}$ ersetzen. Daraus folgt:

  $A_M = \pi \cdot r \cdot \sqrt{r^2 +h^2}$

  Nun können wir die uns bekannten Werte für $r$ und $h$ einsetzen. Es folgt:
  $A_M = \pi \cdot 4~cm \cdot \sqrt{(4~cm)^2 +(15~cm)^2}$
  $A_M = \pi \cdot 4~cm \cdot \sqrt{16~cm^2 + 225~cm^2}$
  $A_M = \pi \cdot 4~cm \cdot \sqrt{241~cm^2}$
  $A_M \approx \pi \cdot 4~cm \cdot 15,52~cm$
  $A_M \approx 195~cm^2$

  Die Eistüte hat eine Fläche von ungefähr $195~cm^2$

• Berechne die Oberfläche des Pylon.

  Tipps

  Die zu berechnende Oberfläche setzt sich aus zwei Flächen zusammen.

  Zum einen müssen wir den Mantel des Kegels berechnen, zum anderen die untere quadratische Fläche, aus welcher die Kreisfläche geschnitten wird.

  Der Mantel errechnet sich durch die Formel $A_M = \pi \cdot r \cdot s$.

  $s$ steht für die Mantellinie.

  Hier siehst du ein großes Quadrat aus Holz mit einem Loch, das die Form eines Quadrates hat. Um den Flächeninhalt vom restlichen Holzquadrat zu berechnen, zieht man die Fläche vom Loch von der Fläche des großen Holzquadrates ab. $A_{Holz} = A_{ges} - A_{Loch}$

  Lösung

  Wir wissen, dass der Pylon $40~cm$ hoch ist und einen Radius von $15~cm$ hat. Das Quadrat, auf dem sich der Pylon befindet, ist $40~cm$ lang. Die Oberfläche des Pylon setzt sich aus der Mantelfläche des Kegels zusammen und dem Fuß. In einer Formel ausgedrückt, lautet diese: $A_O = A_M + A_{Fuß}$

  Da das Quadrat des Pylon nicht vollständig gefüllt ist, müssen wir von seiner Fläche die Fläche des Kreises des Kegels abziehen. In einer Formel ausgedrückt, sieht das so aus: $A_{Fuß} = A_Q - A_K$, wobei $Q$ für Quadrat steht und $K$ für Kreis. Wir können dies in unsere Formel für $A_O$ einsetzen. Es folgt dann:

  $A_O = A_M + A_Q - A_K$

  Die einzelnen Flächeninhalte können wir durch ihre Formeln ersetzen und auch schon die uns bekannten Zahlen einsetzen. Es folgt:

  \begin{align} A_O & = A_M + A_Q - A_K \\ &= \pi \cdot r \cdot \sqrt{r^2 + h^2} + b^2 - \pi \cdot r^2\\ &= \pi \cdot 15~cm \cdot \sqrt{(15~cm)^2 + (40~cm)^2} + (40~cm)^2 - \pi \cdot (15~cm)^2\\ &= \pi \cdot 15~cm \cdot \sqrt{225~cm^2 + 1600~cm^2} + 1600~cm^2 - \pi \cdot 225~cm^2\\ &= \pi \cdot 15~cm \cdot \sqrt{1825~cm^2} + 1600~cm^2 - \pi \cdot 225~cm^2\\ &\approx 2906~cm^2 \end{align}

  Der Pylon hat also eine ungefähre Oberfläche von $2906~cm^2$.

• Bestimme die Oberfläche des Messbechers.

  Tipps

  Der Satz des Pythagoras sagt aus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Seite gegenüber dem rechten Winkel zum Quadrat die Summe der beiden anderen Seiten zum Quadrat ist. In einer Formel ausgedrückt, heißt dies: $c^2 = a^2 + b^2$.

  Möchte man diese Formel nach $c$ umstellen, zieht man die Wurzel. Man erhält: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

  Du kannst $s$ mit dem Satz des Pythagoras darstellen.

  Da der Messbecher unten genauso breit ist wie oben, könnte man die Grundfläche auf den Messbecher drauflegen und erhielte einen vollständigen Kegel.

  Die Oberfläche errechnet sich durch die Formel $A_O = \pi \cdot r \cdot ( r+ s)$.

  Lösung

  Da der Messbecher unten genauso breit ist wie oben, kann man die Grundfläche des Messbechers auf den Becher drauflegen und man hat so einen vollständigen Kegel. Um seine Oberfläche zu berechnen, nutzen wir die Formel für den Kegel. Diese lautet:

  $A_O = \pi \cdot r \cdot (r + s)$

  Wir kennen zwar nicht $s$, aber wir können $s$ durch $\sqrt{r^2 +h^2}$ ersetzen. Wenn wir nun unsere Werte einsetzen, folgt daraus:

  \begin{align} A_O & = \pi \cdot r \cdot (r + \sqrt{r^2 +h^2})\\ & = \pi \cdot 12~cm \cdot (12~cm + \sqrt{(12~cm)^2 +(16~cm)^2})\\ & = \pi \cdot 12~cm \cdot (12~cm + \sqrt{144~cm^2 +256~cm^2})\\ & = \pi \cdot 12~cm \cdot (12~cm + \sqrt{400~cm^2})\\ & = \pi \cdot 12~cm \cdot (12~cm + 20~cm )\\ & = \pi \cdot 12~cm \cdot 32~cm\\ & \approx 1206~cm^2 \end{align}

  Der Messbecher hat eine Oberfläche von ungefähr $1206~cm^2$

• Ermittle, wie breit die Krempe des Zauberhutes sein muss.

  Tipps

  Wichtig sind hier zwei Kreisflächen:

  • Der Radius des inneren Kreises ist bekannt.
  • Der Radius des äußeren Kreises wird gesucht. Er hängt von der Mantelfläche der Hutspitze ab.

  Berechne zunächst den Flächeninhalt der Hutspitze.

  Es soll gelten:

  $A_{Krempe}=A_{äußerer~Kreis}-A_{innerer~Kreis}=A_{Spitze}$

  Lösung

  Da Lisas Kopf einen Durchmesser von $21,6~cm$ hat, muss auch der Zauberhut ein Loch mit dem Durchmesser von $21,6~cm$ haben, damit Lisas Kopf hineinpasst. Es gilt also $d = 21,6~cm$. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers. Das heißt $r = \frac{d}{2} = \frac{21,6~cm}{2} = 10,8~cm$. Die Breite der Krempe bezeichnen wir mit $b$. Sie soll so breit sein, dass die Fläche der Krempe genauso groß ist wie die Fläche der Hutspitze. Es gilt also: $A_{Spitze} = A_{Krempe}$

  Den Flächeninhalt der Spitze ermitteln wir mit der Formel: $A_{Spitze} = \pi \cdot r \cdot \sqrt{r^2 + h^2}$

  Um die Fläche der Krempe zu bestimmen, müssen wir ein bisschen überlegen. Die Krempe hat die Form eines Kreises, in dem ein Loch in Form eines Kreises enthalten ist. Den Flächeninhalt eines Kreises berechnet man mit der Formel $A = \pi \cdot r^2$. Der Radius des gesamten Hutes setzt sich aus dem Radius der Hutspitze und der Länge der Krempe $b$ zusammen. Es gilt also: $r_{Krempe} = r + b$. Gleichzeitig müssen wir die Fläche des Loches von der Krempe abziehen. Es gilt also: $A_{Krempe} = \pi \cdot (r + b)^2 - \pi \cdot r^2$.

  Nun wissen wir, dass der Flächeninhalt der Krempe dem der Hutspitze gleich sein soll. Wir berechnen nun also den Flächeninhalt der Hutspitze:

  \begin{align} A_{Spitze} & = \pi \cdot r \cdot s\\ & = \pi \cdot r \cdot \sqrt{r^2+h^2}\\ & = \pi \cdot 10,8~cm \cdot \sqrt{(10,8~cm)^2+(40~cm)^2}\\ & \approx \pi \cdot 10,8~cm \cdot 41,43~cm\\ & \approx 1405,69~cm^2 \end{align}

  Da die Flächeninhalte von Hutspitze und Krempe gleich sind, können wir die bereits aufgestellte Gleichung $A_{Krempe} = \pi \cdot (r + b)^2 - \pi \cdot r^2$ durch $A_{Spitze} = \pi \cdot (r + b)^2 - \pi \cdot r^2$ ersetzen. Da wir $A_{Spitze}$ nun bereits berechnet haben, können wir die folgende Gleichung aufstellen:

  $1405,69~cm^2 = \pi \cdot (r + b)^2 - \pi \cdot r^2$.

  Setzen wir nun $r=10,8~cm$ ein und lösen nach $b$ auf, erhalten wir:

  \begin{align} &~& 1405,69~cm^2 &= \pi \cdot (10,8~cm + b)^2 - \pi \cdot (10,8~cm)^2\\ & \Rightarrow& 1773,13~cm^2 & \approx \pi \cdot (10,8~cm + b)^2\\ & \Rightarrow& 564.09~cm^2 & \approx (10,8~cm + b)^2\\ & \Rightarrow& 23,75~cm & \approx 10,8~cm +b\\ & \Rightarrow& 12,95~cm &\approx b \end{align}

  Die Krempe des Hutes hat also eine Breite von $b \approx 12,95~cm$.

• Gib die Formeln wieder, mit welchen sich Ober- und Mantelfläche von Kegeln berechnen lassen.

  Tipps

  Der Satz des Pythagoras sagt aus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Seite gegenüber dem rechten Winkel (hier c) zum Quadrat die Summe der beiden anderen Seiten zum Quadrat ist. In einer Formel ausgedrückt, heißt dies: $c^2 = a^2 + b^2$.

  Die Oberfläche eines Kegels setzt sich aus seinem Mantel und der Grundfläche zusammen.

  Die Grundfläche $A_G$ eines Kegels ist ein Kreis.

  Lösung

  Um den Flächeninhalt eines Kreissektors zu bestimmen, verwendet man die Formel $A_M = \pi \cdot r \cdot s$. Um den Flächeninhalt eines Kreises, also die Grundfläche zu berechnen, nutzt man die Formel $A_G = \pi \cdot r^2$. Die Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Kegels setzt sich aus der Mantelfläche und Grundfläche zusammen. Die Formel lautet also $A_O = A_M + A_G$. Da man nun für $A_M$ und $A_G$ die jeweiligen Formeln einsetzen kann, erhält man:
  $A_O = A_M + A_G$
  $A_O = \pi \cdot r \cdot s + \pi \cdot r^2$
  $A_O = \pi \cdot r ( r + s)$

  Der Satz des Pythagoras sagt aus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Seite gegenüber dem rechten Winkel zum Quadrat die Summe der beiden anderen Seiten zum Quadrat ist. Im Kegel sehen wir ein rechtwinkliges Dreieck. Gegenüber vom rechten Winkel befindet sich die Seite $s$, welche die Hypotenuse des Dreiecks ist. Die Seiten $r$ und $h$ sind die Katheten. Laut dem Satz des Pythagoras gilt: $s^2 = r^2 + h^2$

  Wenn wir diese Formel nach $s$ auflösen, ziehen wir die Wurzel und erhalten $s = \sqrt{r^2 +h^2}$.

• Bestimme die Oberfläche des Lampenschirms.

  Tipps

  Vervollständige den Kegelstumpf zu einem Kegel, dessen Mantelfläche berechnet werden kann.

  Ziehe die Fläche des hinzugedachten Kegels am Ende wieder ab.

  Den Flächeninhalt des Mantels eines Kegels berechnet man mit der Formel $A = \pi \cdot r \sqrt{r^2 + h^2}$.

  Lösung

  Bei dem vorliegenden Lampenschirm handelt es sich um die geometrische Figur eines Kegelstumpfes. Um die Fläche des Lampenschirms zu bestimmen, müssen wir den Lampenschirm zu einem Kegel vervollständigen. Dann haben wir einen großen Kegel und einen etwas kleineren Kegel, welcher genau das Stück darstellt, welches wir auf unseren Lampenschirm stellen. Das Bild kann dir helfen, dir den großen und kleinen Kegel vorzustellen. Wenn du den blauen Kegel auf die runde Fläche mit dem Radius $r_B$ setzt, hast du einen großen Kegel. Setzen wir den blauen Kegel auf die runde Fläche mit dem Radius $r_B$ haben wir zwei Höhen, die eine Gesamthöhe ergeben. Es gilt: $h_K = h_B + h$. Wir wissen, dass der große Kegel $40~cm$ hoch ist und der Lampenschirm $25~cm$ hoch ist. Es gilt also:
  $h_K = h_B + h$
  $40~cm = 25~cm + h$
  Für den kleinen (blauen) Kegel folgt daraus eine Höhe von $h = 40~cm - 25~cm = 15~cm$

  Der kleine Kegel ist $15~cm$ hoch und hat einen Radius von $r = 10~cm$. Setzen wir dies in die Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines Kegels ein, erhalten wir:

  $\large{A_{K_{klein}}}$$ = \pi \cdot r \cdot \sqrt{r^2 + h^2} $
  $\large{A_{K_{klein}}}$$ = \pi \cdot 10~cm \cdot \sqrt{(10~cm)^2 + (15~cm)^2} \approx 566~cm^2$

  Für den großen Kegel gilt:

  $\large{A_{K_{Groß}}}$$ = \pi \cdot 15 \cdot \sqrt{(15~cm)^2 + (40~cm)^2} \approx 2013~cm^2$

  Wenn wir nun die Fläche des kleinen Kegels vom großen Kegel abziehen, wissen wir, wie groß die Fläche des Lampenschirms ist. Es gilt:

  $A_L =$$\large{ A_{K_{Groß}} - A_{K{klein}}}$

  $A_L = 2013~cm^2 - 566~cm^2 = 1447~cm^2$

  Der Lampenschirm hat einen Flächeninhalt von $1447~cm^2$.